QQX--3-2能控能观与传函矩阵

1、)()()()()(11111tttttCxyBuAxx )()()()()(22222tttttTTTxByuCxAx 3.5 对偶性原理对偶性原理2CB+u1(t)x1(t) y1(t)x1(t)ABTCT+u2(t)x2(t) y2(t)x2(t)AT从结构图上看，系统从结构图上看，系统 1和其对偶系统和其对偶系统 2的的输入端和输出端互换，输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。 3.5 对偶性原理对偶性原理3 对偶性原理对偶性原理 系统系统 1状态完全能控（完全能观测）状态完全能控（完全能观测）的

2、充要条件与其对偶系统的充要条件与其对偶系统 2状态完全能观测（完全能控）状态完全能观测（完全能控）的充要条件相同。的充要条件相同。 证明证明 系统系统 1的能控性和能观测性矩阵分别为的能控性和能观测性矩阵分别为 Qc1 = B AB A2B An 1B T1nCACAC11noCACACQQc2 = CT ATCT (AT)n 1CT 系统系统 2的能控性和能观测性矩阵分别为的能控性和能观测性矩阵分别为3.5 对偶性原理对偶性原理41TTTTT2)(noABABBQ= B AB A2B An 1B T rank Qc1 = rank Qo2 rank Qo1 = rank Qc2 根据这一原理

3、，一个系统的状态完全能控性根据这一原理，一个系统的状态完全能控性（能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能（能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性（能控性）来研究。观测性（能控性）来研究。3.5 对偶性原理对偶性原理5 系统的能控性和能观测性系统的能控性和能观测性&传递函数矩阵概念传递函数矩阵概念首先应该对首先应该对不完全能控，或者不完全能观测系统不完全能控，或者不完全能观测系统进行进行结结构分解构分解，即把，即把系统中不能控或不能观测的部分同系统的系统中不能控或不能观测的部分同系统的能控与能观测部分区分开来能控与能观测部分区分开来，要做到这一点，一般可用，要做到这一点，一

4、般可用线性变换来解决。线性变换来解决。3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系 6 1. 系统按能控性分解系统按能控性分解 定理定理3-11 设有设有n维状态不完全能控线性定常系统维状态不完全能控线性定常系统 (A，B，C)，rankQc=kn，则必存在一个非奇异矩，则必存在一个非奇异矩阵阵Tc，令，令 ，能将系统变为，能将系统变为)()(ttcxTx)()()(0)()(0)()(2112122121121tttttttxCCyuBxxAAAxx)()()()()(11112121111ttttttxCyuBxAxAx）k维子系统是能控的。维子

5、系统是能控的。 )()()(2222222ttttxCyxAx）nk维子系统是不能控的。维子系统是不能控的。 3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解7 其中：其中： 列向量列向量q1 ，q2，qk 是能控性矩阵是能控性矩阵Qc中中k个线性个线性无关的列无关的列， 另外另外n k个列向量个列向量qk +1 ，qn是在是在确保确保Tc为非为非奇异的情况下任意选取奇异的情况下任意选取的。的。 nkkcqqqqT113.6.1 系统的结构分解系统的结构分解 其中，非奇异变换矩阵其中，非奇异变换矩阵Tc为：为：8能控部分能控部分不能控部分不能控部分+x2(t)A22A12 y(t) B1+u(t)x1

6、(t)A11C1+C2+3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解 例例3-14 线性定常系统状态空间表达式为线性定常系统状态空间表达式为试求系统的能控子系统。试求系统的能控子系统。)(210)()(011)(310301100)(ttytuttxxx 9解：（解：（1）判断系统是否完全能控）判断系统是否完全能控2103111012BAABBQcrankQc = 2 原系统是状态不完全能控的。原系统是状态不完全能控的。3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解10（2）结构分解）结构分解 取取 10022111011001100131030110011001100111ccATTA00101111

7、001100111BTBc211110011001210cCTCTc =1 01 10 10013.6.1 系统的结构分解系统的结构分解210311101cQ（3）能控子系统为：）能控子系统为： 11l维子系统是能观测的。维子系统是能观测的。 nl维子系统是不能观测的。维子系统是不能观测的。 2. 系统按能观测性分解系统按能观测性分解 定理定理3-12 设有设有n维状态不完全能观线性定常系统维状态不完全能观线性定常系统 (A，B，C)，rankQo=ln，则必存在一个非奇异矩阵，则必存在一个非奇异矩阵To ，令，令 ，能将系统变为，能将系统变为)()(ttoxTx)(0)()()()(0)()

8、(1212122211121tttttttxCyuBBxxAAAxx)()()()(1111111tttttxCyuBxAx）)()()(22221212ttttuBxAxAx）nlloTTTTT1113.6.1 系统的结构分解系统的结构分解Qo中中l个个线性无关线性无关行行任选：任选：To中非奇中非奇异异12C1 B1+u(t)x1(t) y(t)A11 B2+x2(t)A22A21能观测部分能观测部分不能观测部分不能观测部分3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解134323212102CACACQorankQo = 2 原系统是状态不完全能观测的原系统是状态不完全能观测的。（2）结构分解

9、）结构分解1003212101oT例例3-15 把例把例3-14系统按能观测性分解。系统按能观测性分解。3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解解解：（：（1）判断系统是否完全能观测）判断系统是否完全能观测)(210)()(011)(310301100)(ttytuttxxx 1410002101011032121031030110010032121011ooATTA0110111003212101BTBo0011003212102101oCTC3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解154443332423222113110000000AAAAAAAAAA)()()()(tttttxCyuB

10、xAx ）0021BBB0021CCC 3系统按能控性和能观测性分解系统按能控性和能观测性分解 将上述两个定理结合起来，就可得到卡尔曼将上述两个定理结合起来，就可得到卡尔曼（Kalman）标准分解定理。）标准分解定理。 定理定理3-13 设有设有n维线性定常系统维线性定常系统 (A，B，C)，若，若系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个非奇异矩阵线性变换，可使系统变换为如下形式非奇异矩阵线性变换，可使系统变换为如下形式3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解能控又能观能控又能观能控不能观能控不能观能观不能控能观不能控不能控也不能观不能控也不

11、能观16 co+u(t) y(t) c o 3.6.1 系统的结构分解系统的结构分T)()(211)( )(001)()(100221110)()(tttytuttttNccNccNccxxxxxx 例例3-16 把例把例3-14系统按能性和能观测性结构分解。系统按能性和能观测性结构分解。 解：（解：（1）判断系统的能控性和能观测由例）判断系统的能控性和能观测由例3-14和和例例3-15知知rankQc = 2 n rankQo = 2 n （2）将系统按能控性分解）将系统按能控性分解 根据例根据例3-14，取取系统分解后系统分解后（3）将不能控子系统按能观测性分解）

12、将不能控子系统按能观测性分解3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解无需分解无需分解18101111oT10111oT)(0121)()(2110)()(10110101101tuttttococcooccoTxTxxTTxx)(0121)()(1101tuttococcoxxx)()(11)(011tttyoccoxxT)()(01ttoccoxx（4）将能控子系统按能观测性分解）将能控子系统按能观测性分解:先求先求非奇异线性变换矩阵为非奇异线性变换矩阵为 3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解11111oQ19综合以上结果，系统按能控性和能观测性分解后综合以上结果，系统按能控性和能观测性

13、分解后)()()(201( )(001)()()(100211101)()()(txtxtxtytutxtxtxtxtxtxococcoococcoococco）3.6.1 系统的结构分解系统的结构分解20 定理定理3-14 一个单输入单输出线性定常系统一个单输入单输出线性定常系统(A，B，C)，若其传递函数中，若其传递函数中没有零点和极点相消现象，那么没有零点和极点相消现象，那么系统一定是既能控又能观测的系统一定是既能控又能观测的。若有零、极点相消现。若有零、极点相消现象，则系统视状态变量的选择不同，它将是不能控的，象，则系统视状态变量的选择不同，它将是不能控的，或者是不能观测的，或者是不能

14、控不能观测的。或者是不能观测的，或者是不能控不能观测的。 证明证明 (A，B，C)的传递函数为的传递函数为G(s) = C(sI A)1B （1）证充分性：如果传递函数）证充分性：如果传递函数C(sI A)1B中不出中不出现零、极点对消，系统现零、极点对消，系统(A，B，C)一定是能控能观一定是能控能观测的。测的。 假设假设G(s)的分子、分母无零极点对消，系统的分子、分母无零极点对消，系统(A，B，C)却不能控或不能观测，因而一定可对系统进行却不能控或不能观测，因而一定可对系统进行3.6.2 系统传递函数中零极点相消定理系统传递函数中零极点相消定理 21能控性或能观测性结构分解。如设系统能控

15、性或能观测性结构分解。如设系统(A，B，C)不不完全能观测，则将其按能观测性分解后可得完全能观测，则将其按能观测性分解后可得 )(0)( )()()(0)()(1212122211121ttytuttttxCBBxxAAAxx系统传递函数应满足系统传递函数应满足111111)()(BAICBAICss 由于由于 的维数低于的维数低于A的维数，但又假设系统无零极的维数，但又假设系统无零极点对消，故上式不可能成立，因此系统点对消，故上式不可能成立，因此系统(A，B，C)的的传递函数无零极点对消，系统必是能观测的。同理，传递函数无零极点对消，系统必是能观测的。同理，可证明系统也必能控。可证明系统也必

16、能控。11A3.6.2 系统传递函数中零极点相消定理系统传递函数中零极点相消定理 22 （2）证必要性：如果系统）证必要性：如果系统(A，B，C)能控且能控且能观测，传递函数能观测，传递函数G(s)中没有零极点相消现象。中没有零极点相消现象。 如果系统如果系统(A，B，C)不是不是G(s)的最小实现，的最小实现，则必存在另一个系统，有更小的维数，使得则必存在另一个系统，有更小的维数，使得BAICBAIC11)()()(ssGs 由于由于 的阶次比的阶次比A低，于是多项式低，于是多项式det(sI )的阶次的阶次也一定比也一定比det(sIA)的阶次低，但是欲使上式成立，必的阶次低，但是欲使上式

17、成立，必须是须是C(sIA)1B的分子分母之间出现零极点对消，于是的分子分母之间出现零极点对消，于是反设不成立。反设不成立。 证毕证毕 AA 这时特别需要指出，上述定理对于这时特别需要指出，上述定理对于多输入多输出多输入多输出系统系统只是充分条件，而不是必要条件。只是充分条件，而不是必要条件。 3.6.2 系统传递函数中零极点相消定理系统传递函数中零极点相消定理 234141ABBQc 系统不完全能控但完全能观测。所以系统传递函系统不完全能控但完全能观测。所以系统传递函数中必有零极点相消现象。数中必有零极点相消现象。1301CACQo)(01)()(11)(2213(ttytuttxxx ）

18、例例3-18 试判定系统试判定系统的传递函数中是否有零极点相消现象。的传递函数中是否有零极点相消现象。解：解： 系统的能控性矩阵和能观测性矩阵系统的能控性矩阵和能观测性矩阵 3.6.2 系统传递函数中零极点相消定理系统传递函数中零极点相消定理 24) 1)(4(1 11221301 )()()()(11sssssssUsYsGBAIC 系统矩阵系统矩阵A有两个特征值：有两个特征值：1 = 1，2 = 4。从上式。从上式可看出，可看出，1 = 1的因子被约去了。的因子被约去了。 如果把系统矩阵如果把系统矩阵A化为对角形，那么化为对角形，那么1 = 1被约去被约去的现象就看得更清楚了。不难求得变换矩阵为的现象就看得更清楚了。不难求得变换矩阵为1211P1211311P3.6.2 系统传递函数中零极点相消定理系统传递函数中零极点相消定理 25)(11)()(10)(4001(ttytuttxxx ） 由上述状态表达式清楚地看到，对应于由上述状态表达式清楚地看到，对应于1 = 1的状态的状态方程根本没有输入，自然不能控，也不会出现于系统的方程根本没有输入，自然不能控，也不会出现于系统的传递函数之中。传递函数之中。 通过以上分析我们得知，