多元函数求最值

1、精品文档鲁迅中学 2017 届高三数学多元函数求最值（范围）问题第二轮复习主备人 : 刘美良知识要点： 1. a 2b 22ab, aba 2b 2;a 2b2c2abbcac, a, bR2a21142. ab2ab ,abb, a,bR2abab3.2ababa 22b2。112abna1a2an222推广：na1 a2ana 1 a2anai011nn1a1a2an4. 若 a, b, c, d 是实数，则 (a 2b2 )( c2d 2 )(acbd )，当且仅当 ad bc 时，等号成立。一般形式：设 a1 ,a2 , a3 ,., an ， b1 ,b2 , b3 ,., bn 是

2、实数，则22.222.bn2(a1b1a2b2. anbn ) 2( a1a2an ).(b1b2)，当且仅当bi0 来 (i1,2,., n) 或存在一个数k ，使得 aikbi(i1,2,., n) 时，等号成立。推论：（1）当 b1b2Lbn1时，柯西不等式即为 n(a12a22L an2 )(a1a2L an ) 2，若aiR （ i1,2,L n ），则a12a22L an2a1a2Lan，此即上面提到的平方nn平均算术平均。（2）当 bi1（ i1,2,Ln ）时，有22L2)(11L12ai(a1a2an222 )n 。a1a2an当 ai,biR（ i1,2,L n ），则a1

3、a2L anb1b2 L bn( a1a2L an )2b1b2bn(3) 权方和不等式：a 2b 2a b22b2a b 2xyxy； a2。1欢迎下载精品文档一、基本不等式法（1）若正实数 x, y 满足 xy115，则 xy 的最大值为 _4_.xy（2）已知 x, y 为正实数，且 x2 y3 ，则3xy的最小值为 _，xy2x( y1) 的最大值为 _.726 , 532（3）已知 a, b 为正实数，且 ab2 ，则 a24b2的最小值为 _4_.ab1（4） . 若 a0, b 0,2ab 1, 则s2ab( 42b2 )的最大值是.a处理双变元问题的两种常见思路: 一是减元 ;

4、 一是换元 ; 另处 , 基本不等式 , ”1”的代换 .解 : 换元 -s 2ab(4a 2b 2 ) =2ab2ab 24ab2ab 14ab .设 tab , 则 0 t2 ,s 2t 1 4t 22 1.42减 元 :b1 2a,s2 22a4 22a1 ,22a a 取 得 最 大 值 时aa2a 2a 恰好取得最小值 . 所以当 a1.41 的代换 : 2a b1 22ab,4a 2b 222ab（5）已知 x, y, z 为正实数，且 x2y2z22 ，则5xyyz 的最大值为 _.6变式：若 x2y2z21，则 xyyz 的最小值 _2_2（6） . 实数 x, y 满足 x

5、22xy2y 22 ，则 x 22 y2的最小值42 2。（ 7）已知三角形三边长a, b,c 成等差数列，且a2b2c 284 ，则实数 a 的取值范围为2 6b27二、消元法（1）若实数 x, y 满足 x23xy20 ，则 xy2的取值范围为 _ 0,) _.（2）设实数 x, y 满足 x2xyy23 ，则 x2xy y2的取值范围为 _1,9_.（ 3 ）已知实数x, y 满足xy 2x3y30. 若 x, yR ，则 xy 的取值范围是(,111,)_若x, y为 正 实 数 ， 则 xy 的 取 值 范 围 是。2欢迎下载精品文档_ (1,3) _.2三、 判别式法（ 1）设实数

6、 x, y 满足 4x 2y 22xy3 ，则 x 的取值范围是， y 的取值范围是， x 2 y 的取值范围是. .-1,1,-2,2,13, 13（2）若实数 a、b、c 满足 abc0 ， a2b2c 21，则 a 的最大值为6.3（ 3） 设 实 数 x, y满 足 x23xy y 21 ， 则 x 2 y 的 取 值 范 围 是25 , 25 55五、 配方法（1）已知 x, y 为实数，则 z5x 26xy2 y 22x2 y 3 的最小值为.2（2）若 x, yR,设Mx 22 xy3 y2xy ，则 M的最小值是.六、 数形结合法（ 1 ） 设 实 数 x, y满 足 x 2y

7、26x4 y 12 0 ， 则 2xy 的 最 大 值是.4+5（2）已知 x2 y 2，则 x 2y2y 的最小值是.85改为：已知 P 是抛物线 y 24x 上的点，则x3 2y 2 2x 的最大值是解：转化为到焦点的距离即可求解。（3）已知实数 a, b, c 满足条件 0a c2b 1,2 a2 b21c ，则 2 a2 b的最小值是2 c1 , 51742课后作业：多变元的最值问题1. 已知 a0, b 0 ，则 112 ab 的最小值是（）ab。3欢迎下载精品文档A 2B 2 2C4D 5112 ab212ab2(1ab) 411分析：因为babab当且仅当， 且aab1ab ，即

8、 ab 时，取“ =”号，故选 c。w.w.wab2.（ 2008 江苏卷11）已知 x, y, zR， x2 y3z0 ，则 y2的最小值xz分析：直接消元可得y2( x3z)2x26xz9 z21x9z6)1x 9z6) 3 ，当 xy 3z 时xz4xz4 xz4(x(2gz4z x2y取等，所以的最小值为3。3. 2x 23xya( x y) 对一切正实数x， y 恒成立，实数a 的取值范围为。提示：同问题二，答案：a34. 已知x0， y0, x2y则的最小值是（）2xy 8， x 2yA. 3B.4C.911D.22提示：由 x2y2xy8 解出 y 代入 x2y 消元变成二次分式

9、型函数求解答案： B5. 设二次函数f ( x) ax24x c 的值域为 0,) ，并且c19m 恒成立，则 m 的1a9最小值为。a0，将 a4代入19变成二次分式型函数求解提示：由已知条件得4c1a 9acc答案： 6。56 x, yR，则Mxy的最小值为。2 yy 2xx分析： M ( x, y) 为 x, y 的轮换对称式， 猜想 xy 时的最小值为2 ，另 M (x, y) 具有齐一次3分式的结构，尝试是否可以将M ( x, y) 转换成一次分式函数的最值。4欢迎下载精品文档xy1122( yx )yx2 2 2t ，法一： M通分xy令 tx 2 y y 2x12y12x52(y

10、 xx y5 2txyx)y可得 M22t153，在 2,) 上单调递增，当t2时，函数有最小值2 ；52t2t3法二：由于 M ( x, y) 具有齐一次分式的结构，尝试将 M ( x, y) 进行变形， 以期出现倒数结构，再利用均值不等式求解最值，考虑在分子上配凑分母3M3x3y2( y2x)( x2y)2(2 yx)(2 xy)2( y2x2 y x ) 2x 2y y 2xx 2yy 2xx 2 y y 2x可得 3My 2x 2 y x222，当y 2x 2 y x即2g2g，所以 M (x, y) 有最小值x 2 y y 2xx 2y y 2x3x y 时取得。7. 不等式 a23

11、b2b(ab) 对任意 a,bR 恒成立 , 则实数的最大值为。法一：先分离参数，恒有a23b2，可见 M ( a, b)a23b2为齐二次分式型，所以b( ab)b(ab)22( a )232Ma3b分子分母同除以b2 Mb令ta11Mt2t4b(ab)uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuura1btbuuuuuuuuuuuuuurMt422t g422 ，易知 ab 时取等。tt法二：同法一恒有a23b2a23b2，注意观察分母中的ab 和分子中的 “3”，将“ 3”b(ab)abb2进行拆分， Ma23b2a2b22b22ab2b22 ，易知 ab 时取等。abb2abb2abb28. x, y, zR，则xy2 yz的最大值为