南京理工大学10份高等数学I试题

1、精选南京理工大学 2002级高等数学 I 试题（ A 卷）一填空题（每小题2 分，共 26分）1设 yx sin 2 (2x1) ，则 y ' =。2.sin 2xxf ( x)0 ,2f ( x)。已知 limx3则 limx2=x0x03f '( x)3.设 f ( x)在1, 3 上具有连续导数，则1 1 f (x) 2 dx_。5.当 x1时，已知 x x1和 a(x1) k 是等价无穷小，则 a =_， k _ .6、 (1 , 3 ) 为曲线 yax 3bx 2 的拐点，则 a =_，b=_。7.x 0是函数11x的_间断点。1e xsin x8.已知f ( x)1

2、, 则 f(100 )(0) =_.xx 269.设 yy( x) 是由方程xyt2dtyex2所确定的隐函数，则dy|x 0 =_.0edx12. 曲线 y ln x 上曲率最大的点为 _。13. 极限 lim n n! 的结果为 _。 .n n二、计算题 (每小题 4 分，共 24 分)x12 lim 3sin xx2 cos2xdx1.limx sinxe3.0sin x ln( 1t3)x 0x2xdt0t41dx5.e |x| dx6.1 2 cos x3 dx1x2 1 x 212ex2三、(6 分)求 y ex2 x 在 0, 2 上的最大与最小值， 并证明： 2e 4xdx 2

3、e2 。0xarctan2t2五、 (6 分 )已知曲线 yy(x) 的参数方程dy ，dy。t ln(1 4t 2 ) ，求ydxdx 2六、 (6 分 )求由曲线 y2与21 x 所围图形的面积。2 x y欢迎下载精选七、(6 分)设 x0 ，证明： x 1 x1，其中 ( x) 满足不等式 1( x)12 x( x)42南京理工大学 2002级高等数学 I 期末试题（ B 卷）一填空题（每小题3 分，共 30分）221 极限 lim ln(cosxx1 x)(1 x) x =x 0esin 2x2 设 x0， dsin x=d 1 .x2x31的 n 阶麦克劳林展开式为 (带皮亚诺型余项

4、 )_.2x4. lim1 2.n =_nnnnp7. limnnsin xx dx =_(p>0)。pxbdx8、当 k 为_时, 广义积分(ba) 收敛 ( k0) 。x)ka (b9.极限 lim cos 1xcosx 的结果是 _。x10. x1 是函数1的_间断点 (请填 :跳跃、可去、无穷、振荡之一 )。11e x1二、计算题 : (每小题 5 分，共 30 分 )1.23x2.1 ln( 2x)dx3.limln( 3n2n1)x e dx0234.( x1)nln( n2n1)1lim (cos x) x ln(1x)x05.11dx6. 已知 f ( x)arctan2

5、x( x0)0 1xx2(x，求 f '( x)10)三、 (6 分 )求由曲线 y2 xx 2与 xy 0所围图形的面积。四、 (6 分 )求函数 f ( x)1x51x3 的极值，并说明是极大值，还是极小值。53欢迎下载精选五、 (7 分 )设 f (ln x)ln(1x) ，求f ( x) dx 。x六、 (7 分 )求证不等式：xln(1，。1x) x ( x 0)x1八、 (7 分 )设 f (x) 在区间 0,1上可导，且满足关系式f (1) 2 2 xf (x)dx 0 ,证明0在 (0, 1) 内存在一点使得 f '( )f ( )。南京理工大学 2003 级高

6、等数学 (I)试题（ A 卷） =a02 a图1图2图3一单项选择题（每小题2 分，共 12 分）1当 x0 时， x sin 1 是 _.x（ A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。2 F( x) 在 a,b 上是 f ( x) 的原函数，则下列式子正确的是_.（ A）df ( x) F (x)c ；（B） d f ( x)dxF (x)dx ；（ C） f (x)dx F ( x)c ；（D） F (x)dx f ( x) c。3已知 lim f ( x) A0 ，则下列说法正确的是 _.x a（ A） f (x) 0 ；（ B） f (x)0 ；（ C

7、）0, 使得 f ( x) 0 (x U 0 ( a, ) ；（D） f ( x)0 。欢迎下载精选4已知函数 f ( x) 在 a, b 的图形 (如图 1），则下列说法正确的是_.（ A） f ( x)0 ， f '( x) 0 ；（B） f ' (x)0 ， f '' ( x)0（ C） f ' ( x)0 ， f ' ' ( x)0 ； （ D） f ' ( x)0 ， f ' ' ( x) 0。5曲线 f (x) 与 x 轴、 xa 、 x b 所围成的三部分为 A、B、C（如图 2），bb它们的面积分别

8、为 2、12 、4，设 f ( x)dx =M，| f (x) | dx =N，则下aa列说法正确的是 _.（A） 函数 f(x) 未知， M，N 不可求；（B ） M=18 ，N=6 ；（C）M=12 ，N=18 ；（D）M=6 ，N=18 。6. x 2 是函数 f ( x)1的。x1 e x 2（ A）. 连续点；（ B）. 可去间断点；（C). 跳跃间断点；（D）. 第二类间断点二填空题（每小题2 分，共 12 分）1设 yx e2 x 1 ，则 y ' =_。2. e2 x 的 n 阶麦克劳林展开式为 _。3.dx_。4.2_。2x (cosx ex ) dxex(ln x)

9、25.曲线 y=sinx 在点（2，1）处的曲率 =_。6.函数yx36x29x4 在 1,2上的最大值为。_x sinxn三、求极限 (每小题 4分，共 8 分)1. lim2. limn2 arcsin xn2x 0 xndyarctan 2xx2tu21du四、求导数(每小题 4分，共 8 分)1y0dx1 4x2； 2.yarctan( 2t1)五、求积分 (每小题 4 分，共 8 分）11 x 2e x dx ；2.1xdx.54 x欢迎下载精选六、 (8 分 )求函数 f ( x)1 x51 x 3 的极值。53七、 (8 分 )设 f ( x)x 2e t 2dt，计算积分 1x

10、f ( x)dx 。10八、(10 分 )阿基米德（Archimedes, 公元前 287-212) 很早就发现了螺线a （后人称之为阿基米德螺线）的一周与极轴所围成的图形面积S1和圆的面积 S2（半径为 2a ）之间的关系（如图 3），请你计算 S1 的大小以及图中螺线一周的弧长，并指出 S1 是 S2 的几分之几。九、 (6 分 )设函数 f ( x) 在 a,b 上具有连续导函数 f ( x) ，且 f (a)f (b)0 ，证明：f ( x)dxM ( ba) 2 ，其中 MMax | f ( x) |。ba4x a , b 南京理工大学 2003 级高等数学 (I)期末试题（ B 卷

11、）一单项选择题（每小题2 分，共 10 分）1当 x0 时， sin xarctan1 是 _.x（ A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。2 f ( x) 在 a,b 上是 F ( x) 的原函数，则下列式子正确的是 _.（A） (xf (t ) ； （B） F (x) f ( x) ；f (t )dt )0（ C） ( f ( 2x)2F (2x) ； （ D） F ( x)dx f ( x) 。3已知 f ( x)0 ,且 lim f ( x)A，则下列说法正确的是 _.xa（A） A0 ；（B） lim11 ；（C） A 0 ;（D） A, 很小x

12、a f ( x)A4广义积分2dx=（）2xx2欢迎下载精选（A） ln 4；（ B） 0 ； （C） 1 ln 4 ；（D）发散 .35.x2 是函数 f ( x)14 的。x21e x2A .连续点；B. 可去间断点；C.跳跃间断点；D. 第二类间断点二填空题（每小题2 分，共 14 分）1设 yx 2x5，则在 x=3 处的微分 dy_。2. limx tan x_。ln(1x)x0 arcsin x3.曲线 y=cosx 在点（，0）处的曲率 =_。24.lim (1111) =_。n1 2n 2 2n 3 2nn 2n5.曲线 yln( e1) 的水平渐近线为 _。xxsin2 td

13、t6.0_。limx3x07设 yxe2 x ，则 y (20 ) (x)_.三、求极限 (每小题 4 分，共 8 分) 1. limx sin2 x2. lim 112xx 01xx 0x1cos21sin x四、求导数 dy (每小题 4 分，共 8 分)1 ylnx2x ； 2.xt 2 2t.dxyln( 2t1)五、求积分 (每小题 4分，共 8分）1sin xdx；2.ex1dx .ln 21cosx0六、 (6 分 )已知 f (0)f ( 0)1, f (2)f( 2)1 ，求2xf ( x) dx 。0七、 (6 分 )求证不等式： sin xtan x2x(0x) 。2欢迎

14、下载精选八、（ 6 分）求函数fxxln2 x的极值。()九、 (8 分 )求由曲线 y22x 与 y 21 x 所围图形的面积。十、(6 分)设函数 f: 0,1R 在0，1上二阶可导，并且 f (0)f (1) ，| f (x) |2 ，证明：在 0，1上必有 | f(x) | 1。南京理工大学2004 级高等数学 I 试题（ A 卷）一单项选择题（每小题2 分，共 10 分）1 f (x)x3 在原点 _.A 不连续； B 连续，但不可导； C 可导但导数不为零； D 导数为零。2yx3ax2bx在 x0 取得极小值，则 _.A a0, b0; Ba0, b 0; C a 0, b 0;

15、 D 以上都不正确。3x2 是 f ( x)x2x6x的_.2A 连续点； B 可去间断点； C 跳跃间断点； D 第二类间断点。4 设 f ( x)在区间a, b 上有定义，下列说法正确的是_.A 若 f (x) 在 a, bB 若 f (x) 在 a, b内连续，则上可积，则f (x) f (x)在在a, ba, b上可积；上连续；C 若 f (x) 在 a, b上恒大于零，则 f ( x) 在 a, b 上可积；D 若 f ( x) 在 a, b 上可积，则 f (x) 在 a, b 上有界。5 对广义积分 1 ( xdx，下列说法正确的是 _.2)1 pA 当 p1时，收敛；B 当 p

16、1时，发散；C 一定收敛；D 当 p0 时，收敛欢迎下载精选二填空题（每小题3 分，共 15 分）1 函数 yx arctan 2x 的微分是 _.2 设 f ( x)xsin x, x0,2 , f 的拐点 _.x23 当 x0时， 0 sin t 2 dt 和 x k 是同阶无穷小，则 k_ .4 积分2x2 (sin x1)dx_.25设 f (x)sin x, x0,1 , M ni是 f ( x) 在i 1,i 上 的 最 大 值 ，nni1,2,n,则极限 lim 1 nM ni_.nn i 1三 求极限（每小题5 分，共 10分）1 已知 an 12an3, a11,证明 lim

17、 an 存在，并且求此极限。nx1) dt2lim0 (etx2n四 求导数（每小题5 分，共 10分）1 已知y12 y,求 dy2 已知 y sin xln x, 求 d 2 yxedx .dx2 .五 求积分（每小题5 分，共 10分）1ln(1x)dx4x2x22xdx11六 （8 分）设 f (x)1，把 f (x) 展开成带 Peano型余项的 n阶麦克劳林x3公式，并求 f (50) (0).七 （8 分）计算由曲线 yxx2 和 x 轴所围平面区域的面积；并求此平面区域绕 x 轴旋转而得立体体积。八 （ 5 分）设 f ( x) 的导函数 f '( x) 在 a, b

18、上连续，证明：欢迎下载精选limbf (x) s i ntxdx 0at九（ 4 分）若 lim f (x)A,用极限定义证明l i mf ( 1 ) A.x 0xx南京理工大学2005 级高等数学I 试题（ A 卷）一 填空题（每小题2 分，共 20 分）1若 f (x)1x, x0则 f ( g( x)_。2x, x, g( x) ln x ,02f ( x) ( x1)4 ( x6) 的拐点为 _。3设 yf (ln x)ef ( x)， f ( x) 为可微函数，则dy _。4已知 f ( x)xsin t2 dt, g( x) x3x4 ，当 x0 时， f ( x) 比 g( x)

19、 是 _0无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。5极限 limxarcsin2x _。x 0 x ln(1x)6设 F (x)x2t | dt, ( x 0) ，则 F ( x)_。0| x7心形线2(1cos ) 弧长为 _（用积分表示出来即可） 。81sin x12)dx _。积分(x2x119设 f (x)xln x 在 x01 处的 n 阶 Taylor公式是nak ( x 1)ko(x1)n ), x 1，则 当 n3 时 系数 an _。k 010 已知 f ( x)2x2 , 则极限 lim11xn2nnk 1f (2k 1) _。2n二 计算（每小题 6 分,共12 分）1 已知 f

20、 (2) 5, f '(2) 1，求极限 lim 5x2 f (x) 。x 2x2欢迎下载精选2 找出函数 f ( x) | x | (x 1) 的间断点，并且指出间断点的类型。 sin( x)三 计算（每小题6 分,共 12 分）1xln(1t 2 )d 2 y若arctant， 求dx2 。y2若圆 (x a)2( yb) 2r 2 与 y x2 均过（ 0， 0）点，且在（0， 0）点有相同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。四 计算（每小题6 分,共 12 分）1求 f (x)1 ln 2 x 的单调区间和极值。x2曲线 yln x 与直线 yaxb在 (c,ln c) 处相切

21、，其中 2 c4 ，求 c 使得y ln x ， yaxb ， x2, x4 所围区域的面积最小。五 计算（每小题6分,共 12 分）1arcsin x。x2dx2已知 Acos x2 dx ，试用A 表示定积分2 sin x cosx00dx 。(x2)( x1)六 证明 （每小题 6分,共 12 分）1若数列 xnn1dx ，证明 数列 xn 极限存在。131 x22设函数 f (x) 在 0,3上连续，在 (0,3) 内可导，且 f (0)f (1) f (2) 3, f (3) 1 ，试证明存在(0,3) 使得 f '( )0 。七 附加题（ 10 分）本题目不记入总分，本题目

22、分数仅供培优班选拔学生参考下面证明中可直接用“若f '(c0) 存在，则 f (c 0)一定存在”这一事实。设f (x) 在 c 点附近有定义，1 若f ' (c0 存)在，则f '(c0)limf (ch)f (c0) 。h 0h欢迎下载精选2若 f '(c 0)和 f'(c) 都存在，则 f '(c 0) f '(c) 。3举例说明 当 f '(c0) 存在时， f '(c) 可以不存在。4举例说明当f '(c) 存在时， f '(c 0) 可以不存在。南京理工大学 2005 级高等数学 I 试题（ B

23、 卷）一 填空题（每小题3 分，共 30 分）1设 f ( x)x2 , g(x)2x 则 f ( g (x) g ( f (x) _2设函数 f ( x) 为可微函数， yf (tan x) ，则 dy_。3函数 yx的拐点为 _xx214xln(1 t 2 )dt, g(x) sin x3 ，当 x0 时 f ( x) 比 g( x) 是_已知f (x)0无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。5已知 f'(1) 2 ，则 limf (1h) f (1)_。h 02h6积分2x(sin x1x4 )dx= _27设 f ( x)xex 在 x1 处的 n 阶 Taylor 公式是nak (

24、 x 1)ko( x 1)n ), x 1 ，则k0an _.8曲线 ysin x, x0,2 弧长为 _（用积分表示出来即可） 。9 广义积分dx2exlnx10 已知 f ( x) ex，则极限 lim 1n2nnk 1。f ( 2k1) _。2n二 计算 （每小题7 分，共14 分）11求极限 lim( sin x) 1 cos x 。x 0x欢迎下载精选1arctan 12 找函数 f ( x) ex的间断点，并且指出间断点的类型。x1三 计算 （每小题7 分，共14 分）1求 曲线x sin t在 t处的切线方程。ycos2t62已知 ysin( xy)确定隐函数 yy(x) ，求

25、d 2 y2 。dx四 计算（每小题 7 分，共14 分）1e2 x(tan x 1)2 dx222 dxx2 4 x0五计算（每小题7 分，共 14分）x3x11已知函数,0f ( x)3ax3b,1x，确定 a, b 使得 f ( x) 在 0,3 区间上满足 Lagrange中值定理的条件。2求 f (x)x2432 的极值点和极值x六计算或证明（每小题7 分，共14 分）2221求 曲线 x 3y3a 3所围平面区域的面积。2如果函数 f ( x) 在 a,) 内可导，且当 x (a,) 时， | f '( x) |M （M 是常数），证明limf ( x)0x2x南京理工大学

26、2006 级高数 1 期末试卷 A一填空题（每题 3 分，共 30 分）1f (x) 的定义域为（）。1 y f (lg x) 的定义域为 ,2 ，则 y2欢迎下载精选12当 x0时 (1ax 2 ) 3 1与 cosx1是等价无穷小量，则a （）。3设 f(3)f (3h)f (3)）。2 ，则 lim2h（h00xcost 2 dt4 d2（）。x5函数 f ( x)ln x 2x 单调增加区间是（）。6曲线 yx ln(e1)( x0) 的斜渐近线为（）。sin xxf (ax)f ( x) 的一个原函数，a 0）。7是。则dx （xa8设 f (x) 具有连续的二阶导数， f (0)1

27、, f (2)3, f ( 2)1xf (2 x)dx （5 ，则）。10x dx （9x2）。1ee10 lim 1 n(n1)(n2)2n（）。n n二计算题（每题6分，共 36分）x2e t )dt11 )(et1求 lim cot x(2 求 lim 02x 0sin x xx 01cos x3设 f ( x) 可微，且f (x) 0， yf ( ln f (x) ，试求 dy 。f ( x)xa(tsin t )2，求 dy4设函数 y y( x) 由下述参数方程确定a(1cost )。ydx 2xex35求积分dx6 求积分41 cos2xdxex10三解答题（ 10 分）试讨论方

28、程xe xa (a0) 的实根。四应用题（ 15 分）1（ 8 分）已知 f( x) 是周期为 5 的连续函数， 它在 x0 的某邻域内满足关系式 f (1 sin x) 3 f (1 sin x)8x( x) ，其中(x) 是当 x0时比 x 高阶的无穷小， 且 f ( x) 在 x 1处可导，求曲线yf (x) 在点 (6,f ( 6) 处的切线方程。欢迎下载精选2（ 7 分）设曲线yx 2x2 与 y 轴的交点为P，过 P 点作该曲线的切线，求切线与该曲线及 x 轴围城的区域绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积。五证明题（ 9 分）设 f (x) 在 a,b 上不恒为零，且其导数f ( x) 连续，并且有 f (a)f (b) 0 ，试证明存在 a,b ，使 f ( )4b2f ( x)dx 。(ba)a南京理工大学2006 级高等数学 1 试卷 B一填空题（每题3 分，共 30 分） :1