双曲线的简单几何性质(教案)名师制作优质教学资料

1、教案普通高中课程标准选修2-1双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。二、教学目标（一）知识与技能1 、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。2 、理解双曲线的渐近线。（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法， 用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想

2、类比能力。（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。四、教学过程( 一) 课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？ （教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。【板书】：双曲线 x2y 2 1(a 0, b 0) 的性质a2b22、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对

3、比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。 （讨论）（二）双曲线的性质1、范围：把双曲线方程 x 2y 21变形为 x2y2a 2b2a21 b2。因为 y20 ，因此 x21 ，即 x2a2，所以 xa或 x a 。b2a2又因为 y20 ，故 yR 。b2【板书】： 1、范围： xa或 xa ， yR 。2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线x2y21 的标准方程，a2b2判断 它的对称性？在标准方程中，把 x 换成x ，或把 y 换成y ，或把 x ， y 同时换成x ，y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、 x 轴和原点都是对称的。【板书】： 2、

4、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、 y 轴，原点是它的对称中心。3、顶点：提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？在标准方程 x2y21 中，令 y0得 xa ；令 x0 ，则 y 无解。a2b2这说明双曲线有两个顶点，A1 (a,0), A2 (a,0) 。yB2A1A2oxB1（ 2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段A1 A2叫做双曲线 x 2y 21 的实轴，其长度a2b2为 2a 。尽管此双曲线与 y 轴无公共点，但 y 轴上的两个特殊的点 B1 (0, b), B2 (0,b) 。我们称线段 B1 B2 为双曲线的虚轴，其长度为 2b 。【板书】：3、顶点：A1 ( a,0),

5、 A2 (a,0)，称 A1A2 为实轴， B1 B2 为虚轴，其中 B1 (0, b), B2 (0,b) 。特别地，当 ab 时，双曲线 x2y 21 的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线a2b2x 2y 2a 2 。4、离心率【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比ec ，叫做双曲线的离心率。a提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？（ 2）双曲线的形状与离心率有什么关系？c2a2b2b22由等式 c2a 2b 2 ，可知： ec11baa2a 2a2a【板书】：双曲线的离心率e1 且 e越大双曲线的开口就越开阔。5、渐近线：提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲

6、线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？在第一象限内双曲线 x2y21 可以化为 ybx2a2，是增函数。a2b2a因为 x2a2x2 ，所以 ybx2a 2bx2b x ，即 yb x ，这个不等式意味着什aaaa么？（它表示直线 yb x 下方半个平面区域。）a（用刚才作矩形的方法画出两条直线yb x ，然后指出区域。）a由于双曲线和直线 yb x 都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线yb x 之aa间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。提

7、问：（2）直线yb x与双曲线x2y 21有什么联系呢？aa2b2（用几何画板课件演示） ：随着 x 无限增大时，点 M ( x, y) 到直线 yb x 的距离就无限趋于零。a【板书】：5、渐近线：直线 yb x 叫做双曲线 x2y21(a 0,b 0) 的渐近线；直线aa2b2ya x 叫做双曲线 y 2x21( a 0, b 0) 的渐近线。ba2b2练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。（ 1）429y236的渐近线方程是：2x 3 y0x（2）4 29y236 的渐近线方程是：2x3y0x（3） 2524y2100的渐近线方程是：5x 2y 0x（4） 2524y210

8、0 的渐近线方程是：5x2 y 0x可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。（启发学生讨论，归纳） 。把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？x2y20 ，即xyxy，这就表示两条渐近线a 2b2aba0bxy0或 xy0 。abab【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1 改成 0，然后变形，即可得其渐近线方程。（三）小结标准方程2y2y2x2x1(a 0, b 0)1( a 0, b 0)a 2b 2a2b2yyF2图形焦点范围对称性性B2A2A1A2OxoxA1B1F1F（10）,(,0)F1( 0, c), F2 (0, c)c，F2cxa或 xa ， y Ry a或y a, x R关于 x 轴， y 轴，原点都对称顶点A1( a,0), A2 ( a,0)A1(0,a), A2 (0, a)质离心率c1ea渐近线yb xya xab（四）典型例题与变式训练例 1、求双曲线 9 y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解：把方程 9 y 216x2144化为标准方程