带电粒子自主招生专题课程

1、.【例 3】 在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图7 所示。现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析： 电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1 和圆 O2 为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆 O2 在 轴上方的个圆弧 odb 就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心， 以 R 为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均

2、平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为的距离即图中的弧ocb 就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：。还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0 与 x 轴夹角为，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y ），从图 10 中看出，即（ x 0 ， y 0 ），这是个圆方程，圆心在（0， R）处，圆的圆弧部分即为磁场区域的下边界。三空间轨迹问题【例 4】 在三维直角

3、坐标中，沿+z 方向有磁感强度为B 的匀强磁场，沿- z 方向有电场强度为E 的匀强电;.场。在原点 O有一质量为 m 、电量为 - q 的粒子（不计重力）以正x 方向、大小为v 的初速度发射。试求粒子再过z 轴的坐标与时间。zB【答案】 z =2 2 k 2mE， t =2 km。（其中 k = 1 ， 2， 3， ）qB2qBYxE【例 9】 如图所示， oxyz 坐标系的 y 轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与 x 轴平行从y 轴上的 M 点（ 0， H， 0）无初速释放一个质量为m、电荷量为q 的带负电的小球，它落在xz 平面上的 N（ c，0，b）点（

4、c>0，b>0）若撤去磁场则小球落在xy 平面的P（ l， 0， 0）点（ l>0）已知重力加速度为（ 1）已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向；y（ 2）求电场强度E 的大小；M( 0,H,0)（ 3）求小球落至N 点时的速率 vmglH 2c2oP(l ,0,0) x【解析】：磁场方向为 x 方向或 y 方向；（ 2 ）EN(c,0,b；（3 ）v2gqHz)H【例 10】 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地， 其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c 和 d，外筒的半径为r0。在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的

5、大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为 q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的 s 点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）。答案： U=mv 2/2q=qB2r20 /2maS【例 11】 如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E（宽度为 L）和匀强dob磁场 B （两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一c带电粒子电量为q，质量为 m（不计重力），从 A 点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回 A 点

6、，重复前述过程。 求中间磁场的宽度 d 和粒子的运动周期。答案：答案： d12mELt22mL7 m2BqqE3qB【例 12】 如图 (甲 )所示， x 0 的区域内有图 (乙) 所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向现有一个质量为m、电量为 q 的带正电粒子，在t 0 时刻从坐标原点 O 以速度 v 沿着与 x 轴正方向成 750 角射入 粒子运动一段时间后到达P 点，P 点的坐标为 (a， a)，此时粒子的速度方向与OP 延长线的夹角为 30 0 粒子只受磁场力作用(1)若 B0B1 为已知量，试求带电粒子在磁场中运动的轨道半径R 和周期 T0 的表达式

7、，(2)说明粒子在 OP 间运动的时间跟所加磁场变化周期T 之间应有什么样关系才能使粒子完成上述运动；;.(3)若 B0 为未知量，那么所加磁场的变化周期 T ，磁感应强度B0 的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动?(写出 T、 B0 应满足条件的表达式)答案 .（ 1 ）T02 m （3 ）q1 BT 2 2 a ( k 2,3, )3(2k 1)vB（2k 1) 2mv02qam 、电量为 q 的正离子，从 A 点正对着圆心 O【例 13】如图所示，一个质量为以速度 v 射入半径为 R 的绝缘圆筒中圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B 要使带电粒子与圆筒内壁碰撞

8、两次后仍从A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间t (设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力) 若碰 n 次从 A 射出又如何？答案：3 Rt3v【例 14】如图，正方形匀强磁场区边界长为a,由光滑绝缘壁围成。 质量为 m、电量为 q 的带电粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界中央的A 孔射入磁场中， 粒子碰撞时无能量损失， 不计重力和碰撞时间，磁感应强度的大小 B，粒子在磁场中运动的半径小于a。欲使粒子仍能从A 孔中反向射出，粒子的入射速度应为多少？在磁场中运动时间是多少？答案：（ 1）Ran0， 1， 2t 2(2n 1) mn 0，1，2(2n1)qB2aBaAv（ 2）

9、R， an 0， 1， 2t 4n(2)mn 0， 1， 24nqB【例 15】如图所示，虚线AB 右侧是磁感应强度为B 的匀强磁场，左侧是磁感应强度为2B 的匀强磁场，磁场的方向垂直于图中的纸面并指向纸面内，现有一带正电的粒子自图中O 处以初速度V0 开始向右运动。从开始时刻到第10 次通过 AB 线向右运动的时间内，该粒子在AB 方向的平均速度？【解析】带电粒子从O 点出发，受到洛仑兹力作用，做圆周运AOv动，经过半个周期后，穿过AB 边界向左飞出，受到大小为原来二分之一的洛仑兹力作，做半径为原来两倍的圆周运动，同0VB样经过半个周期，穿过AB 边界向右飞出，这样周而复始地穿过 AB 边界

10、，形成了如图所示似“舞龙”的完美对称的运动轨;.迹。AB 右侧做圆周运动，半径mv，在 AB 边左侧解析粒子在磁场中只受洛仑兹力得，粒子在r12qB做圆周运动， 半径 r2mv 。如图所示， 当粒子第10 次通过 x 轴的位置和时间分别为x5r1 5 mvqBqBt 5(2 m2 m15 mqB)qB2qB【例 16】如图所示，在半径为 R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0 三个点 P、M 、N 均匀地分布在圆周上，有三对电压相同、相距为d 的平行金属板，它们分别在这三点与圆相切，而且在相切处的极板上分别留有缝隙。一个质量为m，带电量为 q 的粒子，从点 Q由静止开始运动

11、，经过一段时间恰能回到点Q（不计重力） 。（ 1）在图上标出各板的正负极，并分析平行金属板间的电压U 与磁感应强度的大小B 应满足什么关系？（ 2） 粒子从点 Q 出以发又回到点 Q，至少需要多长时间？思路带电粒子在 Q 点受到电场力作用，做匀加速运动，从 N 点飞入磁场，受到洛仑兹力作用，做圆周PP运动，经过 1/6 周期后，穿过 P 点，在电场力作用下，MNMN做减速运动，到极板时速度恰好为零。然后类似前面QQ运动，从 P 点飞出后飞入 M ，双从 M 点飞出后飞入 N点，回到 Q 点，这样重复运动，形成如图所示似“埃菲尔铁塔”的完美对称的运动轨迹。解析三对金属板的正负极，如图所示设粒子进

12、入磁场时速度大小为v ，运动半径为r，根据动能定理，有：qU1 mv 2 。 M 、N 、 P 三点2均匀地分布在圆周上，每一段圆弧对圆心角为120 °，由几何知识可知： r3R 。根据牛顿第二定律，有： qvBm v2r3qR2 B 2由上述三式，可得：U2m（ 3）粒子在磁场中作圆周运动的周期T2 m ，经过三段圆弧所用时间为： t13 1 Tm 。qB6qB设粒子从 Q 点出发到达磁场所用时间T。则：1 qET2qUT 2d2 m2md得 T2 3mdt26T4 3md。粒子在三对平行金属板间经历的时间为：qBR3qBR所以粒子从 Q 点出发又回到Q 点需要的时间为： tt1t

13、 2m43mdqBqBR【例 17】如图甲所示，两块互相平行，水平放置的金属间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场。匀强磁场垂直纸面向里，两板间的电压U随时间而变化，变化情况如图乙所示，已知板长L=1.4m 两 板 间 距 为d=0.3m， 当t=o时 有 一个 a粒 子以速度从两板中央飞入。问；;.1 a 粒子能否穿出金属板？为什么？2若能穿过，需要多长时间？分析：这是一个恒定的磁场和一个断续发生的电场共同作用于运动的带电粒子问题， 由于电场断续存在，这样就存在着两个时间段：一是电场与磁场同时存在；二是只有磁场存在。在区分两种情况，确定带电粒子作何运动后，才能判断带电粒子能否穿出，若穿出，需要多

14、少时间。解答：（ 1 ）先研究电场与磁场同时存在的情况：在电场与磁场同时存在时，a 粒子作匀速直线运动。再研究只存在磁场的情况，由于只受洛仑兹力，a 粒子应作匀速圆周运动，半径大小为R，即得圆周运动的直径：因而粒子作匀速圆运动时不会打到极板上，圆周运动的周期：粒子作匀速圆周运动的周期恰好等于电压变化的半周期。这就是说，在只有磁场存在的那个时间段，粒子作圆周运动，在时间段结束的时刻，粒子回到原处，且速度大小和方向没有变化。根据上述计算和分析可得；粒子的运动轨迹如图所示。（2 ）综上所述，粒子作匀速圆周运动时并不前进，而匀速直线运动的时间与匀速圆周运动的时间相同， n 次后粒子飞出了极板，设粒子作

15、直线运动的时间为。因此，粒子飞出两板间的时刻，正好处在粒子作直线运动的时间段上，因此粒子是匀速直线飞出的。并且粒子在两板间作了3 次匀速圆周运动，故作匀速圆周运动的总时间为：粒子穿过两板间所用的总时间为：;.说明：粒子经过 3 次匀速直线运动，已经前进了 1.21m ，距离右边界还有 0.2m ，这个距离仍然比粒子作匀速圆周运动的半径要大许多， 所以，不会发生粒子在第 3 次作匀速圆周运动中穿出两板间右边界。选讲：车轮线问题：【例 18】当平行板电容器的负极板为一定波长的光所照射时，我们发现这个负极板上有电子从各个方向射出来，电子脱离负极板时速率很小，可以忽略不计。设电容器两极板间的距离为 d

16、 ，两极板间的电势差为 U。求：要使这些电子到达不了正极板，应该施加一个多大的与极板平行的磁场？分析：根据题意可画出题目示意图，如图所示。 解这个题目， 容易犯的错误就是在电子最靠近正极板的p点时，人们会错误认为，在此点电子受到的电场力和磁场力相等，从而列出方程：其实不然，因为在此点，带电粒子作曲线运动，因此合力不为零。也有人认为，电场力和磁场力的合力提供了电子作曲线运动的向心力，即，此式虽然未错，但曲率半径R 未知，亦不可行。下面介绍一种简单的做法。解：设电子到p 点时在方向的速度，根据动量定理可列出（ 1 ）为作用在电子上的沿x 方向的力的平均值；为从开始至到达p 点所需时间，又因磁场力有做功，根据动能定理可列出在 p 点，即：（ 2）又 x 方向作用于电子的力只有磁场力。（ 3 ）联立（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3）式可求得：为 y 方向的平均速度，是到