泰勒公式在数值分析中的应用

1、2015年度本科生毕业论文（设计）泰勒公式在数值分析中的应用教 学 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 11级数本（3）班 姓 名： 袁国彦 学 号： 20110701013056 导师及职称： 程高 讲师 2015年 05 月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解

2、文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。   作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 袁国彦 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注文山学院本科毕业论文(设计)摘 要泰勒公式是微积分中一个重要的公式，它将一些复杂的函数近似的表示为多项式函数，为一些复杂函数的求解带来方便。不仅在数学分析中有着重要的地位，在数值分析中也有着

3、广泛的应用，本文简要介绍了泰勒公式在数值分析中的应用，并讨论泰勒公式在泰勒插值，欧拉方法和牛顿迭代法中的具体应用，在泰勒插值和数值积分中，用泰勒公式展开的多项式去逼近原函数，得出近似解，并分析误差。欧拉方法是通过迭代的方法，求得近似值，通过用不同的步长进行对比，并得到一种通过控制误差来得到步长的方法。牛顿迭代法是求解非线性方程近似解的一种方法，通过程序来得到方程根所在的区间，求出初值，最后控制其误差。泰勒公式需要先取点对原式进行泰勒展开，如何选取，使得泰勒公式展开后，计算的结果在误差的允许范围内，并且计算过程尽量简单，减少计算步骤。关键词：泰勒展开；泰勒插值；数值积分；欧拉方法；牛顿迭代法；数

4、值分析The application of Taylor formula in numerical analysisABSTRACTTaylor formula is an important formula in Calculus, It will be some function approximation is expressed as a polynomial function. Not only plays an important role in mathematical analysis, and it is widely used in the numerical analys

5、is, this paper briefly introduces the application of Taylor formula in numerical analysis, and discuss the Taylor formula in the application of Taylor interpolation, Euler method and Newton iteration method, Taylor interpolation, polynomial using the Taylor expansion to approximate the original func

6、tion, the approximate solution and error analysis. The Euler method is obtained by iterative method, approximate value, compared to the different step size, and a method to get him step by controlling the error. The Newton iterative method is a method of approximate solution for solving nonlinear eq

7、uations, through the program to get the range of equation root, and the error control. Need to select a point on the original Taylor, how to select, the Taylor expansion, the calculation results in the range of allowable error in the calculation of the process as simple as possible, and to reduce th

8、e computational steps.Keywords: Taylor expansion; Taylor interpolation; Numerical integration; Euler's method; The Newton iteration method; Numerical analysis 目 录一、引言·····················

9、3;············································1二、泰勒公式的应用····

10、··················································

11、··32.1 泰勒插值··············································

12、83;············32.2泰勒公式在数值积分中的应用··································

13、3;······62.3 欧拉方法··········································&

14、#183;················72.4 用泰勒公式求方程根的近似解······························&

15、#183;··········9 2.4.1 牛顿迭代法·····································

16、················92.4.2 扫描法································&#

17、183;·······················10 2.4.3 误差估计公式························

18、;··························10参考文献·······················

19、;··········································12致谢 ·······

20、··················································

21、···········13 附录······································&

22、#183;······························14 文山学院本科毕业论文(设计)一、引言泰勒公式的背景：希腊人在理性数学活动中，已接触到了无限性、联系性等概念，这方面最具有代表性的人物是伊利亚学派的芝诺。他在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果时，提出了四个著名的悖论。后来，随

23、着无限小算法的推广，英国的数学家们在大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中优秀的代表有泰勒和麦克劳林。泰勒在1715年出版的正的和反的增量方法一书中，陈述了它早在1712年就已获得的著名定理，这就是为人所熟知的泰勒级数。爱丁堡大学教授麦克劳林发现了泰勒级数的特例，称为“麦克劳林级数”。泰勒公式的推导：由导数和微分的概念，如果函在点可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近函数值时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式的逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中往往为多项式的次数，为此，我们考察任一次多项式. 逐次求它在点的各阶导数，得到，.即：， 由此可

24、见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定。对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式， 称为函数在点处的泰勒（）多项式，的各项系数称为泰勒系数。由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和直至阶导数值，即 (3)下面将要证明，即以式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量。定理1.2：若函数在点存在直至阶导数，则有，即证：，现在只要证由关系式可知，并易知因为存在，所以点的某邻域内存在阶导函数。当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到=0其中泰勒公式（4）在时的特殊形式：它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公。泰勒公式是用一个函数在

25、某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的领域中的值，泰勒公式还给出了这个多项式和实际函数值之间的偏差。数值计算中泰勒公式有广泛的应用，泰勒公式的证明与应用方面对于研究者来说一直具有吸引力，其理论方法已经成为研究函数极限和估计误差方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以满足很高的精度要求。泰勒公式可以应用于求极限，判断函数极值，求函数在某些点的数值，近似计算等方面。二、泰勒公式的应用2.1泰勒插值实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的表达式很复杂，直接研究函

26、数可能很困难，面对这种情况，一个很自然的想法是将函数简单化，构造某个简单的函数作为的近似函数，通过处理获得关于的结果，如果要求近似函数取给定的离散数据，则称之为的插值函数。其中泰勒公式展开公式开方法就是一种插值方法，由于代数多项式的结构简单，数值分析方面就相对简单。已知泰勒多项式成立。求作次多项式，使其满足条件, 这里为一组已给出的数据。容易看出，对于给定的函数，若导数值已给，则上述泰勒插值的问题的解就是泰勒多项式。运用泰勒公式做近似计算时，一般要用到带有拉格朗日余项的泰勒展开。例2.1.1：求作在节点的一阶和二阶泰勒多项式，计算的近似值，估计误差并与精确值0.723805对比。解： 用MAT

27、LAB程序求出在节点的一阶和二阶泰勒多项式，相关程序见附录1。所以在的一次泰勒多项式是：二次泰勒多项式是：=用作的近似表达式，将代入一次泰勒多项式得：根据定理1可估计出误差：与精确值比较，误差为，具有3位有效数字。二次泰勒多项式的值：这个结果有4位有效数字。我们对取的不同取值，通过作图对它们的逼近效果进行对比，程序见附录2。 图2-1-1图中“o”代表二次泰勒多项式的值， “*” 代表一次泰勒多项式的值，“+”代表精确值，可以看出二次的泰勒公式展开逼近的效果更好，且x0越逼近x，误差越小。定理：若函数在上存在直至n阶的连续导数，在内存在阶导数函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得：证：作辅助

28、函数：，所要证明的定理为：或不妨设，则与在上连续，在内可导，且又因为，所以由柯西中值定理得：其中，他的余项为：如果，为定数，则取余项不会超过，从而可以近似地计算某些数值且估计误差。例2.1.2：计算麦克劳林公式展开，并计算的近似值，使其误差不超过和。解：当时，。取，便有略取求得的的近似值为：取时，略取求得的的近似值为：由上面可以看出如果采用更高次的多项式来逼近，能在更大范围内满足同一误差，但同时也增大了计算量，所以在计算时应选择适当的阶数。2.2泰勒公式在数值积分中的应用设Fx为fx的一个原函数，由牛顿莱布尼茨公式知，定义在区间a,b上的定积分为：abfxdx=F(x)ba=Fb-F(a)但有

29、些原函数不能用初等函数表达或者有的原函数十分复杂难以求出或计算，不能用上述公式。理论上定积分是一客观存在的确定的数值，要解决的问题是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。泰勒公式是一件很好的工具，它可实现定积分的近似计算2。例2.2.1：解定积分01cosxxdx的近似值，当取6阶导数值时误差范围是多少？解：定积分01cosxxdx的被积函数不可积，可用泰勒公式将其展为幂级数，然后逐项积分，再利用积分后的级数计算。因为：cosx=1-x22!+x44!-cosx+626!x6cosxx=1x-x2!+x34!-cosx+626!x5所以，01cosxxdx=011x-x2!+x34!-cos

30、x+626!x5d = lnx-x22×2!+x44×4!10-01cosx+626!x5dx -12×2!+14×4!-0.23958，因为cosx+621，所以此时误差：R16×6!0.0002312.3欧拉方法欧拉方法是求解常微分方程初值问题的重要方法，下面由泰勒公式导出欧拉公式，用泰勒公式将在处展开有取右端前两项得，设用的近似值代入上式的右端，记所得结果为，这样导出的计算公式 这就是众所周知的欧拉格式3，若初值是已知的，则可以根据公式逐步算出数值解,。为简化分析，人们常在的前提下估计误差，这种误差称为局部截断误差。称一种数值方法的精度是

31、阶的，则其局部截断误差为；这说明欧拉格式仅为一阶方法。例2.3.1：取步长和，用欧拉方法求解初值问题的解在点的近似值，即的近似值，并与精确解进行比较，分析这两种步长的稳定性。解:将程序结果整理成表格，程序见附录3。表2-3-1 的近似值，绝对误差0.11.10000.00460.21.20000.01680.21.19180.00860.31.27740.01250.41.37330.03170.41.35820.01660.51.43510.02090.61.53150.04830.61.50900.02570.71.58030.03110.81.68110.06860.81.64980.0

32、3730.91.71780.04451.01.82690.09491.01.78480.0527 由表格可以看出当步长时，欧拉方法计算的近似值为1.7848，与精确解的误差绝对值为0.0527。当时，欧拉方法计算的近似值为1.8269，与精确解的误差绝对值为0.0949。所以步长时计算更稳定。但从每一步来看，步长越小，截断误差就越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了。步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累。所以微分方程的数值解法也需要选择步长。先以为步长，求出一个近似解，记，然后将步长取半，即取为步长从跨两步到在求得一个近似解。这样可以通过检查步

33、长折半前后两次计算结果的偏差 来判断所选取的步长是否合适，若要求求初步误差为0.01，则程序见附录4，取其中的几项进行对比：表2-3-2 的近似值，绝对误差0.06251.06250.00180.51.42670.013411.76650.0344得到步长，并且初次迭代的误差控制到0.0018。2.4用泰勒公式求方程根的近似解2.4.1 牛顿迭代法牛顿公式的导出：设方程的近似根为，则在点附近可用一阶泰勒多项式代替，故方程可以近似的表示为，后者是个线性方程，它的求根是容易的，我们取的根作为的新近似根，记，则有：这就是著名的牛顿公式，相应的迭代方程为，其中牛顿法是一种逐步线性化方法，这种方法的基本

34、思想是将非线性方程的求根问题归结为计算一系列线性方程+=0的根。牛顿法有明显的几何解释，方程的根在几何上解释为曲线与轴的交点的横坐标。设是根的某个近似值，对曲线上横坐标为的点引切线，设该切线与轴的交点的横坐标记为（见图），则这样获得的即为按牛顿法求得的近似根，由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法4。图2-4-12.4.2扫描法扫描法是一种在计算机上较实用的方法，简单的来说就是将有根区间分为若干个子区间，然后从有根区间的左端点开始，一个一个小区间检查是否是隔根区间。对于代数方程记,则其根的上、下界分别为 和，由此即可确定其有根区间，其中a=-1+Aa0，b=1+Aa05。2.4.3 误差估计公式估

35、计以作为的近似值的误差，由中值定，因而记，则例2.4 .1：:方程有几个根，并求出最小正根的近似解，是误差不超过解：（1）首先用扫描法求出根属于有根区间，和，所以方程有3个根，且在上有最小正根，见附录5-1。 （2）在上求出根的初值，即0和1谁是根的初值，程序见附录5-2，则求的初值为。（3）在上的最小值为，则可以跟据误差公式和牛顿迭代法求出满足误差条件的近似根，程序见附录5-3。结果为：x0 =0.31250000000000x0 =0.25210736468500x0 =0.25121933490266该程序能求出根所在的区间及初值，并对误差进行控制，从而得到误差允许范围内的近似根,且第三

36、个根的符合误差的精度要求时程序停止运算。- 19 -文山学院本科毕业论文(设计)参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2001,134-1582 张春红.泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用J.黑龙江科学，2014, 第5卷第七期，1373 孔珊珊.泰勒公式在数值计算中的应用J.济宁学院学报，2011，第32卷第三期，70-724 王能超.数值分析简明教程M.北京：高等教育出版社，2003,135-1365 孙凤芝.数值计算方法与实验M.哈尔滨：黑龙江出版社，2013,25-26致 谢 本论文是在我的导师程老师的亲切关怀下完成的，老师渊博的专业知识，精益求精的工作态

37、度对我影响深远。从课题的选择到论文的最终完成，每一步都是在程老师的悉心指导下完成的，倾注了导师大量的心血，在此我向他表示衷心的谢意。 这四年来感谢文山学院数学学院的老师对我的培养，他们在学业上的细心指导为我打下了良好的基础，在这里我要向诸位老师深深鞠上一躬。时光匆匆流去，转眼毕业在即，从开始进入课题到论文的完成都离不开老师、同学给我的热情帮助，很庆幸我遇到了如此多的良师益友，无论在学习上、生都给予了我无私的帮助，谨以最朴实的话语致以敬意。附 录附录1：输入程序：clear;syms x;f=x(1/2);t1=taylor(f,2,100,x)t2=taylor(f,3,100,x)结果：t1

38、 =5+1/20*xt2 =5+1/20*x-1/8000*(x-100)2附录2：输入程序：clear;x=100:1:115;f=sqrt(x);t2=5+0.05*x;t3=5+0.05*x-(1/8000)*(x-100).2;plot(x,f,'+',x,t2,'*',x,t3,'o')结果： 附录3：输入程序：先建立euler.m文件function x0,y0=euler(fun,x0,x1,y0,n);h=(x1-x0)/n;for i=1:n; y1=y0+h*(fun(x0,y0) y=(1+2*(x0+h)(1/2) jd=

39、abs(y1-y) y0=y1; x0=x0+h;end然后取步长和，即和。（1）时输入程序：fun=inline('y0-2*x0/y0');x0,y0=euler(fun,0,1,1,10)结果：y1=1.1000 y =1.0954 jd =0.0046y1=1.1918 y =1.1832 jd =0.0086y1=1.2774 y =1.2649 jd =0.0125y1=1.3582 y =1.3416 jd =0.0166y1=1.4351 y =1.4142 jd =0.0209y1=1.5090 y =1.4832 jd= 0.0257y1=1.5803 y =1.5492 jd =0.0311y1=1.6498 y =1.6125 jd =0.0373y1=1.7178 y =1.6733 jd =0.0445y1=1.7848 y =1.7321 jd =0.0527x0=1.0000y0 = 1.7848（2）时fun=inline('y0-2*x0/y0');x0,y0=euler(fu