基本不等式及其应用

1、.基本不等式及其应用ab1基本不等式ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；ab 2(3)ab(a，bR)；以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数ba(2)ab2(a， b 同号 )a2b2ab 2(a，bR)(4)22(1)设 a 0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab.(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项4利用基本不等式求最值问题已知 x>0， y>

2、;0，则s2(1)若 xys(和为定值 )，则当 xy 时，积 xy 取得最大值 4 ；(2)若 xyp(积为定值 )，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 p.选择题：设 x>0，y>0，且 xy18，则 xy 的最大值为 ()A80B77C81D82xyxy2解析 x>0，y>0，2xy，即 xy(2 ) 81，当且仅当 xy9 时， (xy)max81若正数 x， y 满足 4x29y23xy 30，则 xy 的最大值是 ()4B.55A. 33C2D.4;.由 x0，y0，得 4x22.解析9y3xy· ·3xy(当且仅当时等号成立)，2

3、 (2x) (3y)2x 3y12xy3xy30，即 xy2， xy 的最大值为 2若 2x2y 1，则 xy 的取值范围是 ()A 0,2B2,0C2， )D(， 2解析 22xy2x y ， xy1，即2xy22，22 124xy若实数 x， y 满足 xy>0，则x2y 的最大值为 ()xyx2yA2 2B2 2C42 2D42 2x2yx x2y2y x yx2 4xy 2y2xy11 解析xy x2yxyx2y x2 3xy 2y2 1 x23xy2y2 1 x2yy 3 x1422，当且仅当 x2y，即 x22y2 时取等号322yx若函数 f x x1在 处取最小值，则等于

4、x 2(x>2)xaa()A1 2B1 3C3D4解析 当 x>2 时， x2>0，f(x) (x2)1 2x2×1 ，当且仅当x 122 42x2x 2x2(x>2)，即 x3 时取等号，即当f(x)取得最小值时， x3，即 a3x 31 y1m已知 x，y(0， )，2 (2)，若 x y (m>0)的最小值为 3，则 m 等于 ()A 2B2 2C3D 4x 31 y1 m 11 m 1y mx 1解析由 2 (2)得 xy3， x y3(xy)(x y )3(1mx y )3(1 m2m)，(当且仅ymx1当 x y 时取等号 )，3(1 m 2

5、m)3，解得 m4;.2241已知直线 ax byc10(b，c>0)经过圆 xy 2y50 的圆心，则 bc的最小值是 ()A 9B8C 4D2解析圆 x2y22y 0化成标准方程，得225x (y 1)6， 圆心为 C(0,1) 直线 axby c 1 0 经过圆心 C， a× 0 b× 1 c10，即 bc 141414cb b c (bc)(b c) b c 5 b， c>0，4cb4c b4cb 2· ，当且仅当 时等号成立bcb c4bc2141由此可得 b2c，且 bc1，即 b 3， c3时， b c取得最小值 9已知各项均为正数的等比

6、数列 an满足a7a6 2a5，若存在两项 am，an 使得 am n 4a1，则 14的amn最小值为 ()35925A. 2B.3C.4D. 6解析由各项均为正数的等比数列 an 满足 a7 a6 2a5，可得 a1q6 a1q52a1q4， q2q20，解得 q2 或 q 1(舍去 ) aman4a1， qmn216， 2mn224， mn61 4 11 4 1n 4m 1n 4m 3 mn6(mn)(mn)6(5 m n )6(52m·n )2n4m1 43当且仅当 m n 时，等号成立，故 mn的最小值等于 2在等差数列 an中， n ，且1 a2 a10 30，则 a5

7、6 的最大值是 ()a >0aaA 3B 6C9D36解析 a1 2 10 ， 1 10 30，即11056 65 a62 a5 6，aa305(a a )a a a a， aa 6 2 a5 6，即5 69，当且仅当 a5 6 时取等号， 56 的最大值为9aa aaa a若实数 a， b 满足12 ab，则 ab 的最小值为 ()a bA. 2B2C2 2D 4解析依题意知 a0，b 0，则 1222 22，当且仅当12，即 2a时， “”成立abababa bb;.12222， ab 的最小值为 2 2 ab， ab，即 ab2abab已知 a0，b0，a，b 的等比中项是 1，且

8、 mb1，na1，则 mn 的最小值是 ()abA 3B 4C 5D 6解析由题意知： ab 1， mb1， 12a，4a2b n abm n2(a b)ab 4b4a若 a，b 都是正数，则 1a ·1 b的最小值为 ()A 7B 8C 9D10解析 a，b 都是正数， 1b14ab4ab 4a时取等号 52· ，当且仅当2a>0ab5aba b9b已知 a>0， b>0，若不等式 31m 恒成立，则 m 的最大值为 ()a ba3bA 9B12C18D243 1m3 19b a解析由 a b，得 m(a3b)(a b) a b 6a 3b9ba又 ab

9、629 6 12， m12， m 的最大值为 12已知 a>0， b>0，ab11，则12的最小值为 ()a babA 4B2 2C8D16解析1 1ab121 2122由 a>0，b>0，ab ab，得 ab 1，则 2·22.当且仅当 ，即 a2，ababa babb2时等号成立已知 a>0， b>0，ab2，则 y14的最小值是 ()a b79A. 2B 4C.2D 5解析141141b 4a1b 4a 9依题意，得 ( ) ·(a b)5( ) (52·)，a b 2 a b2a b2a b 2;.ab2，b4a2414

10、9当且仅当a b ，即 a3，b3时取等号，即 ab的最小值是2a>0，b>0，若 log4(3a4b)log2ab，则 a b 的最小值是 ()A62 3B72 3C64 3D74 3ab>0，解析由题意得ab0，a>0，3a4b>0，b>0.4 3又 log4(3a4b)log2 ab，log4(3a4b)log4ab， 3a4b ab，故 a b 1.43 3a4b3a 4b，当且仅当3a4b时取等号 a b (ab)( ba72· baab)7b a7 4 31119若正数 a， b 满足 ab1，则a的最小值是 ()1b 1A 1B 6C

11、9D16解析 正数 a， b 满足11a191 1， b>0，解得 a>1，同理可得 b>1，a ba 1a 1 b 1 a 191 9(a1) 21 ·9 a 1 6，当且仅当1 9(a1)，即 a4时等号成立，a1a1a 1a13a1 最小值为 6ab1设 f x lnx,0ab，若 p f( ab)，qf2， r 2(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是 ()A q r pBqr pC p rqDpr qab解析 0 a b， 2 ab，又 f(x)lnx 在(0， )上为增函数，故 fab f( ab)，即 qp.2;.11111又 r 2(f(a)f(

12、b) 2(lnalnb)2lna2lnb ln(ab)2 f( ab) p，故 pr q已知函数f x p为常数，且，若在，上的最小值为，则实数的值为xx1(pp>0)f(x)(1)p()497A 1B 2C.4D.4解析 由题意得 x 1>0，f(x)x1p ，当且仅当xp1时取等号，x112p 19 f(x)在 (1， )上的最小值为 4， 2p14，解得 p4填空题：已知 x，yR ，且 x 4y1，则 xy 的最大值为 _1解析 1x4y 24xy 41 211x 2时， (xy)max1xy， xy( )，当且仅当 x 4y ，即1164162y8已知实数 m，n 满足

13、m·n>0，mn 1，则1 1的最大值为 _mn解析1111 2nm22n m m·n>0，mn 1，m<0，n<0， n·mn(mn) mmnm n1114，当且仅当 m n 2时， m n取得最大值 4已知 x<5，则 f x4x21的最大值为 _44x5解析5，则 11 x< ， 4x>0f(x)(54x)454x 23231.4x554x当且仅当 54x1，即 x1时，等号成立故 f(x)4x21的最大值为 154x4x5x2 2函数 y x1 (x>1)的最小值为 _;.解析 yx2 2x22x 1 2x2

14、 3x1 2 2 x 1 33x1x 1(x1)22 3 2x1x 1当且仅当 (x1)33 1 时，等号成立，即 xx 1函数 yx1的最大值为 _x3 x1解析 令 t x10，则 xt2 ， tt1yt2 1 3 tt 2 t4当 t 0，即 x1 时， y 0；当 t>0，即 x>1 时， y1，4t t14111 t t 244(当且仅当 t2 时取等号 )， y45，即 y 的最大值为5(当 t 2，即 x5时t t 1y 取得最大值 )若正数 x， y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 _由 x3y5xy 可得1313943x12y1312解析5y5x1，

15、3x4y (3x 4y)( 5y5x)555y5x5 5 5已知 x>0， y>0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为 _由已知得 x9 3y解析， x>0，y>0，y<3，1y x 3y93y3y 3y2 93 1 y 26 1 y 12126212· 3 1 y1y (3y 3)3y61 y1 y1y6，当且仅当12 3y3，即 y 1， x3 时， (x3y)min 6 1 y已知函数 fx x2ax11R)，若对于任意xN ， fx 3 恒成立，则 a 的取值范围是 _(ax1;.x2 ax118解析对任意 xN， f(x) 3 恒成立，即x1

16、 3 恒成立，即知 a(x x)3817设 g(x)xx，xN，则 g(2)6，g(3)3178888 g(2)>g(3) ，g(x)min 3 ，(x x)33， a 3，故 a 的取值范围是 3， )12已知 x>0， y>0，且 x y1，则 x y 的最小值是 _12y 2x解析 x>0，y>0， xy(x y)(xy)3x y322(当且仅当 y2x 时取等号 )， 当 x 21，y2 2时， (x y)min 2233函数 y12x x(x<0)的最小值为 _3336解析 x<0， y 1 2x x1( 2x) ( x)12 2x 

17、3; 1 26，当且仅当 x2 时x取等号，故 y 的最小值为 126若关于 x 的方程 9x(4 a)3x40 有解，则实数 a 的取值范围是 _解析x4分离变量得 (4 a)3 x ，得 34a81 |a|设 ab2，b>0，则 2|a| b 取最小值时， a 的值为 _1 |a| 2 |a| ab|a|ab |a| ab |a|a解析 a b 2， 2|a| b 4|a| b 4|a| b 4|a|4|a| b 4|a|24|a|× b 4|a| 1，b |a|当且仅当 4|a| b 时等号成立1 |a|又 ab2，b>0， 当 b 2a，a 2 时， 2|a| b

18、 取得最小值2若当 x>3 时，不等式 a x x 3恒成立，则 a 的取值范围是 _解析设 f(x)x2(x3)2 3，x3x3;. x>3，所以 x3>0，故 f(x)2x3 ×2 22 ，x 333当且仅当 x2 3 时等号成立， a 的取值范围是 ( ，22 3x若对于任意 x0，x23x1a 恒成立，则 a的取值范围是 _解析x112(当且仅当 x1 时取等号 )，x2 3x11，x0，x x3x x则111x的最大值为11 ，即，故 a .1 325x23x 1553 x x解答题：已知 x>0， y>0，且 2x5y 20.(1)求 u l

19、gxlgy 的最大值；11(2)求 xy的最小值解 (1)x>0， y>0， 由基本不等式，得 2x5y 2 10xy. 2x5y 20， 210xy20， xy10，2x5y20，x5，当且仅当 2x 5y 时，等号成立因此有解得此时 xy 有最大值 10.2x5y，y2， u lgx lgylg(xy) lg101， 当 x5，y2 时， u lgx lgy 有最大值 1.1 11 12x 5y175y2x15y 2x72 10(2)x>0， y>0，xy·2020xy·20，xy207 2x y2x5y20，1010 205y2xx3，2x当且

20、仅当 x y 时，等号成立由 5y解得20 4 10x y ，y3.1 172 10 x y的最小值为20;.专项能力提升设 x，y 均为正实数，且3 3 1，则 xy 的最小值为 ()2x2yA 4B43C9D16解析由3 3 1 得 xy8xy，2 x2y x， y 均为正实数， xy8xy82 xy(当且仅当 x y 时等号成立 )，即 xy 2 xy 8 0，解得 xy 4，即 xy 16， xy 的最小值为 16xy2 1 2设正实数 x，y， z 满足 x23xy4y2z 0，则当 z取得最大值时， x y z的最大值为 ()9A 0B 1C.4D3解析由已知得 z x22，(*)

21、则xyxy11，当且仅当 x 2y 时取等号，3xy4yz22x4yx 3xy4yy x 3221211112把 x2y 代入 (*) 式，得 z 2y， x y z y yy2 y111已知 m>0，a12 ，则使得m2 1|ai2|(i1,2)恒成立的x的取值范围是()>a >0mxA0，2B0，2C0，4D0，4aaaa1212211m解析 mm m2(当且仅当 m 1 时等号成立 )，要使不等式恒成立，则 2|ai x2|(i 1,2)恒成立，即 2aix 2 2， 0ai x 4，40 x， a1 2 ，14 ， 使不等式恒成立的4a即 x的取值范围是0，>a >040 xa1a1