高等数学极限存在准则两个重要极限公式学习教案

1、会计学1高等数学极限存在准则两个重要极限公式高等数学极限存在准则两个重要极限公式第一页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一21. 单调有界准则数列:nx,121 nnxxxx单调增加,121 nnxxxx单调减少准则I 单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说 明:(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛(2) 利用准则来判定数列收敛必须同时满足 数列单调和有界这两个条件第1页/共21页第二页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一3 (3) 准则只能判定数列极限的存在性，而未给出

2、求极限的方法例如，数列，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散数列(4) 对于准则I，函数极限根据自变量的不同变化过程也有类似的准则，只是准则形式上略有不同.例如，准则I 设函数( )f x0 x在点的某个左邻域内单调在的左极限必存在并且有界，则第2页/共21页第三页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一4作为准则的应用，我们讨论一个重要极限：1lim 1?nnn11nnxn首先，证是单调的11nnxn所以，数列是单调增加的 第3页/共21页第四页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一511nnxn111nnzn显然，单调性

3、的证明可证得数列是单调增加的设数列由于数列是单调增加的，所以数列是单调减少的.又其次，证有界类似于，则1111114nnnnxzznn则. 综上，根据极限存在准则可知，数列是收敛的.第4页/共21页第五页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一61lim 1ennn通常用字母来表示这个极限，即x11xxe1lim 1exxx也可以证明，当取实数而趋于或时，函数的极限都存在且都等于，即10( )lim 1( )exxx（利用变量代换，可得更一般的形式第5页/共21页第六页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一7例1解:例2 求解:第6页/共21页第七页，

4、编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一82. 夹逼准则准则II证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 第7页/共21页第八页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一9我们可将准则II推广到函数的情形：准则II且注意:准则II和准则II统称为夹逼准则.,的极限是容易求的与并且与关键是构造出利用夹逼准则求极限nynznynz第8页/共21页第九页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一10例3解：由夹逼准则得第9页/共21页第十页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一11解: 利用夹逼准

5、则 .且由思考题：？1211lim222pppnnnnnn第10页/共21页第十一页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一12夹逼准则不仅说明了极限存在， 而且给出了求极限的方法 下面利用它证明另一个重要的圆扇形AOB的面积证: 当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注极限公式： 第11页/共21页第十二页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一13当时第12页/共21页第十三页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一14例4 求解: 例5 求解: 令则因此原式注:利用变量代换，可得更一般的形式第13页/共21页第十四页，

6、编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一15例6 求解:例7 求解:第14页/共21页第十五页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一161. 极限存在的两个准则夹逼准则; 单调有界准则 .2. 两个重要极限或注: 代表相同的表达式第15页/共21页第十六页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一17作业作业习 题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （3）（4）（6） 3（3）（4）思考与练习思考与练习1. 填空题 ( 14 )第16页/共21页第十七页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一18解： 原式 =2. 求

7、 510lim5xxxx10lim 15xxx05510110lim 15xxx5101051010lim1155xxxx0510110lim 15xxx510lim 15xx10e第17页/共21页第十八页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一193. 证明 证明：xR 1xxx 0 x 1111.xxx 对任一，有，则当时，有于是,（1）当0 x 时，111(1),xxxxxx 01lim1xxx 0 x 111(1),xxxxxx 01lim1.xxx 由夹逼准则得（2）当时，同样有第18页/共21页第十九页，编辑于星期三：七点 四十八分。2021年12月13日星期一20故极限存在，4. 设 , 且求解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准