材料力学应力状态分析

1、1第八章第八章 应力状态分析应力状态分析2第八章第八章 应力状态分析应力状态分析 应力状态的概念应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态用图解法分析二向应力状态 主应力迹线主应力迹线 三向应力状态三向应力状态 广义胡克定律广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度三向应力状态下的应变能密度 弹性常数弹性常数E,G,u E,G,u 间的关系间的关系目目录录3低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁1 1、问题的提出、问题的提出81 应力状态的概念应力状态的概念4脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时

2、为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁81 应力状态的概念应力状态的概念5F laS1p pW WT Tz zz zW WM M3p pW WT Tz zz zW WM MzMzT4321yxM FlT Fa目录81 应力状态的概念应力状态的概念6123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体该单元体称为称为主应力单元。主应力单元。321,321 81 应力状态的概念应力状态的概念7123空

3、间（三向）应力状态：三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零81 应力状态的概念应力状态的概念8x xy yx y yx xya a 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态9 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos

4、(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态10利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态11x xy yx y yx xya a使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针

5、转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a a xyntxyxx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态122sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态

6、解析法分析二向应力状态13yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态14试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例

7、题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态15解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态16（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMP

8、a3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态17主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态18（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y x xy 5 .1513 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析

9、法分析二向应力状态192sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态20 xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1. 1. 应力圆：应力圆： 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态212.2.应力圆的画法应力圆的画法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx 8-3 8-3 图解法分析二向

10、应力状态图解法分析二向应力状态22点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应关系、几种对应关系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态231.1.定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态24由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231max 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。213 32 1 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态251. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律262 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E1231E1E2E3 8-6 8-6 广义胡克