周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明

1、.周期函数一、周期函数的 定义1、 对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f ( xT )f ( x) ，那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。注意：定义域： 对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界 的集合。理由：设周期为 T, 由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得 f(x+nT)=f(x)( 其中 n 是整数 ), 即 x+nT 也在定义域内 , 故周期函数定义域必是无界集。例题： y sin x(0x10)是周期函数吗？ 变的只能是 xT 的变化只能发生在x上。例

2、如 f ( x)sin(3 x 8) 是周期函数，则f (x T ) sin3( xT )8，不能写成 f (xT ) sin(3x T 8) 。例题： sin x2sinx，那么 2是 sin ( x ) 的周期吗？333 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。例如： f ( x) x x （ 3 x 3 ）（ x 是取整函数，表示不超过 x 的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。二、周期函数问题的相关题型及解答。核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T，即将题目里各种f ( x) 的等式往 f ( xT)f (

3、 x) 方向化简。化简过程中需要注意的相关函数概念 ：化简过程中要注意 f (x) 本身的对称性和奇偶性。三、抽象函数的周期总结;.1.f ( x)f (xT ) 型： f ( x) 的周期为T。证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f ( xT)f ( x) ，则 f (x) 为周期函数， T 叫函数 f (x) 的周期。2.f ( xa)f ( xb) 型： f ( x) 的周期为|ba|。证明： f (xa)f (x b)f ( x)f ( xba) 。3.f ( xa)f (x) 型： f ( x) 的周期为 2a。证明：f (x2a)f ( x a)af ( xa) f ( x)

4、f ( x)14.f ( xa)型： f ( x) 的周期为2a。f (x)证明： f (x112a) f ( x a) af (x) 。f ( x a)1f ( x)15.f ( xa)型： f ( x) 的周期为 2a 。f ( x)证明： f ( x2a)f ( xa)11af ( x) 。f (x a)1f ( x)6. f ( x a)1f ( x) 型： f ( x) 的周期为 4a。1f ( x)1f ( x)1 f (x a)11证明： f ( x2a)f ( xa)1 f ( x)，a1 f ( x)f ( x)1 f (x a)1f ( x)1 f (x4a)f ( x11

5、f ( x) 。2a) 2a1f ( x 2a)f ( x)1f (x)7. f (x a)y f ( x) 的周期为 T 2a1f (x);.1f ( x a)11f ( x)证明：=1f ( x)f (x 2a) f ( x a) af ( x a)1f ( x) 。11f ( x)1f ( x)8、1y f (x) 的周期为 T 3af ( x a)f ( x)1f ( xa)a11f (x) 1f ( xa) 11f (x)1f ( x) 1证明： f ( x2a)a11f ( x)f (x2a) 1f (x)11f (x)f (x3a)f ( x)9、 f ( x2a)f (xa)f

6、 ( x)yf ( x) 的周期为 T6a证明：f (x2a)f ( xa)f ( x)f ( x3a)f ( x2a)f ( xa)f ( x3a)f ( x)f ( x3a)3a( f ( x) f (x)10.两线对称型：函数f ( x) 关于直线 xa 、 xb 对称，则 f (x) 的周期为 |2b2a|。证明：f ( x)f (2ax)，x)f (2bx)f ( x)f ( x2b2a) 。f ( x)f (2bx)f (2a8. 一线一点对称型： 函数 f ( x) 关于直线 xa 及点（ b， 0 ）对称，则f ( x) 的周期为|4b 4a| 。证明：f ( x)f ( 2ax)f (2a x)f ( 2b x)f (x 2b 2a)f ( x) ， 所 以f ( 2bx)f ( x)f ( x 4b4a)f ( x 2b 2a)2b2af (x2b2a) f ( x)f ( x);.9. 两点对称型：函数 f ( x) 关于点（ a， 0）、