RSSR连杆机构的运动分析及其类型图

1、RSSR连杆机构的运动分析及其特殊情况下的类型图摘要通过把连杆看作机械手来分析RSSR机构，两个机械手（运动）产生的工作空间的交叉区域代表了输入杆或者数出来的运动区域，求解运动区域的值就是用数学的方法来求解一个椭圆方程及一个单位圆方程。对于平面四杆，一种的特殊RSSR连杆机构，Grashof准则被引入。（Grashof准则）还被推荐为有效判断简单偏置四杆机构类型的方法。为了可以综合考虑，我们绘制了平面四杆以及简单偏置四杆机构的类型图。类型图的横坐标和纵坐标分别是输入连杆和输出连杆的长度。当组合具有特殊类型连杆机构的时候，利用强大类型图我们可以轻松选择输入连杆长度和输出连杆的长度。1.引言 通过

2、考虑一个运动件中任意一个点的运动，连杆机构可以是平面，球形，或者空间机构。对于四连杆机构的每个类型，根据输入连杆和输出连杆是否可以做完整的周转运动，可以分为三种形式，即双曲柄，曲柄摇杆和双摇杆机构。确定指定的连杆是曲柄还是摇杆是四连杆机构分析中的基本问题。 通过运用著名的Grashof准则，平面四连杆机构的类型可以被确定，。此外，在运动图3,4的帮助下，我们可以设计四连杆机构。对于一个球形的四连杆机构，在辅助连杆特性的帮助下，Grashof准则也适用。一些可以推导Grashof准则的判别式也被指定出来，以确定平面和球形四杆机构中的一根杆是否是曲柄。RSSR连杆机构，一种空间机构，在文献中已经得

3、到了极大的关注，除了简单的偏置四杆机构，定义一个常规RSSR连杆机构需要7个参数。用相对运动的概念来制定判断RSSR连杆机构类型的准则。根据输入输出方程或者传动角的方程，一个四次判别式被开发出来或者一个椭圆及一个圆的方程被提议，以决定一个RSSR连杆机构的类型。 本论文的研究以考虑RSSR连杆机构为闭链机构，两个操作手为起点两个操作手的工作空间分别是一个圆环面和一个圆，通过两个工作空间的交叉区域，可以求解连杆机构的的运动区域。2.常规RSSR连杆机构常规RSSR连杆机构图Fig. 1.所示，A和B是球副，Ao和Bo是转动副，同时也是XY Z 和 xyz 两个坐标系的原点。长度为a输入杆AoA绕

4、Z轴旋转，长度为a输出杆BoB绕z轴旋转。线P1P2是Z轴和z轴之间的公垂线，Z轴和z轴之间的的角度和距离是a 和 d，公共连杆AB的长度是b。偏移的距离是AoP1 = g和BoP2 = h，Y轴和y轴同时平行于线P1P2。为了分析输出杆的运动区域，RSSR连杆机构被分解为两个开式运动链或者通过打断球副B来划分为两个操作手。第一个操作手包含输出连杆以及公共连杆，并且有四个自由度，另一个操作手就是输出杆，且只有一个自由度，如果所有的运动副都可以做完整的周转运动，两个操作手的工作空间分别是一个圆环面和一个圆，以X-Y-Z坐标系为基准的圆环面方程可以写为：(X2+Y2+Z2-（a2+b2）24a2（

5、b2-z2） （1）这个圆，位于x-y平面或者输出连杆平面上，可以表示为：x2+y2=c2 （2）运动区域的分析师基于两个工作空间的交叉区域，如果圆上的点B，表示为Eq.(2)，也可以满足不等式，这意味着两个操所受都可以到达点B，然后RSSR连杆机构就被联系了起来，相应地，如果圆上的任何一个点存在于圆环面内，输出杆就可以做完整的周转运动，由于不等式和Eq.(2)的导出是以不同的坐标系为基准，为了做进一步的研究，不等式必须做出修改，X-Y-Z坐标系和x-y-z坐标系也可以通过一个变换算子来联系起来，即： （3）通过替换方程（3）到不等式（1），同时设定z=0，则描述x-y平面上的圆环面的交叉区域

6、的方程可以推导为： （4）输出杆的运动区域可以通过由不等式确定的区域和由Eq确定的圆的交叉区域来求解。方程F=0是序号4，并且包含圆（2），当方程2Eq.（2）和F=0组合在一起的（求解）时候，解的最大个数是8个，然而，其中的4个是圆上的点，相应地，在实平面内最多有4个解位于交叉区域内，另外，输出连杆是摇杆，如果可以得到2个或者4个解，因为只有圆的一部分可以满足不等式（4），这种方法也被提议用来直接求解输出角，角，如图Fig.1所示，可以从x轴正版轴到输出杆逆时针计算，从方程2Eq.(2),我们可以让x=c cos=cx，y=c sin=cy，同时x2 + y2 = 1.不等式（4）然后就可以

7、修改为：（5）或者， （5'）式中： （6）通过分析Eq.(6)方程（6）中所描叙的系数，我们可以推导出：=csc2-4cssccc=-64a2c2d2sin2 （7）这就解释了不等式（5）代表了被椭圆所包围的区域，因此，求解输出连杆的运动区域的问题就是求解由一个椭圆所包围的区域的交叉区域G'=0,同时，一个单位圆，x2+y2=1 18.另一方面，上面所推导出来的结果也同样适用于输入杆的运动分析，仅仅是修改一些参数，交换a和c，交换g和h，改变d和的符号。通过求解不等式（5）和x2+y2=1来判断RSSR连杆机构的类型的方法对一些特殊情况可以避免，当某些连杆机构的参数为0或者E

8、qs（6）方程组（6）中的一些系数为0的时候，这种情况就出现了。有两种情况，平面四连杆机构和简单的的偏置四杆机构，将会在接下面的文章中描述，同时它们的类型图也会被绘制出来。3.平面四杆机构及类型图对于平面四连杆机构，系数Css > 0,同时Csc, Ccc和Cc全是0，运动区域，如果存在的话，由不等式(5')所描述，被两条平行于x轴的线索包围，如果整个单位圆可以夹在两条线之间，那么输出杆就可以做完整的周转运动，这种情况可以被满足当且仅当G'(1)0，同时G'(-1)0 18.两个不等式都可以推导出：(a-b)2（c+d）2(a+b)2 （8.1）(a-b)2（c-

9、d）2(a+b)2 （8.2）从不等式（8.1）和（8.2），我们可以得出，c或者d一定是四根杆中最短的那一根，最长杆和最短杆的长度之和小于另外两根杆的长度之和，另一方面，相似的结论也可以从输入杆中得出，根据预想，结果和由Grashof准则得出的结果一致。 有利于设计设计连杆机构组合的类型图以上面推导出来的结果或者Grashof准则建立起来，当公共连杆和机架连杆的长度比确立了，同时b > d,那么类型图就可以绘制出来，如Fig.2所示，横坐标是a，同时也是输入杆的长度，同时c，输出杆的长度，是纵坐标，六条线划分为九个区域，六条线是，a+c=b-d,a+c=b+d,a-c=b+d,a-c=

10、b-d,a-c=d-b,c-a=b+d。这些区域可以分类为补个不同的类型，图中用不同的样式标了出来，如果输入杆和输出杆的长度选择“Drag-Link”中的数值，则以为这输入杆和输出杆都能做完整的周转运动，这个连杆机构就是一个拖动链，“C-R”代表曲柄摇杆，另外，“NC”区域意味着连杆甚至不能连接起来，“R-C”意思是输出杆是曲柄，然而，只有当输出杆直接连接到执行结构成为输入杆的时候这种情况才成立，否则的话，四连杆机构的类型就是双摇杆机构，当这个类型图建立起来的时候，用户可以选择特定区域内输入杆和输出杆的长度来设计特定类型的连杆机构，另一方面，横坐标和纵坐标也可以被a/d和c/d来替换来建议相似

11、的类型图。 当公共杆和机架杆的长度相等的时候，即b=d,线a+c=b+d 消失，线a+c=b-d,a-c=b-d,a-c=d-b，如图 Fig.2所示，交汇成一条线，即a-c=0，线a-c=0上的任意一点，代表着一个平行四杆机构机构，同时这个四杆机构是一个拖动杆b<d中的类型图如图Fig.3所示，拖动链的类型是不存在的，因为机架杆式不可能最短的，图中所示的只有四种类型。4. 简单偏置四杆机构的判断这种特殊情况当两个偏置都为0的时候出现，如图Fig.4所示，系数Csc和Cc现在都是0，不等式(5')变为: (9)函数G'=0代表椭圆的一个轴与y轴重合，将x2+y2=1带入不

12、等式（9） 吗，式子变为： （10）式中：判断这种连杆机构的分析取决于k2以及k12-4k2k0的符号，所有可能出现的情况将会在下文描述和讨论。1） k20，（或者d|asin|），不等式（10）代表了由平行于x轴的两条线所包围的区域，（这种情况下的）分析和平面四杆分析类似，对于y =1和y =-1，如果G'0,那么输出干就可以做完整的周转运动，把y=1和y=-1带入不等式（10），结果显示和不等式组（8.1）、（8.2）的结果完全一致，相应地，当k20时，（偏置四杆结构）类型的判定也可以用Grashof准则。2） k2<0,同时k12-4k2k0>0,不等式G'0

13、代表了除两条直线所包围的区域之外的整个平面，当 y=y*=-k1/(2k2) 函数G'的最大值可以被推倒为 -（k12-4k2k0）/4k2>0,当y位于1和-1之间的时候，为了让G'0，那么G'（1）0同时G'（-1）0就是必要的条件，同时y*不能位于1和-1之间，不等式|y*|1就可以表示为： （11）3） 当k2<0,同时k12-4k2k0<0，对于y的所有值G'总是不成立，那么输出连杆有可能做完整的周转运动。4） k12-4k2k0=0，函数G'的符号和k2的一样，同时Grashof准则也同样适用。根据上面的分析，不等式

14、组（8.1）、（8.2）G'（1）0以及G'（-1）0的另外一种表示方法是主要的类别，如果两个不等式都满足的话，k2的符号，即-k1/(2k2)-1，以及k12-4k2k0就可以拿来检验输出杆是否是曲柄，同时不等式k12-4k2k00可以写为： （12）相似的分析同样可以用来分析输入连杆的类型，通过调整第二部分指向有关等式组和不等式组的参数，和输入干有关的不等式组-k1/(2k2)1以及k12-4k2k00可以写为： （11'） （12'）推荐一种可以快速有效判定这种特殊RSSR连杆机构的流程图，如Fig.5所示，Grashof准则，最初是用于平面四杆机构的（类

15、型）分析，用来初步检查查找出 可能做完整周转运动的杆件，据此，k2的符号，即和输入连杆或者输出连杆有关的-k1/(2k2)-1，以及k12-4k2k0都得必须检查来判定连杆机构的类型。5） 简单偏置四杆机构的类型图如Fig.5所示的流程图可以用来判定所有杆件尺寸有已经被定义了的连杆机构，对于（四杆机构）的设计以及组合，这张和Fig.2以及Fig.3类似的类型图很受亲睐，而且是很必要的。对于简单偏置四杆机构的类型图的建议将会以Fig.2以及Fig.3为基础，同时遵从如图5（Fig.5）所示的流程图。在建立流程图之前，我们首先分析曲线k12-4k2k0=0，描述输出杆k12-4k2k00的不等式（

16、12）和不等式（12'）一样，因为参数a以及参数c是对称的，进而不等式k12-4k2k00也可以用另外一种格式来表示： (13)表格1：建立类型图的店的坐标值： (14)从不等式（12）以及（12'）可以发现，曲线k12-4k2k0=0，被a = d/|sin|，a= b/|sin|，c = d/|sin|，c= b/|sin|包围，同时与这些曲线在点A、B、C、D处相切。这些点的坐标值如表格1所示，从不等式（13）我们可以发现，当a=c=（b2+d2）/2sin2,式子k12-4k2k0-cos2（b2-d2）2*(4c2a2)0， 因为 （b2+d2）/2sin2 在b/|

17、sin|和d/|sin|之间，k12-4k2k0的曲线将会是一封闭轮廓，同时k12-4k2k0的符号（正或负）对于被包围区域内的任何一个值都是不成立的，从不等式（14），曲线k12-4k2k0也被a-c=b-d及a-c=-b+d这两条线所包围，同时与这两条曲线在点E和F处的值成正相关，如表格1所示。在这里E=（b+d）2+4bdcot2，如果G=（b-d）2-4bdcot20，曲线k12-4k2k0与线a+c=b+d相切于点G和点H，如表格1所示。另外，当=0o或者=180o时，点E、F、G以及H存在于无穷远处，或者不存在，这就是说（偏置四杆）连杆机构变成了平面四杆机构。根据b=d _ 1 以

18、及 D的符号（正或负），四种类型图将会被归类，将会在接下来讨论。5.1 b/d1,且G 0以图2（Fig.2）所建立的不完整类型图如图6（Fig.6）所示，这个类型图适用于b=2.5d > d 同时=30o (G < 0)的情况，绘制对应于输入杆的线a= d/|sin|，以及对应于输出杆的线c = d/|sin| (k2 >0)。进而，曲线k12-4k2k0也会被考虑同时去图像也被绘制出来，曲线k12-4k2k0的图像如图6（Fig.6）所示，外星看起来成“梨”状，且一次通过点：A、C、E、B、D以及F，这条曲线位于asind,c sind的条件区域内，满足Grashof准则

19、，同时机架连杆是最短的。同时，这条曲线内的任何一个点都满足不等式（12），因此，“梨”状内区域代表拖拉连杆，对于ad/|sin|以及 cd/|sin|包围的区域，即k2>0,连杆机构的类型和图2(Fig.2)所示的类型一样，如图5（Fig.5）所示，另外，图2(Fig.2)中标有“Double-Rocker”（双摇杆）在这种情况下仍然代表双摇杆连杆机构，因为此时连杆机构至少可以满足=90o或者=-90o。然而，如果不考虑和绘制曲线|-k1/(2k2)|=1 的图像，标有“？”区域代表的连杆机构类型就不可能被确定。与输出杆所对应的的不等式|-k1/(2k2)|1可以表示为不等式（11），格

20、式为：d2（a+c+b+d）（a+c-b-d）（a-c-b+d）(a-c+b-d)+4a（bd-acsin2）×（abd+a2csin2-2cd2）0（15）通过观察不等式（11），曲线|-k1/(2k2)|=1主要有两条分支，当a=d/|sin|且 -a2-b2+c2+d2=0时，与他们交叉，交叉点恰恰就是点A，从不等式（14）已经不等式（15），它揭示两条曲线|-k1/(2k2)|=1和k12-4k2k0=0在点E处相交，在点E处，有bd-acsin2=0 以及 a-c=b-d. ，相似地，曲线|-k1/(2k2)|=1同时与k12-4k2k0=0以及a-c=-b+d相交于点F，

21、如果DGP0，曲线|-k1/(2k2)|=1也有可能通过点G和H。当只考虑不等式（11）的时候，图7（Fig.7）所示的类型图适用的条件爱你是b=2.5d>d,且=30o的情况，曲线|-k1/(2k2)|=1的图像也用黑实线绘制出来，|-k1/(2k2)|-1的特征值在类型图上也被标记出来用于分析。同时，类型图中所显示曲线对应的是aPd=j sin aj.的输出杆，如果输出杆的长度选择的是I和 II区域内的值，那么输出杆可以做完整的周转运动，因为满足不等式组（8.1）、（8.2），且满足ad/|sin|，对于区域III, IV 以及V内的点，输出杆也许做完整的周转运动，因为满足不等式（1

22、1）且满足a>d/|sin|(k2>0)，另外，利用优化技巧（方法），可以证明任何值都满足|-k1/(2k2)|-1在区域III内的特征值。用类似的方法，也可以绘制输入杆所对应的的曲线|-k1/(2k2)|=1的图像，这条曲线有两条分支，交于点C，同时，这条曲线经过点E，同时也经过点F。通过合并图6以及图7（Figs. 6 、 7），并且考虑不等式（11'），b=2.5d>d,且=30o(G < 0)的情况下的简单偏置四杆机构的类型图就可以建立起来，如图8（Fig. 8）所示。通过通过比较图2 （Fig. 2）以及图8（Fig. 8）所示的类型图，唯一不同的区域

23、就是代表拖拉杆的区域，简单偏置四杆机构的拖拉杆所示的区域变小了，且被线a-c=b-d, a-c=d-b, a+c=b+d以及曲线k12-4k2k0=0的图像区域所包围，这个区域的起点是E，终点是F，并且经过点B以及D，为了简化类型图的建立，建议用户可以简单地轮流连接点E、B、D、F，而不是绘制不等式（12）的曲线图像。另一方面，对于目前的情况，创建最终的类型图，绘制曲线|-k1/(2k2)|=1以及曲线k2=0的图像是不需要的。当b = d的时候,所有的点A、B、C、D、E以及F重合为一点，a=c=d=d /|sin |也相交于这个点，通过观察图8（Fig. 8,），线a-c=d-b和a-c=

24、b-d的相交点满足a-c=0。当且仅当a=cd /|sin |的时候，这根连杆将会是拖拉杆，如果a=c>d /|sin |，（四连杆）机构的将会是双摇杆机构。5.2 b/d>1,且G >0 当G >0，即tan 2> 4bd/(b-d)2,曲线k12-4k2k00与线a+c=b+d在G以及H点处相切，对于b=2.5d > d且=82o（G >0），曲线k12-4k2k0=0的形状看起来像“香蕉”，对于输出杆的|-k1/(2k2)|=1的曲线，由黑体线绘制，曲线通过依次通过点D,F,A,G,H，C，E以及B，通过考虑k2，k12-4k2k0，|-k1/(

25、2k2)|-1在所有区域内的符号，最终的类型图绘制出来如图10（Fig. 10）所示，曲柄摇杆和摇杆曲柄所对应的的区域和图2（ Fig. 2）相同，唯一代表拖拉连杆机构类型的是由曲线k12-4k2k0=0，以及a-c=b-d, a-c=d-b,a+c=b+d所包围的区域，同时，曲线k12-4k2k0=0，以及线a+c=b+d之间由虚线所绘制的区域代表双摇杆机构。5.3. b/d>1,且G 0如图3（Fig. 3.）所示，如果b < d ，那么拖拉连杆是不存在的，对于b /d=0.4,且=30o（G<0）条件下的简单偏置杆机构的类型的建立如图11（Fig. 11）所示，黑色粗体

26、绘制的曲线图像代表的是输出杆的式子|-k1/(2k2)|=1，对于被线a-c=d-b, a-c=b-d, 和线a+c=b+d所包围的开放区域，不等式组(8.1)以及(8.2)都不会被满足，当且仅当条件 k20，|-k1/(2k2)|-10以及k12-4k2k00都被满足的时候，连杆机构就是双摇杆机构，这个区域就会被线a+c=b+d, a-c=d-b, a-c=b-d包围，并且曲线图像经过点EBD以及F，其它感兴趣的区域（需要考虑一下区域）是被线c=0, a-c=d-b and a+c=b+d.所包围的区域。对于满足方程ad/|sin|(k20的区域，由于不等式组(8.1)和 (8.2)是主要的

27、判定标准，输出杆也许做完整的周转运动。如果b+d > d/|sin|部分所感兴趣的区域位于满足方程a > d/|sin| (k2 < 0)条件所确定的区域内，对于这部分区域，输出杆的类型取决于|-k1/(2k2)|-1的符号（正或负）。通过运用优化技巧（方法），可以证明对于满足方程式a+cd-b, a+cb +d, c0，同时ad/|sin|值，|-k1/(2k2)|-1的符号都是正的，结果就是，对于被线c=0, a-c=d-b以及a+c=b+d所包围的区域的值，输出杆也许可以做完整的周转运动，那么最终的类型图就可以被绘制出来，如图12（Fig. 12.）所示5.4b/d<1,且G >0如图13（Fig.13）所给的是在b=0.4d且=82o（G >0）条件下建立的曲