同济大学大一高等数学期末试题精确答案

1、学习资料收集于网络，仅供参考课程名称：高等数学试卷类别： A 卷考试形式：闭卷考试时间： 120分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称： 高等数学A （考试性质： 期末统考（ A 卷）题号（型）一二三四核分人得 分总分评卷人一 、 单选题（共 15分，每小题3 分）1设函数 f (x, y) 在 P(x0 , y0 ) 的两个偏导 fx (x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 )都存在，则()A f ( x, y) 在 P 连续B f ( x,

2、 y) 在 P 可微C limf ( x, y0 ) 及 limf (x0 , y) 都存在Dlimf ( x, y) 存在x x0yy0( x, y) (x0 , y0 )2若 zyln x ，则 dz 等于（）A. yln x ln y yln x ln yB. yln x ln yxyxC . yln x ln ydxyln x ln y dyD . yln x ln y dxyln x ln x dyxxy3设是圆柱面 x2y22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则f ( x, y, z)dxdydz(）A.2cos1, z) dzB.2 d2cosrdr12 ddrf (r c

3、os , r sin0f (r cos , r sin , z)dz00000C .22 cos1f ( r cos, r sin , z)dzD .d2 cosxrdr1, z) dzdrdr00f ( r cos , r sin20004 4若an ( x1)n 在 x1 处收敛，则此级数在 x2处（）n 1A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不能确定5曲线xy z2在点（ 1， 1， 2）处的一个切线方向向量为（） .zx2y2A. （ -1， 3， 4）B. （ 3，-1， 4）C. （ -1， 0， 3）D. （ 3， 0， -1）二、填空题（共 15 分，每小题3 分）1设

4、x 2 y 2xyz0 ，则 zx ' (1,1).学习资料学习资料收集于网络，仅供参考2交 换Iedxln x_ 1f ( x, y)dy 的积分次序后， I03设 u2xyz2 ，则 u 在点 M (2, 1,1)处的梯度为.4.已知 exxn，则 xe x.n 0n!5.函数 zx3y33x23y2 的极小值点是.三、解答题（共54 分，每小题 6-7 分）1.（本小题满分6 分）设 zy arctan y ,求z ,z .xxy2.（本小题满分6 分）求椭球面 2x23y2z29 的平行于平面 2x 3 y 2z 10 的切平面方程，并求切点处的法线方程 .3. （本小题满分7

5、 分）求函数zx2y2 在点 (1,2) 处沿向量 l1 i3 j 方向的方向导数。224. （本小题满分7 分）将 f ( x)13 的幂级数，并求收敛域。展开成 xx5（本小题满分7 分）求由方程2x22y 2z28 yzz80 所确定的隐函数zz( x, y) 的极值。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考6（本小题满分 7 分）计算二重积分( x2y 2 )d , D由曲线 x1 y 2 , y 1, y 1 及 x2围成.D7.（本小题满分7 分）利用格林公式计算xy 2dy x 2 ydx，其中 L 是圆周 x2y 2a 2 （按逆时针方向） .L8. （本小题满分7 分）计算xyd

6、xdydz ，其中是由柱面 x2y21 及平面 z 1, x0, y 0 所围成且在第一卦限内的区域 .四、综合题（共16 分，每小题 8 分）1（本小题满分 8 分）设级数un , vn 都收敛，证明级数(un vn ) 2 收敛。n 1n 1n 1学习资料学习资料收集于网络，仅供参考2（本小题满分8 分）设函数f ( x, y) 在 R2 内具有一阶连续偏导数，且f2x ，x证明曲线积分2xydxf ( x, y) dy 与路径无关若对任意的t 恒有L( t ,1)f (x, y) dy(1,t )2xydx2xydx f ( x, y) dy ，求 f (x, y) 的表达式(0,0)(

7、0,0)参考答案及评分标准一、单选题（共15 分，每小题3 分）： 1.C2 D3 C4B5 A二、填空题（共15 分，每小题3 分）1.-1 2.I1e3.2 i4 j 2 k4(1)n xn 1dyey f (x, y)dx5. (2,2)0n 0n!三、解答题（共54 分，每小题6-7分）1解：zy2分 )xx 2; (3y 2z = arctan y +x 2xy(6分).yxy 22.解：记切点 (x0 , y0 , z0 )则切平面的法向量为n2(2x0,3 y0 , z0 )2x03y0z0，切点为： (1,1,2) 或满足：322(1,1,2)(3分 ) ， 切 平 面 ： 2

8、x3y2z9or9 (4分 ) ，法 线 方 程 分 别 为 ： x1 y 1 z2 或 者x1y1z2 ( 6232分 )2323. 解：f (1,2)(2,4)( 3 分 ),f (1,2)123(7分)l4. 解： f ( x)111, ( 2分 )=( x3(x3) 313)3因为( 1)n xn1， x (1,1), 所以 11( 1)n 1 ( x 3) n =( 1) n ( 1) n 1 ( x 3) n, 其中n 01 x3 1 ( x 3)n 033n 033x3，即0x 6 . ( 5 分 )113当x时，级数为1 发散；当x时，级数为( 1)n 1 发散 , 故 1 =

9、( 1)n1)n 1( x3)n， x(0, 6) ，00 363x(nn 0n 03学习资料学习资料收集于网络，仅供参考(7 分)z4x0x12z5. 解：由8y, 得到 x0 与 y 2z 0,(2分)z4( y2z)y12z08y再代入 2x22y2z28yz z80 ，得到7 z2z 80 即 z1,8。7由此可知隐函数zz(x, y) 的驻点为 (0,2) 与 (0,16)。 (4 分)7由2z4，2 z0 ，2z4，可知在驻点 (0,2)与 (0,16) 有 H0。( 5分 )x21 2z 8yx yy2 1 2z 8y7在 (0,2) 点， z 1，因此2 z40，所以 (0,2

10、)为极小值点，极小值为z1 ；(6 分)x215在 (0, 16 ) 点， z8 ，因此2 z40 ，所以 (0, 16) 为极大值点，极大值为z8， (7分)77x215772x01y2x0，则 D6. 解：记 D1 :D1D2. （2 分） 故1yD2 :111y( x2y 2 )d( x2y 2 )d( x2y 2 )d( 4分 )DD1D21dy(x2y 2 )dx3dr 3dr20（7 分）2013122047.解 ：L所围区域D： x 2y2a2,由格林公式，可得xy 2 d yx 2 y d x =L2)2y)222 4( xy( x)dxdy =( xy)dxdy =2axydrr d ra.(7分 )DD00