弹簧类问题几种模型及其处理方法

1、弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。一、弹簧类命题突破要点1弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置

2、、现长位置、平衡位置等，找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。2因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。3在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。二、弹簧

3、类问题的几种模型1平衡类问题例 1 如图 1 所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为1、2的物块拴接，劲度系数为2mmk的轻质弹簧上端与物块2 拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将1缓慢mm竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，m2的重力势能增加了_， m1的重力势能增加了_。分析： 上提m1 之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：，其中，、分别是弹簧k 1、 k2 的压缩量。当用力缓慢上提此时弹簧 k 1 的伸长量。m1，使k2 下端刚脱离桌面时，弹簧k2 最终恢复原长，其中，为答案： m2上升的高度为，增加的重力势能为，m1 上升的高度

4、为，增加的重力势能为。点评： 此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题，题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出。注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。例 2 如上图 2 所示， A 物体重 2N，B 物体重 4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A 物体的绳的拉力为T，B 对地的压力为F，则 T、F 的数值可能是A7N，0B 4N，2NC 1N，6ND 0，6N分析： 对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态。所以，此问题要分两种情况进行分析。（ 1）若弹簧处于压缩状态，则通过对A、 B 受力分析可得：，（ 2）若弹簧处于拉伸状态，则通过对A、 B 受力分析可得

5、：，答案： B、D。点评： 此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点，考查学生对问题进行全面分析的能力。有时，表面上两种情况都有可能，但必须经过判断，若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不符，必须排除。所以，对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后作出判断。平衡类问题总结： 这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况。只要学生静力学基础知识扎实，学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。2突变类问题例 3（ 2001年上海） 如图3 所示，一质量为m的小球系于长度分别为l 1、 l 2 的两根细线上，l 1 的

6、一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为，l 2 水平拉直，小球处于平衡状态。现将l 2 线剪断，求剪断瞬时小球的加速度。若将图3 中的细线l 1 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图4 所示，其他条件不变，求剪断细线l 2 瞬时小球的加速度。分析： （1）当剪断细线l 2 瞬间，不仅 l 2 对小球拉力瞬间消失，l 1 的拉力也同时消失，此时，小球只受重力作用，所以此时小球的加速度为重力加速度g。（ 2）当把细线l 1 改为长度相同、质量不计的轻弹簧时，在当剪断细线l 2 瞬间，只有l 2 对小球拉力瞬间消失，弹簧对小球的弹力和剪断l 2 之前没变化，因为弹簧恢复形变需要一个过程。如图5 所示，

7、剪断l 2 瞬间，小球受重力G和弹簧弹力，所以有：，方向水平向右。点评： 此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题，学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟悉，还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用，此类问题才能得以解决。突变类问题总结： 不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计，因此可以称为“突变弹力”，轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为“渐变弹力”。所以，对于细线、弹簧类问题，当外界情况发生变化时（如撤力、变力、剪断），要重新对物体的受力和运动情况进行分析，细线上的弹力可以突变，轻弹簧弹力不能突变，这是处理此类问题的关键。3碰撞型弹簧问题此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比

8、较简单的一类，而其主要特点是与碰撞问题类似，但是，它与碰撞类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长，而碰撞类问题的作用时间极短。例 4 如图 6 所示，物体 B 静止在光滑的水平面上， B 的左边固定有轻质的弹簧，与 B 质量相等的物体 A 以速度 v 向 B 运动并与弹簧发生碰撞， A、B 始终沿统一直线，则 A,B 组成的系统动能损失最大的时刻是AA 开始运动时B A 的速度等于v 时CB 的速度等于零时D A 和 B 的速度相等时分析： 解决这样的问题，最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化，明确两个物体在相互作用的过程中，其详细的运动特点。具体分析如下：（ 1）弹簧的压缩过程：

9、 A 物体向 B 运动，使得弹簧处于压缩状态，压缩的弹簧分别对 A、 B 物体产生如右中图的作用力，使 A 向右减速运动，使 B 向右加速运动。由于在开始的时候， A 的速度比 B 的大，故两者之间的距离在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的弹力越来越大，直到某个瞬间两个物体的速度相等，弹簧压缩到最短。（ 2）弹簧压缩形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间，由于弹簧仍然处于压缩状态，A 继续减速， B 继续加速，这就会使得B 的速度变的比A 的速度大，于是A、B 物体之间的距离开始变大，弹簧逐渐恢复形变直至原长。（ 3）弹簧的拉伸过程： 由于 B 的速度比 A 的速度大，弹簧由原长变为拉伸状态。此

10、时，弹簧对两物体的弹力方向向内，使 A 向右加速运动， B 向右减速运动，直到 A、 B 速度相等时弹簧拉伸到最长状态。（ 4）弹簧拉伸形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间，由于弹簧仍然处于拉伸状态，A 继续加速， B 继续减速，这就会使得 A 的速度变的比 B 的速度大，于是 A、B 物体之间的距离开始变小，弹簧逐渐恢复形变直至原长。就这样，弹簧不断地压缩、拉伸、恢复形变。当外界用力压弹簧时，弹簧会被压缩，从而获得弹性势能，当弹簧开始恢复形变之后，它又会将所蓄积的弹性势能释放出去，这个蓄积和释放的过程，弹簧自身并不会耗费能量。能量在两个物体和弹簧之间进行传递。点评： 在由两个物体和弹簧组

11、成的系统的运动中，具有下面的特点：（ 1）两个物体速度相等时，弹簧处于形变量（压缩或拉伸）最大的状态，弹簧的弹性势能达到最大。（ 2）两个物体不停地进行着加速和减速运动，但加速度时刻在变化，所以有关两个物体运动的问题不能采用运动学公式来解决。但此模型属于弹性碰撞模型，所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统机械能守恒。4：机械能守恒型弹簧问题对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算，但是需要定性的了解，即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系，对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。例 5 一劲度系数k=800N/m 的轻质弹簧两端分别连接着质

12、量均为m=12kg的物体 A、B，它们竖直静止在水平面上，如图7 所示。现将一竖直向上的变力F 作用在 A 上，使 A 开始向上做匀加速运动，经0.40s 物体 B 刚要离开地面。求：此过程中所加外力F 的最大值和最小值。此过程中力F 所做的功。（设整个过程弹簧都在弹性限度内，取g=10m/s2 ）分析： 此题考查学生对A 物体上升过程中详细运动过程的理解。在力F 刚刚作用在A 上时， A 物体受到重力 mg，弹簧向上的弹力T，竖直向上的拉力F。随着弹簧压缩量逐渐减小，弹簧对A 的向上的弹力逐渐减小，则F 必须变大，以满足F+T-mg=ma。当弹簧恢复原长时，弹簧弹力消失，只有F-mg=ma；

13、随着 A物体继续向上运动，弹簧开始处于拉伸状态，则物体A 的受到重力mg，弹簧向下的弹力T，竖直向上的拉力 F，满足 F-T-mg=ma。随着弹簧弹力的增大，拉力 F 也逐渐增大，以保持加速度不变。等到弹簧拉伸到足够长，使得 B 物体恰好离开地面时，弹簧弹力大小等于B 物体的重力。答案： （ 1）开始时，对于A 物体：，得弹簧压缩量是x=0.15mB 刚要离开地面时，对于B 物体仍有：，得弹簧伸长量x=0.15m因此 A 向上运动的位移是0.3m，由公式：求得：加速度是3.75m/s 2 。所以：开始时刻F=ma=45N为拉力最小值；B 刚要离开地面时F'-mg-kx=ma，得 F&#

14、39;=285N 为拉力最大值。（ 2）拉力做的功等于系统增加的机械能，始末状态弹性势能相同。所以由和，可得此过程中拉力做的功等于49.5J 。点评： 此类题的关键是要分析出最大值和最小值时刻的特点，必须通过受力分析得出物体运动的详细过程特征，只要把物体做每一种运动形式的力学原因搞清楚了，这类问题就会迎刃而解。所以，学生在平时的训练中，必须养成良好的思维习惯，对于较复杂的物理过程，必须先分段研究，化一个复杂问题为若干个简单模型，针对若干个简单的物理情景，逐一分析出现这一物理情景的力学原因，当把每一个物理情景都分析清楚了，整个问题的答案就会水到渠成。例 6 如图 8 所示，物体B 和物体 C 用

15、劲度系数为k 的弹簧连接并竖直地静置在水平面上。将一个物体 A 从物体 B 的正上方距离B 的高度为 H0 处由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 和 B 粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、 B 不再分离。已知物体A、B、C 的质量均为M，重力加速度为g，忽略物体自身的高度及空气阻力。求：（ 1） A 与 B 碰撞后瞬间的速度大小。（ 2） A 和 B 一起运动达到最大速度时，物体C 对水平地面压力为多大？（ 3）开始时，物体A 从距 B 多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面？分析： 过程分析法：第一阶段： A 自由落体；第二阶段： A、 B 发生碰撞，

16、作用时间极短，时间忽略；第三阶段： AB成为一体的瞬间，弹簧形变来不及发生改变，弹簧的弹力仍为mg，小于 AB整体重力2mg，所以物体 AB所受合力仍然为向下，物体仍然向下加速，做加速度减小的加速运动。当弹簧的弹力增大到正好为 2mg时，物体 AB 合力为 0，物体继续向下运动。第四阶段：弹簧继续被压缩，压缩量继续增加，产生的弹力继续增加，大于2mg，使得物体AB所受合力变为向上，物体开始向下减速，直至弹簧压缩到最短，AB物体停止运动。所以，当物体AB 所受合力为 0 时就是该物体速度最大的时候。答案： （1） A 自由下落由机械能守恒得：，求得A 与B 碰撞，由于碰撞时间极短，由A、B 组成

17、的系统动量守恒得：。所以求得A 与 B 碰撞后瞬间的速度大小（ 2）由前面分析知，A 和 B 一起运动达到最大速度的时刻，即为物体AB受合力为 0 的时刻：对C 受力分析知地面对C 的支持力。所以物体C 对水平地面压力也为3mg。（ 3）设物体A 从距离 B 为 H 的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C 恰好离开地面。要使C 恰好离开地面，意味着当A 上升到最高点时弹簧的弹力为mg，弹簧的伸长量为，A、B 相碰结束时刻弹簧的压缩量也为。所以，由A、 B 物体以及弹簧组成的系统，从A、B 相碰结束开始到A、B 上升到最高点的过程中，系统机械能守恒，初状态A、B 的动能全部转化为末状态A、

18、 B 的重力势能，弹性势能没有变化。所以有：，求得：点评： 高中阶段的机械能守恒等式分为：“守恒式”、“转移式”和“转化式”三种，对于任何研究对象，无论是单个物体还是系统，都可以采用“守恒式”列等式，选好零势能面，确定初、末状态的机械能，此方法思路简单，但等式复杂，运算量较大。“转移式”只能针对一个系统，如两个物体A、B 组成的系统，若 A 物体机械能减小，B 物体的机械能一定增加，且变化量相等，A 减小的机械能转移到B 上导致 B 物体机械能增加。“转化式”体现了机械能守恒中机械能从一种形式转化成另外一种形式，在转化过程中总的机械能不变。即：，若物体或系统动能增加了，势能必然减小，且增加的动

19、能等于减小的势能。此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒，在这类模型中，一般涉及动能、重力势能和弹性势能，列等式一般采用“转移式”或“转化式”。5简谐运动型弹簧问题弹簧振子是简谐运动的经典模型，有一些弹簧问题，如果从简谐运动的角度思考，利用简谐运动的周期性和对称性来处理，问题的难度将大大下降。例 7如图 9 所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x0 时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a 随下降位移大小x 变化的图像，可能是下图中的分析： 我们知道物体所受的力

20、为弹力和重力的合力，而弹力与形变量成正比，所以加速度与位移之间也应该是线性关系，加速度与位移关系的图像为直线。物体在最低点的加速度与重力加速度之间的大小关系应该是本题的难点，借助简谐运动的加速度对称性来处理最方便。若物块正好是原长处下落的，根据简谐运动对称性，可知最低点时所受的合力也是 mg，方向向上，所以弹力为 2mg，加速度为 g。现在，初始位置比原长处要高，这样最低点的位置比上述情况要低，弹簧压缩量也要大，产生的弹力必定大于2mg，加速度必定大于 g。例 8 如图 10 所示，一质量为 m的小球从弹簧的正上方 H 高处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，在压缩的全过程中（忽略空气阻力且在弹性

21、限度内），以下说法正确的是A小球所受弹力的最大值一定大于2mgB小球的加速度的最大值一定大于2gC小球刚接触弹簧上端时动能最大D小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大解读： 本题是一个典型的简谐运动模型问题。可参考例8 分析即可。6综合类弹簧问题例 9 质量均为m的两个矩形木块A 和 B 用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k, 将它们竖直叠放在水平地面上，如图13 所示，另一质量也是m的物体 C，从距离 A 为 H 的高度自由下落，C 与 A 相碰，相碰时间极短，碰后A、 C 不粘连，当A、C 一起回到最高点时，地面对B 的支持力恰好等于B 的重力。若C 从距离 A 为 2H 高处自由落下，在A、 C 一起上升到某一位置，C 与 A 分离， C继续上升，求：（ 1） C 没有与 A 相碰之前，弹簧的弹性势能是多少？（ 2） C 上升到最高点与A、C 分离时的位置之间距离是多少？解：过程分析法（ 1） C 由静止下落H 高度。即与A 相撞前的速度为，则：，得出：（ 2） C 与 A 相撞，由动量守恒定律可得：得出：（ 3