含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法

1、精品文档含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法温州中学叶昭蓉恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出 fxmax，则 af xmax；若 afx恒成立， 只须求出 fxmin，则 af xmin，转化为函数求最值。例 1、已知函数fxlgxa2，若对任意 x2,恒有 fx0，试确定 a 的x取值范围。解：根据题意得：xa1在 x2,上恒成立，2x即： ax23x 在 x2,上恒成立，x

2、 329设 f xx23x ，则 f x24当 x2时， fx max2所以 a2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fagx恒成立，只须求出gx max ，则 fag x max ，然后解 不 等 式 求 出 参数 a 的 取 值 范 围 ； 若 fag x恒 成 立 ，只 须 求 出 gx min， 则f agx min ，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知x,1 时，不等式 12xaa24x0恒成立，求 a 的取值范围。解：令 2xt ， Q x,1t0,2所以原不等式可化为：a2at1 ，t

3、1t2要使上式在 t0,2 上恒成立，只须求出ft0,2上的最小值即可。t 2在 t22Q 11 ,Q f tt 111111t2ttt24t2f tminf23a2a31a34422二、分类讨论在给出的不等式中， 如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分。1欢迎下载精品文档类讨论的思想来解决。例 3、若 x2,2时，不等式 x2ax 3a 恒成立，求 a 的取值范围。解：设 f xx2ax3a，则问题转化为当x2,2 时， fx的最小值非负。a4时， fx minf273a0a7又 a4 所以 a（1）当2 即： a32不存在；a24a 4fxfa3 aa2（2）当2即：时

4、，min20246a2 又 4a44a2a即 ： a4 时 ，fx minf27a0a7 又（3）当22a47a4综上所得：7a2三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数） ，而把另一个变量 a 看成参数， 在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式 2x1m x2 1 对满足 m2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围。解：设 f mmx212x1 ，对满足 m2 的 m ， fm0 恒成立，f2 02 x212x 1 0解得：17x13f 2 02 x2 12x

5、 1 022四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m, nfa , g a，则 fam 且 g an ，不等式的解即为实数a 的取值范围。例 5、当 x1 ,3时， log a x 1 恒成立，求实数a 的取值范围。3解： Q1log a x11时， 111a3（1）当 ax a ，则问题转化为,3, a11a 3a3aa3。2欢迎下载精品文档1111a1（2） 当0a1 时， ax30，则问题转化为,3a,1aa3a33a综上所得： 0a13或 a3五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式3x2log a x0 在 x0, 1 内恒成立，求实数a 的取值范围。3解：由题意知：3x2log a x 在 x0, 1 内恒成立，3在同一坐标系内，分别作出函数y 3x2 和 ylog a x观察两函数图象，当x 0, 1时，若3a 1 函数 y log a x 的图象显然在函数 y 3x2 图象的下方，所以不成立；当 0a1 时，由图可知，ylog a x 的图象必须过点1 , 1或在这个点的上方，则，33l