反比例函数与几何综合.题库学生版

1、学习资料收集于网络，仅供参考反比例函数与几何的综合题一、反比例函数的定义函数 yk （ k 为常数， k 0 ）叫做反比例函数， 其 k 中叫做比例系数， x 是自变量， y 是函数，x自变量 x 的取值范围是不等于0 的一切实数二、反比例函数的图象反比例函数yk （ k 为常数， k 0）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或x减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线反比例函数yk 与 yk （ k 0 ）的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称xx三、反比例函数的性质反比例函数yk （ k 为常数， k 0 ）的图象是双曲线；x当 k 0 时，函数图象的两个分支分

2、别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k 0 时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大注意：反比例函数yk （ k 0 ）的取值范围是 x 0 因此，x图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当 k0 时，双曲线yk 的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小x这是由于 x0 ，即 x0 或 x0 的缘故如果笼统地叙述为k0 时， y 随 x 的增大而增大就是错误的由于反比例函数中自变量x

3、 和函数 y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、 y 轴都没有交点， 但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势学习资料学习资料收集于网络，仅供参考在画出的图象上要注明函数的解析式四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式 yk中，只有一个系数k ，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数(k 0)x的解析式因此，只需给出一组x 、 y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式五、比例系数 k 的几何意义过反比例函数 yk0，图象上一点 P x ，y ，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组kx成一个矩形，矩形的面积Sxy xy k .例题精讲一、反比例函数与几

4、何综合【例 1】 已知点 ( 1，3 )在函数 yk ( x 0 )的图像上， 矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上， E 是对角线 BDx的中点，函数 yk ( x0 )的图像经过 A 、 E 两点，若ABD 45 ，求 E 点的坐标 .x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yADEOBCx【例 2】 如图，点 A ( m ， m1)， B ( m 3 ， m1 )都在反比例函数 yk 的图象上x（ 1）求 m ， k 的值；（ 2）如果 M 为 x 轴上一点， N 为 y 轴上一点，以点A ， B ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式yABOx【例 3

5、】 如图，POAP A APP4、都是等腰直角三角形，点、在函数 y( x 0 )的图像上，斜112 1 212x边 OA1、 A1A2、都在 x 轴上，求点 A2 的坐标 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yP1P2OA1A2 x【例 4】 如图所示， P1x1 ，y1，P2x2 ，y2， Pn xn ，yn在函数 y9x0 的图象上， OP1 A1 ，xP2A1A2 ，P3 A2 A3 ，Pn An1 An ，都是等腰直角三角形，斜边OA1 ，A1 A2 ， An 1 An都在 x 轴上，则 y1y2yn_yP1P2。OA 1A2x【例 5】 如图， P 是函数 y1x 1 交 x 轴

6、于点A ，交 y 轴于点 B ，( x 0 )图象上一点，直线 y2xPM Ox 轴于 M ，交 AB 于 E ， PNOy 轴于 N ，交 AB 于 F . 求 AFBE的值.yBPNFEOMAx【例 6】已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为3 3 ，3 ，点 B 的坐学习资料学习资料收集于网络，仅供参考标为6，0 （ 1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OA B，请直接写出A、 的对称点A、BB 的坐标；（ 2）若将三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数63y的x图像上，求 a 的值；（ 3）若三角形 OAB 绕点

7、 O 按逆时针方向旋转度 ( 090 )当= 30时点 B 恰好落在反比例函数 yk 的图像上，求 k 的值xyAB 6Ox【例 7】 过原点作直线交双曲线 yk ( k 0 )于点 A 、 C ，过 A 、 C 分别作两坐标轴的平行线，围x成矩形ABCD ，如图所示知矩形 ABCD 的面积等于8 ，求双曲线的解析式；若已知矩形ABCD 的周长为 8 ，能否由此确定双曲线的解析式? 如果能够确定， 请予求出；如果不能确定，试说明原因学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yDAOxCB【例 8】如图，已知正方形OABC 的面积为9，点 O 为坐标原点，点A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点

8、B 在函数 yk ( k 0 ， x 0 )的图像上， 点 P ( m ， n )为其双曲线上的任一点， 过点 P 分x别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为E 、 F ，并设矩形OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积为 S 求 B 点的坐标和 k 的值；当 S9 时，求 P 点坐标；2写出 S 关于 m 的函数关系式yCBPFSOAEx学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【例 9】 已知图中的曲线是反比例函数ym5 （ m 为常数）图象的一支x这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？若该函数的图象与正比例函数y2 x 的图象在第一象内限的交点为A ，过 A 点

9、作 x 轴的垂线，垂足为 B ，当 OAB 的面积为4 时，求点 A 的坐标及反比例函数的解析式yOx【例 10】两个反比例函数 yk 和 y1 在第一象限内的图象如图所示，点P 在 yk 的图象上，xxxPC x 轴于点 C ，交 y1的图象于点 A ， PDy 轴于点 D ，交 y1 的图象于点 B ，当xx点 P 在 y k 的图象上运动时，以下结论： x ODB 与 OCA的面积相等；四边形 PAOB的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等；当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）kyy=xBPD

10、A1y=xOCx学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【例 11】两个反比例函数yk1 和 yk2 k1k2 0在第一象限内的图象如图所示，动点Pxx在 yk1的图象上， PCx 轴于点 C ，交 yk2 的图象于点 A ，PDy 轴于点 D ，交 yk2xxx的图象于点 B 求证：四边形PAOB的面积是定值；当 PA2 时，求 DB 的值；PC3BP若点P的坐标为5 ，2，OAB，ABP 的面积分别记为 SOAB 、 SABP，设S SOABSABP求 k1 的值；当 k2 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？yy=k1xBPDk2Ay=xOCx学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【例 12

11、】如图，点 A 、 B 在反比例函数 yk ( k 0 )的图象上，且点A 、 B 的横坐标分别为a 和x2a ( a 0 ) AC x 轴，垂足为 C ，AOC 的面积为 2 （ 1）求反比例函数的解析式；（2）若点 (a ， y1 )， (2a ， y2 )也在反比例函数的图象上，试比较y1 与 y2 的大小；（3）求AOB 的面积yABOCx【例 13】已知：在矩形AOBC 中， OB4 ， OA3 分别以 OB，OA 所在直线为x 轴和 y 轴，建立如图学习资料学习资料收集于网络，仅供参考所示的平面直角坐标系F 是边 BC 上的一个动点（不与B，C 重合），过 F 点的反比例函数 yk

12、的图象与AC 边交于点 E (k 0)x（ 1 ）求证： AOE 与 BOF 的面积相等；（ 2 ）记 S S OEF SECF ，求当 k 为何值时， S 有最大值，最大值为多少？（ 3 ）请探索： 是否存在这样的点 F ，使得将 CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由yAECFOBx【例 14】如图，反比例函数y8 的图象过矩形 OABC 的顶点 B ， OA 、 OC 分别在 x 轴、 y 轴的正x半轴上， OA: OC2:1（ 1）设矩形 OABC 的对角线交于点 E ，求出 E 点的坐标；（ 2）若直线 y 2x m 平

13、分矩形 OABC 面积，求 m 的值yBCOAx学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【例 15】若一次函数 y 2x- 1 和反比例函数 yk 的图象都经过点（1，1）2x（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）已知点 A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；（ 3 ）利用（ 2 ）的结果，若点B 的坐标为（ 2 ， 0），且以点 A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标yCAO E FxB【例 16】如图，点 A m，m 1， B m3 ，m 1 都在反比例函数 yk 的图象上x（ 1 ）求 m，k 的值；（ 2）如果 M 为 x 轴上一点，

14、 N 为 y 轴上一点，以点 A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行学习资料学习资料收集于网络，仅供参考四边形，试求直线MN 的函数表达式yABOx【例 17】已知 A( 1， m) 与 B(2， m3 3) 是反比例函数 yk 图象上的两个点x（ 1）求 k 的值；（ 2）若点 C( 1，0) ，则在反比例函数yk 图象上是否存在点 D ，使得以 A，B，C，D 四点x为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由y1BC-11x-1A学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【例 18】如图，已知反比例函数y12 的图象和一次函数 y kx 7 的图象都经过点Pm，2求

15、x这个一次函数的解析式；如果等腰梯形 ABCD 的顶点 A，B 在这个一次函数图象上，顶点C ，D 在这个反比例函数图象上，两底 AD ，BC 与 y 轴平行，且 A 和 B 的横坐标分别为a 和a 2 ，求 a 的值。yDECPOFBxA【例 19】反比例函数yk 和一次函数 y 2 x 1 ，其中一次函数图像经过a ，b ， a1 ，bk两2x点（ 1 ）求反比例函数的解析式；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 2 ）求出两函数的交点 A 的坐标在 x 轴上是否存在点 P ，使 AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的点 P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由【例 20】如图，如果

16、函数yx 与 y4 的图像交于 A ， B 两点，过点 A 作 AC 垂直于 y 轴，垂足x为点 C ，求BOC 的面积 .yACOxB【例 21】如图，一次函数 ykx b 的图像与反比例函数ym 的图像交于 A( 21)， B(1， n) 两点x（ 1 ）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（ 2 ）求 AOB 的面积学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yAOxB【例 22】正比例函数 y kx ( k0 )与反比例函数 y1 的图象相交于A、C两点，过A作ABx 轴x于 B，连结 BC，若ABC 的面积为 S ，求 S CyAOBx【例 23】将直线 yx 向左平移 1个单位长度后得

17、到直线a ，如图，直线 a 与反比例函数 y1x 0x的图象相交于22A ，与 x 轴相交于 B ，则 OAOB _yaABOx【例 24】已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为， ，点B的坐3 3 3标为6，0 （ 1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OA B，请直接写出、 的对称点A、A BB 的坐标；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 2）若将三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y6 3 的x图像上，求 a 的值；（ 3）若三角形 OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转度（ 090 ）当=30 时点 B恰好落在反比例

18、函数 yk 的图像上，求 k 的值xyAB6Ox【例 25】如图，直线 y kxb 与反比例函数 ykx 0的图象相交于点A、点 B ，与 x 轴交于点 C ，x其中点 A 的坐标为2 ，4 ，点 B 的横坐标为4 （1）试确定反比例函数的关系式；（2）求 AOC 的面积yABCO x【例 26】【例 27】如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数 yk1 x b 的图像与反比例函数yk2 的图像交于xA 1，4，B 3 ，m 两点（ 1 ）求一次函数的解析式；（ 2）求 AOB 的面积学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yA(1,4)B(3,m)Ox【例 28】【例 29】如图，已知 Rt ABC 的顶点 A 是一次函数 yx m 与反比例函数ym 的图像在第一象限x内的交点，且 S AOB 3 （ 1 ）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由（ 2