LI game theory section 6

1、WELCOME第第六六章章 不不完全信息静态博弈完全信息静态博弈6 6.1 .1 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡6 6.2 .2 暗标拍卖暗标拍卖6 6.3 .3 双方报价拍卖双方报价拍卖6 6.4 .4 拍卖规则设计问题和揭示原理拍卖规则设计问题和揭示原理6 6.5 .5 混合策略和不完全信息混合策略和不完全信息12/13/202116.16.1静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡衡ABOUT GAME THEORY12/13/20212 在不完全信息静态博弈中，博弈参与者同时进行决在不完全信息静态博弈中，博弈参与者同时进行决策，但博弈一方

2、或多方并不了解博弈的全部信息。策，但博弈一方或多方并不了解博弈的全部信息。 只要在博弈中包含不完全信息，那么这样的博弈通只要在博弈中包含不完全信息，那么这样的博弈通常也被称为常也被称为贝叶斯博弈（贝叶斯博弈（Bayesian GameBayesian Game）。）。 不完全信息静态博弈的均衡通常被称为不完全信息静态博弈的均衡通常被称为贝叶斯纳什贝叶斯纳什均衡（均衡（Bayesian Nash EquilibriumBayesian Nash Equilibrium）12/13/20213不完全信息静态博不完全信息静态博弈弈12/13/20214静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈信用困境信用困境2

3、2，2 20 0，-1-1-1-1，0 01 1， 1 1诚信诚信欺诈欺诈诚信诚信欺诈欺诈商人商人2(2(良商良商) )商人商人1 12 2，2 20 0，3 3-1-1，0 01 1，1 1诚信诚信欺诈欺诈诚信诚信欺诈欺诈商人商人2(2(奸商奸商) )商人商人1 1信用困境博弈信用困境博弈商人商人1 1对商人对商人2 2不同的信念不同的信念导致即使相导致即使相同的策略同的策略, ,也也会出现不同会出现不同的收益的收益12/13/20215静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈信用困境信用困境H H良良商商2 2C CH H奸商奸商2 2C C1 1H HC CH HC CH HC CH HC C信用困

4、境的扩展式信用困境的扩展式1 1一、暗标拍卖的基本特征一、暗标拍卖的基本特征 密封递交标书密封递交标书 统一时间公正开标统一时间公正开标 标价最高者以所报标价中标标价最高者以所报标价中标 中标博弈方的得益不仅取决于标价，还取决于他对拍卖标中标博弈方的得益不仅取决于标价，还取决于他对拍卖标的物的带有很大主观性的估计的物的带有很大主观性的估计 每个博弈方的估价通常是自己的私人信息每个博弈方的估价通常是自己的私人信息12/13/20216静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈暗标拍卖暗标拍卖2021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授7 定义：假定在古诺模型中，各个厂商对彼此的得益不定义：假定在古诺模型中，各

5、个厂商对彼此的得益不是共识的，则该模型称为是共识的，则该模型称为“不完全信息古诺模型不完全信息古诺模型”。由于模型中的两个厂商在信息方面是不平等，不对称由于模型中的两个厂商在信息方面是不平等，不对称的，因此有时也称其为的，因此有时也称其为“不对称信息的古诺模型不对称信息的古诺模型”。12/13/20217静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈古诺模型古诺模型描述：市场需求为描述：市场需求为P(Q)P(Q)a aQ Q，其中，其中Q Q为市场总产量，为为市场总产量，为两厂商产量两厂商产量q1q1和和q2q2之和，即之和，即Q Q q1q1q2q2。 厂厂商商1 1的成本函数为的成本函数为C1C1 C1C1

6、（ q1q1） C1q1C1q1，即无固定成即无固定成本，边际成本为本，边际成本为C1C1，它是两个厂商都清楚的，它是两个厂商都清楚的。 厂厂商商2 2的成本函数却只有厂商的成本函数却只有厂商2 2自己完全清楚自己完全清楚，厂商，厂商1 1只知只知道有两种可能性，一种是道有两种可能性，一种是C2C2 C2C2（ q2q2） CH q2CH q2，概率，概率为为；另；另一种是一种是C2C2 C2C2（ q2q2） CLCL q2q2，概率为，概率为1 1，而而CHCL,CHCL,也即边际成本有高、低两种可能。也即边际成本有高、低两种可能。静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈古诺模型古诺模型12/13/2

7、02182021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授9厂商厂商2 2在边际成本是较高的在边际成本是较高的CHCH时会选择较低的产量，时会选择较低的产量，而在边际成本为较低的而在边际成本为较低的CLCL时会选择较高的产量。时会选择较高的产量。 厂厂商商1 1在做出自己的产量决策时当然会考虑厂商在做出自己的产量决策时当然会考虑厂商2 2的这种行为特点。设厂商的这种行为特点。设厂商1 1的最佳产量为的最佳产量为q1q1* * 厂商厂商2 2的边际成本为的边际成本为CHCH时的最佳产量为时的最佳产量为q2q2* *（CHCH），），边边际成本为际成本为CLCL时的最佳产量为时的最佳产量为q2q2* *

8、（CLCL），），根据上面的假根据上面的假设，设， q2q2* *（CHCH）满足下式：）满足下式：2*122max()HqaqqCq静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈古诺模型古诺模型12/13/202192021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授10q2q2* *（CLCL）满足：）满足：q1q1* *满足：满足：即厂商即厂商2 2是在不同边际成本下分别根据是在不同边际成本下分别根据q1q1* *求出使自求出使自己取得最大得益的产量。而厂商己取得最大得益的产量。而厂商1 1则根据则根据q2q2* *（CHCH）和和q2q2* *（CLCL）及它们出现的概率求出使自己获得最）及它们出现的概率求出使

9、自己获得最大期望得益的产量。大期望得益的产量。2*122max()LqaqqC q1*12111211max ()(1)() HLqaqqCC qaqqCC q静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈古诺模型古诺模型12/13/2021102021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授11*12()2HHaqCqC*12()2LLaqCqC*121211 ()(1)()2HHqaqCCaqCC*122()()36LLHLaCCqCCC*1221()()36HHHLaCCqCCC*112(1)3HLaCCCq 上述三个最大值问题的一阶条件为：上述三个最大值问题的一阶条件为：解由这三个方程构成的方程组得：解由这

10、三个方程构成的方程组得：静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈古诺模型古诺模型12/13/2021112021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授12 与完全信息古诺模型比较与完全信息古诺模型比较完全信息古诺模型中的的产量完全信息古诺模型中的的产量*12123aCCq*22()HqCq2HCC1LCC*22()LqCq静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈古诺模型古诺模型12/13/202112*21223aCCq 完全信息静态博弈的一般表达式：完全信息静态博弈的一般表达式： 静态贝叶斯博弈的一般表达式：静态贝叶斯博弈的一般表达式：,;,11nnuuSSG,;,;,;,1111nnnnuuppTTAAG|iiii

11、ttpp其中其中ui=ui(a1,a2,an,ti)，其中其中t ti i是是i i的私人信息的私人信息12/13/202113静静态态贝叶斯博弈的一般表示贝叶斯博弈的一般表示博弈方博弈方i i在知道自己的类型是在知道自己的类型是t ti i 的的前提下对其他博弈方前提下对其他博弈方t-t-i i的判断的判断 托马斯托马斯 贝叶斯（贝叶斯（Thomas BayesThomas Bayes）于）于 17021702年年 出生于英国伦敦。出生于英国伦敦。 贝叶斯是著名的数学家、统计学家和神学家。贝叶斯是著名的数学家、统计学家和神学家。 贝叶斯十七岁时进入英国著名的爱丁堡大学学习逻辑学和神贝叶斯十七

12、岁时进入英国著名的爱丁堡大学学习逻辑学和神学，著作颇丰。学，著作颇丰。 1742 1742 年，贝叶斯荣任英国皇家学会会员。年，贝叶斯荣任英国皇家学会会员。 贝叶斯对概率论和数理统计理论的早期发展做出了杰出的奠贝叶斯对概率论和数理统计理论的早期发展做出了杰出的奠基性贡献基性贡献12/13/202114专专栏：托马斯栏：托马斯 贝叶斯和贝叶斯贝叶斯和贝叶斯公式公式 贝叶斯对统计理论的主要贡献是提出了贝叶斯对统计理论的主要贡献是提出了“逆概率逆概率”这个概念，这个概念， 贝叶斯推导出后来以他的名字命名的贝叶斯推导出后来以他的名字命名的“贝叶斯公式贝叶斯公式（Bayesian LawBayesian

13、 Law）” 全概公式全概公式 设试验设试验 E E 的样本空间为的样本空间为 ，事件，事件 构成样本空间构成样本空间的一个划分（或构成一个完备事件组），且的一个划分（或构成一个完备事件组），且 P(AP(Ai i) 0) 0，i i = 1,2,n= 1,2,n。则对任意一个事件。则对任意一个事件 B B，有：，有：12,.,nA AA1( )() (/)niiiP BP A P B A12/13/202115专专栏：托马斯栏：托马斯 贝叶斯和贝叶斯贝叶斯和贝叶斯公式公式 贝叶斯公式（逆概公式）贝叶斯公式（逆概公式） 设试验设试验 E E 的的样本空间为的的样本空间为 ，事件，事件 构成样本

14、空构成样本空间的一个划分（或构成一个完备事件组），且间的一个划分（或构成一个完备事件组），且 P(AP(Ai i) 0) 0，i i = 1,2,n = 1,2,n。则对任意一个事件。则对任意一个事件 B B，有，有12,.,nA AA1() (/)(/)() (/)jjjniiiP A P B AP ABP A P B A1,2,.,jn12/13/202116专专栏：托马斯栏：托马斯 贝叶斯和贝叶斯贝叶斯和贝叶斯公式公式 可以用博弈树表示完全信息动态博弈。可以用博弈树表示完全信息动态博弈。 美裔经济学家约翰美裔经济学家约翰 海萨尼（海萨尼（John John HarsanyiHarsany

15、i）提出了）提出了海萨尼转换（海萨尼转换（HarsanyiHarsanyi Transformation Transformation）方法。）方法。 通过海萨尼转换，可以将不完全信息静态博弈转化为博通过海萨尼转换，可以将不完全信息静态博弈转化为博弈树的表达方式。弈树的表达方式。12/13/202117海萨尼转换海萨尼转换12/13/202118静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈市市场阻扰博弈场阻扰博弈4040，5050-10-10，0 00 0，3003000 0，300300默许默许斗争斗争进入进入不进入不进入在位者（高成本）在位者（高成本）进入者进入者3 30 0，8 80 0-10-10，1

16、001000 0，4 400000 0，4 40000默许默许斗争斗争进入进入不进入不进入在位者（低成本）在位者（低成本）进入者进入者12/13/202119静态贝叶斯博静态贝叶斯博弈弈市市场阻扰博弈场阻扰博弈海萨尼转换后的市场阻扰博弈扩展式海萨尼转换后的市场阻扰博弈扩展式高高 p pN N低低 1-p1-p进进入者入者不进入不进入进入进入不进入不进入进入进入（0 0，300300）（0 0，4 40000）（4040，5050）（-10-10，0 0）（3030，8 80 0） （-10-10，100100）在位者在位者在位者在位者合作合作斗争斗争合作合作斗争斗争2021-12-13经济博弈

17、论 徐寅峰 教授20 基本思路：将静态博弈转化为动态博弈基本思路：将静态博弈转化为动态博弈（1 1）假设有一个名为）假设有一个名为“自然自然”的博弈方的博弈方0 0，该博弈方的作，该博弈方的作用是先为其他每个博弈方抽取他们的类型，抽取的这些用是先为其他每个博弈方抽取他们的类型，抽取的这些类型构成类型向类型构成类型向量量 , ,其中其中 ，i i=1,=1,，n n。（2 2）“自然自然”让每个博弈方知道到自己的类型，但却不让让每个博弈方知道到自己的类型，但却不让其他博弈方知道。其他博弈方知道。iitT12/13/202120海萨尼转换海萨尼转换2021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授21（

18、3 3）除了）除了“自然自然”以外的其他博弈方同时从自己的行为空以外的其他博弈方同时从自己的行为空间中选择行动方案间中选择行动方案a a1 1，a an n. .（4 4）除了博弈方）除了博弈方0,0,即即“自然自然”以外以外, ,其余博弈方各自取得收其余博弈方各自取得收益益u ui i= =u ui i(a(a1 1，a an n,t,ti i) )其中其中i i=1,2,.=1,2,.，n n. . 这这个博弈就是一个完全但不完美的动态博弈，不过它个博弈就是一个完全但不完美的动态博弈，不过它是带有是带有同时选择同时选择的。的。12/13/202121海萨尼转换海萨尼转换2021-12-13

19、经济博弈论 徐寅峰 教授22 策略定策略定义义: :在静态贝叶斯博弈在静态贝叶斯博弈 中中, ,博弈方博弈方i i的一个策略是该博弈方自己的类型的一个策略是该博弈方自己的类型t ti i的函数的函数S Si i(t(ti i),),其中其中t ti i属于属于T Ti i. S. Si i(t(ti i) ) 设定在自然抽取的博弈方设定在自然抽取的博弈方i i的类型为的类型为t ti i 的情况下的情况下, ,博弈方博弈方i i从行动空间从行动空间A Ai i中所选择的行中所选择的行动动a ai i. .1111,;,;,;,nnnnGAA TT PP uu12/13/202122贝贝叶斯纳什

20、均衡叶斯纳什均衡S Si i: :T Ti i( (类型空间类型空间) ) A Ai i( (行为空间行为空间) )2021-12-13经济博弈论 徐寅峰 教授23 均衡定均衡定义义: : 在静态贝叶斯博弈在静态贝叶斯博弈 中中, ,如果对任意博弈方如果对任意博弈方i i和他的每一种可能的类型和他的每一种可能的类型 所所选择的行动都能满足选择的行动都能满足 则则 就称为一个就称为一个（纯策略）贝叶斯纳什均（纯策略）贝叶斯纳什均衡衡 即即博弈中的任何一方都不会单独改变自己策略中的哪博弈中的任何一方都不会单独改变自己策略中的哪怕怕 是是一种类型下的一个行动。一种类型下的一个行动。*111111ma

21、x ( ),.,(), ,(),.,( ), ) (| )iiiiiiiiinniiiaAtu s tsta ststtp tt*1,nSSS1111,;,;,;,nnnnGAA TT PP uu *,iiiitT St12/13/202123贝贝叶斯纳什均衡叶斯纳什均衡6.26.2 暗暗标拍标拍卖卖ABOUT GAME THEORY12/13/202124jijiiijiiiiibbbbbvbbbvvvbbuu，当，当，当02/ )(),(2121)(21)(maxjiiijiiibbbPbvbbPbvi博弈方博弈方i i行为为他的标价行为为他的标价b bi i, ,行为空间行为空间A Ai

22、 i=0,1=0,1，类，类型为他的估价型为他的估价i i，类型空间，类型空间T=T=i i| | i i0,10,112/13/202125暗标拍卖暗标拍卖0;)(jijjjjjbbPvcavbj的策略为设博弈方)(max)(max)(maxjjiiibjjijiibjjjiiibcabbvcabvPbvvcabPbviiijijjijiiiavaavavvb，当，当2)(博弈方博弈方i i对博弈方对博弈方j j的最佳反的最佳反应函应函数：数：12/13/202126线性策略均衡线性策略均衡 若要求双方策略为严格线性函数若要求双方策略为严格线性函数( (即即a aj j0)0)，则博，则博弈

23、方弈方i i的最佳反应为：的最佳反应为：222)(ijjiiivaavvbiiiiivcavb)(2/1, 2/ijicaa同同理，在理，在a ai i00时，时， 是博弈方是博弈方j j的最佳反应的最佳反应2/1, 2/iijcaa2/1, 0jijiccaa贝叶斯纳贝叶斯纳什均衡什均衡2/)(iiivvb即12/13/202127线性策略均衡线性策略均衡6.36.3 双双方报价拍卖方报价拍卖ABOUT GAME THEORY12/13/202128模型模型区间上，分布于相互知道对方估价标准，卖方估价为买方对货物估价为成交，否则不成交。，以价格如果，卖方报价买方报价 102/ )(sbsbs

24、bsbvvPPPPPPP12/13/202129双方报价拍卖双方报价拍卖贝叶斯纳什均衡贝叶斯纳什均衡)(2)(| )(max)( 10ssbssbssbbPbbbvPPPvPPvPEPvvPvb必须满足，对任意)(2)(| )(max)( 10sbbssbbbbsPsssPvPPvPvPvPEPvPvs必须满足，对任意)(bbvP)(ssvP双方策略为双方策略为12/13/202130bv0 x1交易交易bvsbvv sv，即不卖，否则时，卖方策略：，即不买，否则时，买方策略：，中任意一个值，给定1010sssbbbPxPxvPxPxvx如市场流行价，政府指导如市场流行价，政府指导性价格，或根

25、据物价指数性价格，或根据物价指数计算的理论价格计算的理论价格一价均衡的交易区域一价均衡的交易区域sbxs x bx sb效率不高，损失许效率不高，损失许多双方获益的机会多双方获益的机会12/13/202131一价均衡一价均衡sssssbbbbbvcavPvcavP)()(卖方策略买方策略sbbavP3132)(3132bbsscavPssbbsbbPcaPPaPvb)2(21maxbsbbssbbsPcPcavPcaPs)2(21max12132bbvP4132ssvP12/13/202132线性策略均衡线性策略均衡4132,12132ssbbvPvP4/1sbsbvvPP011交易bvsbv

26、v sv4/1sbvv线性均衡策略的交易策略线性均衡策略的交易策略12/13/202133线性策略均衡线性策略均衡一价均衡的交易区域一价均衡的交易区域bv0 x1交易交易bvsbvv svsbxs x bx sb12/13/202134两种两种均衡的比较均衡的比较011交易bvsbvv sv4/1sbvv线性均衡策略的交易策略线性均衡策略的交易策略6.46.4 拍拍卖规则设计问题和揭示原理卖规则设计问题和揭示原理ABOUT GAME THEORY12/13/202135 投标人较少，且不识货时，买方的出价可能非常低，投标人较少，且不识货时，买方的出价可能非常低，使拍卖商品得不到应有价格，如果投

27、标人之间形成某使拍卖商品得不到应有价格，如果投标人之间形成某种形式的串通，则卖方更吃亏。种形式的串通，则卖方更吃亏。 投标人参与投标而不中标没有任何代价，投标人就不投标人参与投标而不中标没有任何代价，投标人就不会积极争取成交，会采用低标价多次参加投标的方法，会积极争取成交，会采用低标价多次参加投标的方法，希望投机获较大利益。如果投标人都这样做，价格肯希望投机获较大利益。如果投标人都这样做，价格肯定会偏低，对卖方不利。定会偏低，对卖方不利。 拍卖规则设计、拍卖方式选择：拍卖规则设计、拍卖方式选择：底价、保证金、中标底价、保证金、中标规则和价格规则和价格。12/13/202136拍卖规则设计问拍卖

28、规则设计问题题直接机制直接机制必须成立，概率之和况。对各种可能的声明情中标，则价格为如果投标方。概率为标方中标，随机选择的，即要随机选择哪个投拍得标的的概率为，则投标人假如各投标人的声明是类型是什么做声明，不管他的真实中的任意类型可以选择其类型空间人不要求诚实，因此投标类型）。因为并标的的估价（即他们的投标人同时声明自己对1),(),(),(),(),(),(),(. 2. 111211111nnnninniininittqttqttqttttpiqttqittTi12/13/202137直接机制和揭示原理直接机制和揭示原理/, 12/. 2 1 , 0. 1 10212121iiiiiVpq

29、qVqiVVVVV中标的价格为，中标的概率为投标人，、两投标人同时声明上标准分布，都是、的估价类型只有两个投标人，他们12/13/202138说实话的直接机制说实话的直接机制 设线性齐次策略：设线性齐次策略： 说真话说真话 iiiVaV )(2)(2max)(2)(222iiiiiiiiaiiiiiiiiiaaVVaVVaVaVVaVVVEuiiiiiVVaa，时，当一阶条件122/1ia12/13/202139投投标人的声明价是真实标人的声明价是真实估价的倍数或者比例数估价的倍数或者比例数 定理定理： 任何贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，都可以被一任何贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，都可以被一个说实话的直接机制个说实话