含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)

1、.含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类，即a0, a0, a0 ;例 1解不等式： ax 2a 2 x 10分析： 本题二次项系数含有参数，a2 24aa 240 ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：a2 24a240a解得方程ax2a2 x10 两根 x1a2a24 , x2a2a 242a2a当 a0 时, 解集为x | xa2a 24 或 xa2a 242a2a当 a0时，不等式为2x10,解集为1x | x2当 a0时, 解集为x |a2a 2

2、4a2a 242ax2a例 2解不等式 ax 25ax6a0 a0分析因为 a0，0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解(25x6)a x2x30a x当 a 0时，解集为 x | x2或 x3 ；当 a0时，解集为x | 2x3二、按判别式的符号分类，即0,0,0 ；例 3解不等式 x 2ax4 0分析 本题中由于 x2 的系数大于 0, 故只需考虑与根的情况。解： a 216当 a4,4 即0 时，解集为 R ；;.当a4即0 时，解集为且a；x x R x2当 a4 或 a4 即0 , 此时两根分别为 x1aa 216 ， x2aa 216 ，显然22x1x2 ,不等式的解集为x x

3、aa 216 或 xaa 21622例 4解不等式 m 21 x 24x10 mR解 因 m 21 0,( 4)24 m21 4 3 m 2所以当 m3 ，即0 时，解集为x | x1；2当3m3 ，即0 时，解集为x x23m2或 x 23m2；m21m21当 m3或 m3 ，即0 时，解集为 R。三、按方程 ax 2bxc0 的根 x1 , x2 的大小来分类，即x1x2 , x1x2 , x1x2 ；例 5解不等式 x2(a1) x10 (a0)a1)分析： 此不等式可以分解为：xa ( x0 ，故对应的方程必有两解。本题a只需讨论两根的大小即可。解： 原不等式可化为：xa (x1 )0

4、 ，令 a1，可得： a1aa当 a1或 0a1时， a1，故原不等式的解集为x | ax1；aa1当 a1 或 a1时， a, 可得其解集为；a当 1a 0 或 a1 时 ,a1x | 1x a 。, 解集为aa例 6解不等式x25620， a0axa分析 此不等式5a 224a2a 20 ，又不等式可分解为x 2a ( x 3a) 0 ，故;.只需比较两根2a 与 3a 的大小 .解 原不等式可化为：x2a ( x3a)0 ，对应方程x2a ( x3a)0 的两根为x12a, x23a ，当 a0 时，即 2a3a ，解集为x | x3a或 x2a ；当 a0时，即 2a3a ，解集为x

5、| x2a或x3a含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、“化归与转化” 、“数形结合” 、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f ( x)ax 2bxc(a0, xR) , 有1） f ( x)0 对2） f ( x)0

6、对xa0R 恒成立;0xa0R 恒成立.0例 1：若不等式 (m1) x2(m1) x20 的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（ 1）当 m-1=0 时，元不等式化为2>0 恒成立，满足题意；（ 2） m 1 0 时，只需m 10，所以， m1,9) 。(m 1) 28(m1)0例 2 已知函数ylgx2(a1)xa2 的定义域为，求实数 a 的取值范围。R解 ： 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x2(a1) x a20 对 xR恒成立，即有(a 1) 24a2

7、0 解得 a1或 a1 。( 1 ,3所以实数 a 的取值范围为 (, 1) 。3若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：;.1） f ( x)a 恒成立af ( x) min2） f ( x)a 恒成立a f ( x)max例 3、若x2,2时，不等式 x2ax3a 恒成立，求 a 的取值范围。解：设 fxx2ax3a ，则问题转化为当x2,2时， fx 的最小值非负。（1） 当a2即： a4时， fx minf273a0a7又 a4 所以 a 不存在；23（2）当2a2 即： 4 a4 时，

8、 f x mi nfa3aa206 a 2 又2244a44a2（3） 当a2即：a4 时， fx minf27 a0 a7又 a47 a427a2综上所得：例 4 函数 f (x)x 22xa , x1,) ，若对任意 x1,) ， f ( x)0恒成立，求实数a 的x取值范围。解：若对任意x 1,) ， f ( x)0恒成立，即对 x1,x22xa0 恒成立，) ， f (x)x考虑到不等式的分母x1,) ，只需 x22 xa0 在 x1,) 时恒成立而得而抛物线 g(x)x 22x a 在 x1,) 的最小值 g min ( x)g (1)3a0 得 a3a注：本题还可将f ( x) 变

9、形为 f ( x)x2 ，讨论其单调性从而求出f ( x) 最小值。x例 5：在ABC 中，已知 f (B) 4 sin B sin 2 (B ) cos2B,且 | f ( B)m | 2 恒成立，求实42数 m 的范围。解析：由f ( B) 4sin B sin 2 (B ) cos2B 2sin B 1, 0 B, sin B (0,1 ， f ( B)(1,3 ，42| f (B) m | 2 恒成立，2 f ( B)mf ( B)2m (1,3m 2 ，即f ( B)恒成立，m2例 6：求使不等式 a sin xcos x, x 0, 恒成立的实数a 的范围。;.解析：由于函 a s

10、in x cos x2 sin( x), x44, 3 ，显然函数有最大值2 ，44a2 。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端， 从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） f ( x)g (a)(a为参数） 恒成立g( a)f ( x) max2） f ( x)g (a)(a为参数） 恒成立g( a)f ( x)max。例 7、已知 x,1 时，不等式 12xaa24x0 恒成立，求 a 的取值范围。解：令 2xt ，x,1t0 ,2所以原不等式可化为： a2at 1 ，t1t 2

11、要使上式在 t0,2上恒成立，只须求出ft0,2 上的最小值即可。t 2在 tt 11211 12111 ,f tt 2ttt24t2f tminf 23a2a31a34422例 8、已知函数 fxlg xa2 ，若对任意 x2,恒有 f x0，试确定 a 的取值范围。x解：根据题意得：xa21在 x2,上恒成立，x即： ax23x 在 x2,上恒成立，x2329设 f x3x ，则 f xx24当 x2 时， fx max2所以 a2例 9 已知函数f()ax4x2 ,x(0,4时f (x)0恒成立，求实数a的取值范围。xx解： 将问题转化为 a4xx 2(0,4恒成立。x对 x令 g( x

12、)4xx 2g( x)minx，则 a;.由 g( x)4x x 241 可知 g( x) 在 (0,4 上为减函数，故 g( x) min g( 4) 0xx a0 即 a 的取值范围为 (,0) 。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 10 对任意 a 1,1 ，不等式 x 2(a 4) x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范围。分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式 (x2)ax24x40 在

13、 a 1,1 上恒成立的问题。解：令 f ( a)( x2)ax24x4 ，则原问题转化为f (a)0 恒成立（ a 1,1 ）。当 x2 时，可得 f (a)0，不合题意。当 x2 时，应有f (1)03 。f ( 1)解之得 x 1或 x0故 x 的取值范围为 (,1)(3,) 。注：一般地，一次函数f ( x)kxb( k 0)在 , 上恒有f ( x) 0的充要条件为f ()0f ()。0例 11、若不等式 2x1m x21对满足 m2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围。解：设 fmm x212x1 ，对满足m 2 的 m ， f m0 恒成立，f 2 02 x212x 1 01

14、713f 2 02 x2 12x 1 0解得：2x2五、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1） f ( x)g ( x)函数 f ( x) 图象恒在函数g( x) 图象上方；2） f ( x)g ( x)函数 f ( x) 图象恒在函数g(x) 图象下上方。;.例 12 设 f ( x)x 24x ,g( x)4 x 1 a ,y3若恒有 f (x) g (x) 成立 , 求实数 a 的取值范围 .-2分析：在同一直角坐标系中作出f (x) 及

15、g (x)-4Ox-4的图象 如图所示，f (x) 的图象是半圆( x 2) 2y 24( y0)g( x) 的图象是平行的直线系 4x3 y 33a0 。要使 f ( x)g (x) 恒成立，则圆心 ( 2,0) 到直线 4x3 y33a0 的距离833a满足 d525解得 a5或 a（舍去 )3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。例 13：已知 a0, a1, f ( x)x2a x ,当 x(1,1)时 , 有 f (x)1 恒成立 ，求实数 a 的取值2范围。

16、解析：由 f (x)x2ax 1，得 x 21a x，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，22如果两个函数分别在x=-1 和 x=1 处相交，则由 121a及 (1)21a 1得到 a 分别等于 2 和220.5，并作出函数y2 x 及 y(1) x 的图象，所以，要想使函数x 21a x 在区间 x ( 1,1) 中212恒成立，只须 y2 x 在区间 x(1,1)对应的图象在 yx 2在区间 x( 1,1) 对应图象的上2面 即 可 。 当 a1时 , 只有 a2才能保证，而0a1时，只有 a1才可以，所以2a 1 ,1) (1,2 。2例 14、若不等式3x2log a x0 在 x0, 1内恒3成立，求实数a 的取值范围。;.解：由题意知：3x2loga x 在 x0, 1内恒成立，3在同一坐标系内，分别作出函数y3x2 和 ylog a x观察两函数图象，当x0, 1时，若 a1 函数 ylog a x 的图象显然在函数 y3x2 图象的下方，3所以不成立；当 0a 1时，由图可知，yloga