反比例函数一对一辅导讲义

1、教学目标重点、难点考点及考试要求1、理解反比例函数的概念。2、反比例函数的图像及相关性质。反比例函数的图像和性质：掌握反比例函数的定义、图像和性质的应用。考点 1：反比例函数的有关概念考点 2：反比例函数与一次函数的联系考点 3：反比例函数在生活中的运用教学内容第一课时反比例函数知识考点（ 1）考点一：反比例函数的概念一般地，函数yk (k为常数， k 0）叫做反比例函数。 k 为比例系数，其中自变量 x 的取值范围是xx0的一切实数。因为k 0,x 0，所以y= k 的函数值 y 也不等于 0，因此可以知道y 的取值范围x是 y0的一切实数。(1) 反比例函数 y= k(k 0) 还可写成y

2、=kx-1 或 xy=k(k 0) 的形式 ;x(2) 反比例函数 y= k(k 0) 的右边是自变量的分式, 而且这个分式的分母是自变量的一次单项式,x分子是一个非零实数 , 如 y= 1 ,y=-5 等都是反比例函数 , 但 y= 2 就不是反比例函数 .3x1x1x3（ 3）反比例函数中的 k 是一个分式，自变量 x0；函数与 x 轴、 y 轴无交点 。 x（ 4）用待定系数法求反比例函数的解析式反比例函数 y= k 中只有一个待定系数k，所以只要知道一对x、y 的值或其图象上的一个点的x坐标，我们就可以用 待定系数法 求反比例函数的解析式。其中k 的值就是 x 与 y 的乘积。典型例题

3、：例 1若函数 y (m 2m) xm2 3m 1 是反比例函数，则 m的值是 _。例 2在下列函数中， y 是 x 的反比例函数是（）A y 2x 1 B2Cy12 y xy2Dx5x例 3反比例函数过点（ 6， -2 ），则它的解析式为。例 4已知： y=y1+y2，其中 y1 与 x 成反比例， y2 与 x-2 成正比例，但当x=1 时， y=-1 ，当 x=3 时，y=3，求函数 y 的解析式。巩固练习：1、若函数 y=0.5x m-3+2n-1是反比例函数，则 y=x2n+2m是_函数。2已知 ( 2,4) 是反比例函数图象上一点，下列各点也在该图象上的是（）A（-1 ， 3）B（

4、2，4）C (2 2,4)D (4 2, 2)3. 已知 y=y1+y2， y1 与 x 成正比例， y2 与 x 成反比例，且 x=1 与 x=2 时， y 的值都为 6，求 x=-4 时， y 的值。考点二 : 反比例函数的图象与性质1反比例函数yk（k 是常数且k0）的图象是关于原点对称的双曲线，当k>0 时，它的两x个分支分别在第一，三象限；当k<0 时，它的两个分支分别在第二、四象限。这两个分支关于原点成中心对称。反比例函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是原点，对称轴是两坐标夹角平分线所在的直线。2反比例函数图象的画法:画反比例函数图象的方法是描点法，

5、由于反比例函数的图象是两条关于原点成中心对称的曲线（即双曲线），故可先画出一个分支，再对称地画出另一个分支，步骤是：列表，描点，连线。3画反比例函数的图象时要注意的问题：由于反比例函数y k 中，x0，故在画图象时既不能把两个分支连接起来，其两个分支x又不能与两坐标轴有公共点（即不能相交）。由于自变量 x 的取值不能为 0，所以一般我们从1 或 1 开始对称取点 。由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为 0，所以，画出的双曲线的两个分支只要分别体现出无限地接近坐标轴，但永远也不能和坐标轴相交的这种变化趋势。反比例函数的性质：1）当 k0 时，图象分布在第一，三象限，在每个象限内，曲线从左

6、向右下降，即在每一个分支上， y 随 x 的增大而减小；2）当 k0 时，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，即在每一个分支上，y 随 x 的增大而增大。 注意： “在每一个分支上 ” 这个条件。描述函数值的增减情况时，必须注意是“ 在每一个象限内 ”，切忌笼统地说 “ 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 ”，因为反比例函数图象的两个分支分别在两个不同的象限内，且中间断开。在研究反比例函数的增减性时，只能在每个分支所在象限内讨论，尽管这两个分支的增减性一样，但笼统地合在一起说就会出现矛盾，导致错误。由以上可知，反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号

7、决定的。表达式ky=x(k 0)k>0k<0yy图 象x0x01图象在第 一、三象限；1图象在第 二、四象限；性 质2每个象限内，函数 y 的值随2在每个象限内，函数 y 值x 的增大而减小随 x 的增大而增大典型例题：例 1函数 y=（ a-1 ）xa 是反比例函数，则此函数图象位于（）A第一、三象限；B 第二、四象限；C 第一、四象限；D 第二、三象限例2.函数ym 与ymxm(m0) 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。xABCD例 3在同一平面直角坐标系中 , 函数 y=k(x 1) 与 y= k (k0) 的大致图象是 ( ) 。xABCDk例111, y3 ) 三点

8、都在函数 y（k<0）的图象上，则 y1 , y2 , y3的大小关系是4.若M(, y1 ), N (, y2 ), P (x242（）A y2y3 y1 B y2y1 y3C y3y1 y2D y3 y2 y1例 5如图 , 一次函数yaxb的图象与反比例函数yk的图象交于M、 N两点。（1）求反比例函x数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的x 的取值范围。巩固练习：1老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内， y 随 x 的增大而减小请你根据他们的叙述构造满足

9、上述性质的一个函数：。2已知一个矩形的面积为 242，其长为，宽为，则y与x之间的函数关系的图象大致是cmycmxcm（）yyyyoxoxoxoxABCD3函数 y=ax+a 与 y=a （a0）在同一个坐标系中的图像可能是（）。（2004 青岛）x（111k（k<0）的图象上，则 y1 , y2 , y3的大小关系是4若M(, y1 ), N (, y2 ), P( , y3 ) 三点都在函数 y242x（）A y2y3 y1B y2 y1 y3C y3y1 y2D y3 y2 y15如图，直线 y kx(k 0) 与双曲线 y4 交于 A（ x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x

10、1y2 7x2y1_。x5题图6题图7题图6如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 y2= m 的图象，观察图象写出y1y2 时， x 的取值范围x7如图，正方形OABC， ADEF的顶点 A， D， C 在坐标轴上，点 F 在 AB上，点 B， E 在函数y1x0 的图象上，则点 E 的坐标是 ()。xA、51,51B 、 35,3 5C、51,51D、3 5,3 522222222第二课时反比例函数知识考点（ 2）知识点四：反比例函数y= k 中 k 的意义与变化规律x、反比例函数 y= k （k0）中比例系数k 的意义x（1）过双曲线上任意一点作轴的垂线，则垂足、已知点及原点这三点所构

11、成的三角形面积为S 1 k 。（ 2）反比例函数 y= k2(k 0) 中比例系数 k 的几何意义 ,xk即过双曲线 y=(k 0) 上任意一点引x 轴、 y 轴垂线 , 所得矩形面积为k.（ 3）反比例函数 y= k （k0）中比例系数 k 的几何意义：若由双曲线上任意一点引两轴的垂线， x两垂线及两轴所构成的四边形的面积为k，则此双曲线的解析式为y± k ，当该点在第一、x三象限内时，反比例函数的解析式为y k ；当该点在第二、四象限内时，反比例函数的x解析式为 y k ；当不能确定该点所在的象限时，反比例函数的解析式为y ± k 。xx、反比例函数 yk （k0）比例

12、系数 k 的变化规律：x性质 1： 设 y k1 (k 0), yk2 (k20), yk3 (k30)x1xx的图象如图1 所示，则有k1k2k3，即当k0 时，反比例函数的图象越靠近y 轴， k 的值越小，越远离y 轴， k的值越大。k1k2k3(k 30)性质 2：设 y( k1 0), y(k2 0), yxxx的图象如图 2 所示，则有 k1k2k3，但|k 1| |k 2| |k 3|即当 k 0 时，反比例函数的图象越靠近y 轴，k 的值越大，越远离y 轴， k 的值越小。性质 3： 设 yk1 ( k1 0), yk2 (k 2 0)xx的图象如图 3 所示，则有 k1k2 即

13、反比例函数图象在一、三象限内时的 k 值恒大于图象在二、四象限内时的k 值。典型例题：例 1：如图，面积为3 的矩形 OABC的一个顶点 B 在反比例函数yk 的图象上，另三点在坐标轴上，则k .x1例 2如图所示， A（ x1 ， y1 ）、 B（ x2 ， y2 ）、C（ x3 ， y3 ）是函数 yx的图象在第一象限分支上的三个点，且x1 x2 x3 ，过 A、 B、 C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为S1、S2、 S3，则下列结论中正确的是（）AS1S2S3BS3 S2 S1CS2 S3 S1DS1S2S3例 3. 如图三个反比例函数yk1

14、, y k2 , y k3 在 x 轴上方的图象 , 由此观察得到 k1 , k2 , k3 的大小关xxx系为（）A k1 >k2 >k3B k2 > k3 >k1C k3 > k2 > k1D k3 >k1 >k 2例 4如图，已知反比例函数的图象与一次函数 y 2 x 4 的图象相交于 P、Q两点，并且 P 点的纵坐标是 6。（1）求这个反比例函数的解析式；（ 2）求 POQ 的面积。第三课时反比例函数巩固练习练习：第1题图第 2题图第3题图1如图， P1、P2、P3 是双曲线上的三点过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P1A1O、

15、P2A2O、P3A3O，设它们的面积分别是S1、 S2、S3，则 ()A S 1<S2<S3B S 2<S1<S3C S1<S3<S2D S1=S2=S32如图，点 A 是 y4 图象上的一点，ABy 轴于点 B，则AOB的面积是（）(2005· 吉林 )xA1B2C3D43. 已知，如图所示的 P 是反比例 y= k 函数图象上的一点，若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个x反比例函数的关系式为（）Ay= 2B y= 2C y= 1D y= 1xx2x2x4如图， A 为反比例函数 yk 图象上一点， AB x 轴与点 B，若 S AOB3 ，则

16、k 为（）xA 、 6B、 3C、 3D、无法确定25. 反比例函数 y= k (k 是常数,k 0) 的图象经过点 (a,- a) ,那么 k_0( 填“>” 或“<”).x6. 若反比例函数 y= k经过点 (-1,2),则一次函数 y=-kx+2 的图象一定不经过第 _象限 .x7.已知反比例函数 yk图象与直线 y2x 和 y x 1 的图象过同一点，则当 x 0 时，这个反比例x函数值 y 随 x 的增大而（填增大或减小）；8.已知函数 ym，当 x1 时， y6 ，则函数的解析式是；x29. 在函数yk 22（k为常数）的图象上有三个点（ -2 ，y1），(-1 ， 2 )，（ 1，y），函数值y1 ，xy23y2 ， y3 的大小为；10.已知 y y1y2 , y