含参数导数问题分类讨论(学生)

1、含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、 最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、 分类讨论、转化与化归、 数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题， 对考生的能力要求非常高， 它不仅要求考生牢固掌握基础知识、 基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx 恒成立，只须求出fxmax，则 afxmax ；若afx恒成立，只须求出fxmin，则afx min ，

2、转化为函数求最值例 1、已知函数f ( x)x ln x. （）求f ( x)的最小值；（）若对所有x1都有f ( x)ax1, 求实数a 的取值范围.二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论2a) .例 2. 已知 a 是实数，函数 f ( x) x（ x（）若 f (1)3, 求 a 的值及曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；（）求 f ( x)在区间 0 ， 2 上的最大值三、导函数为0

3、是否存在，分类讨论策略求导后， 考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，与 0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令 =0，求分点，从而引起讨论例 3、已知函数f ( x)x2xa ln x ， (aR) ， 讨论 f ( x) 在定义域上的单调性四、导函数为0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后， 导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内， 但这些实根的大小关系不确定，分不了区间所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论例 4、已知 m0 ，讨论函数mx23(m 1) x

4、3m 6的单调性f (x)ex练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），从而引起讨论。，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。三、1 08 广东（理）设 k1, x 1R ，函数 f (x) 1 x, F (x) f (x) kx, x R ，x1, x 1试讨论函数F ( x) 的单调性。(08浙江理)已知 a 是实数，函数f xx x a2（）求函数fx的单调区间；

5、（）设 ga 为 fx 在区间 0,2上的最小值。（ i ）写出 g a的表达式；（ ii ）求 a 的取值范围，使得 6 g a2 。3（ 07 天津理）已知函数 f x2axa21x21x R ，其中 a R 。（）当 a1 时，求曲线 yfx在点 2, f 2处的切线方程；（）当 a0时，求函数 fx的单调区间与极值。4（ 07 高考山东理改编）设函数f x x2bln x 1 ，其中 b0 ，求函数 fx 的极值点。含参数导数的解题策略例 1、解：（）略（）对所有 x1 都有 f ( x)ax 1， 对所有 x1都有 x ln xax1 ，即 aln x1 .x记 g(x)ln x1

6、, ( x 0), 只需 ag( x) min .x令 g' (x)110, 解得 x1.xx 2g' ( x)0x1, g' (x)00x1. 当 x1时， g (x) 取最小值 g(1)1. a 1. 即 a 的取值范围是 a a 1 .例 2. 解：（ I ）略（ II）令 f '(x)0 ，解得 x10, x22a3当 2a0 ，即 a0 时， f ( x) 在 0 ， 2 上单调递增，从而fmaxf (2)8 4a 3当 2a2 时，即 a3 时， f (x) 在 0 ， 2 上单调递减，从而fmaxf (0)0 3当 02a2，即0a3 ， f (x

7、) 在 0, 2a上单调递减， 在 2a , 2上单调递增，333从而fmax84a,0a2.0,2a3.综上所述， f max84a,a2.0,a2.例 3、 解： 由已知得 f( x)2x1a2x2xa ,( x 0) ，xx（ 1）当（ 2）当18a0， a10 恒成立，f ( x) 在 (0,) 上为增函数时， f (x)818a0， a1时，81)1118a118a118a118a0 a时，220 ， f (x) 在 2,28上为减函数，f (x) 在 (0, 11 8a , 11 8a ,) 上为增函数，222）当 a0时， 1 1 8a0 ，故 f (x) 在 0, 11 8a

8、上为减函数，22118af (x) 在 ，）上为增函数1综上，当 a时， f ( x) 在 (0,) 上为增函数8当 0a1 时， f ( x) 在 118a ,118a 上为减函数，822f ( x) 在 (0, 118a , 118a ,) 上为增函数，22当 a0 时， f ( x) 在（ 0， 118a 上为减函数，f ( x) 在 118a ，22）上为增函数例 4、解： f ( x)mx2(m3)x3，设 g( x)mx2(m3)x3 ，令 g( x)0 ，ex得 x13 ， x21m3)，( 1,1)当0m 3 时， x1x2 ，在区间 (,) 上 g(x)0 ，即 f ( x)

9、0 ，m所以 f (x) 在区间 (,3)，(1,) 上是减函数；3， 1)m3 ， 1) 上是增函数；在区间 (，g( x)0 ，即 f (x)0 ，所以 f (x) 在区间 (mm2）当 m3 时，x1x2 , 在区间 (,1)，(1,) 上 g( x) 0，即 f( x) 0，又 f (x)在 x1处连续，所以f ( x) 在区间 (,) 上是减函数；3）当 m3 时， x1x2 , 在区间 (,1)，(3 ，) 上 g ( x)0，即 f(x)0 ，m所以 f (x) 在区间 (,1)，(3 ，) 上是减函数；3 ) 上， g( x)m1， 3 ) 上是增函在区间 (1，0，即 f(

10、x)0 ，所以 f ( x) 在区间 (mm数练习11k 1x21, x1kx, x1,1x2解： F ( x)f ( x)kx1x, F '( x)。12kx1x1kx, x 12x, x 11考虑导函数 F '(x)0 是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。1k 12（一）若 x 1，则 F '( x)x。由于当 k0时，F '( x)0 无实根，而当 k 01x2时， F '( x)0 有实根，因此，对参数k 分 k0和 k0两种情况讨论。（ 1）当 k0时， F '( x)0 在 (,1) 上恒成立， 所以函数 F ( x) 在

11、(,1) 上为增函数；2kx11x111k 1kk（ 2）当 k0时， F '(x)x。1x21x2由 F '( x)0 ，得 x11, x211，因为k0，所以 x11 x2 。1kk由 F '( x)0，得 11x1；由 F '(x)0 ，得 x11k。k因此，当 k0 时，函数 F (x) 在 (,11) 上为减函数，在 (11,1) 上为kk增函数。（二）若 x1 ，则 F '(x)12kx 1 。由于当 k0时， F '( x)0 无实根，而2x1当 k0 时， F '(x)0有实根，因此，对参数k 分 k0和 k0两种情况讨论

12、。（ 1） 当 k0 时， F '( x)0在 1,上恒成立，所以函数F ( x) 在 1,上为减函数；kx1112kx12k（ 2） 当 k0 时，F '( x)。2 x 1x1由 F '(x)0，得 x11；由 F '(x)0，得 1x11。4k 24k 2因此，当 k0 时，函数 F (x) 在 1,11上为减函数，在11,上4k 24k 2为增函数。综上所述：（ 1）当 k0 时，函数 F ( x) 在 (,11 ) 上为减函数， 在 (11 ,1) 上为增函数，kk在 1,上为减函数。（ 2）当 k0 时，函数 F (x) 在 (,1) 上为增函数，在

13、1,上为减函数。（ 3）当 k0 时，函数 F (x) 在 (,1) 上为增函数，在1,11上为减函数，在4k21上为增函数。14k2 ,2 解：（）函数的定义域为0,，3 xa'xa3xa3'afxxx 0( x)0 得 x2x2x2x，由 f。3考虑 a 是否落在导函数 f '(x) 的定义域0,内，需对参数 a 的取值分 a 0及 a03两种情况进行讨论。（ 1）当 a0 时，则 f ' ( x)0在 0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。（ 2）当 a0 时，由 f '( x)0，得 xa ；由 f ' (x)0，得 0xa 。33

14、因此，当 a0 时， fx的单调递减区间为0, a， fx的单调递增区间为3a。,3（）（ i ）由第（）问的结论可知：（ 1）当 a0 时， fx在 0,上单调递增，从而f x 在 0,2上单调递增，所以gaf00。（ 2）当 a0 时， fx在 0, a上单调递减，在a ,上单调递增，所以：33 当 a0,2，即 0a6 时， f x 在 0, a上单调递减，在a , 2 上单调递333增，所以 gaa2aa2a3af33。39 当 a2,， 即 a6 时 ， fx 在0,2上单调递减，所以3gaf222a。0,a0g a2aa ,0a 6综上所述，332 2a , a 6（ ii ）令6

15、g a2 。若 a0，无解；若 0 a 6，由62aa2 解得 3 a6 ；33 若 a6 ，由62 2a2 解得 6 a 2 3 2 。综上所述， a 的取值范围为 3a23 2 。3 、 解 ：（ ） 当 a1 时 ， 曲 线 yf x 在 点 2, f 2处的切线方程为6x 25 y32 0。2ax212x2axa212ax ax10 ，所以 f 'a 。（）由于 axx22x2211由 f ' x0 ，得 x11, x2 a 。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大a小。因此，需对参数 a 的取值分 a0 和 a0 两种情况进行讨论。（1）当 a0 时，则 x1

16、x2 。易得 fx 在区间,1， a,内为减函数，在a区间1 , a 为增函数。故函数 fx 在 x11 处取得极小值f1a2 ；函数 f xaaa在 x2a 处取得极大值 f a1。（2）当 a0 时，则 x1x2 。易得 fx 在区间 (, a) ， (1 ,) 内为增函数，在区a间 (a,1 ) 为减函数。 故函数 fx 在 x11处取得极小值f1a2 ；函数 f x 在aaax2a 处取得极大值fa1。4、解：由题意可得fx 的定义域为1,， f ' x2 xb12 x22xb ， f ' xxx1的分母 x1在定义域1,上恒为正，方程2x22xb0 是否有实根，需要对

17、参数b 的取值进行讨论。（1）当48b0，即 b1时，方程 2x22xb0 无实根或只有唯一根x1，22所以 g x2 x22xb0在1,上恒成立， 则 f ' x0在1,上恒成立， 所以函数 fx 在1,上单调递增，从而函数fx 在1,上无极值点。（2）当48b0，即 b1时，方程 2x22xb0 ，即 f 'x0 有两个不相等的2实根： x1112b112b2, x22。这两个根是否都在定义域1,内呢？又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论：（ ） 当 b0 时 ，x1112b1, x2112b1， 所 以22x11, x21,。此时， f 'x 与 fx 随 x 的变化情况如下表：x1, x2x2x2 ,f 'x0fx递减极小值递增由此表可知：当 b0 时， fx 有唯一极小值点112