连续函数及其性质PPT学习教案

1、会计学1连续函数及其性质连续函数及其性质48-2第1页/共72页48-3第2页/共72页48-4第3页/共72页48-5第4页/共72页48-6第5页/共72页48-7第6页/共72页例2.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf第7页/共72页48-9第8页/共72页48-10第9页/共72页例例2.6.7.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数

2、证证明明 xy证),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy第10页/共72页00limsinsin;xxxx00lim coscos;xxxx48-12第11页/共72页48-13第12页/共72页48-14第13页/共72页1.跳跃间断点.的跳跃间断点为函数则称点但存在,右极限都处左,在点如果 )(),0()0()(0000 xfxxfxfxxf 例4.0,

3、 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy第14页/共72页2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例2.6.7.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第15页/共72页),1(f 解,

4、1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx.0为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第16页/共72页如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 xoxy112第17页/共72页例6.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxfoxy解, 0)00( f

5、,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间3.无穷间断点：无穷间断点：如果如果 在点在点 处左、右极限处左、右极限)(xf0 x至少有一个为无穷大，则称点至少有一个为无穷大，则称点 为函数为函数 的的无无0 x穷间断点穷间断点.)(xf第18页/共72页4 4、振荡间断点：如果、振荡间断点：如果 在点在点 处处无极限且函数值在某两个最值间变动无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称无限多次，则称 为函数为函数 的振的振荡间断点荡间断点. .)(xf0 x0 x)(xf第19页/共72页xy1sin ,0处处没没有有定定义义

6、在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf例例2.6.8第20页/共72页o1x2x3xyx xfy 在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型: , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf函数函数第21页/共72页例例2.6.9.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解

7、xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a第22页/共72页例例2.6.10函数函数 在点在点 是否间断是否间断? ?属于那种类型属于那种类型? ?能否补充或改变函数在该能否补充或改变函数在该点定义使之连续点定义使之连续? ?解 函数函数 在点在点 没有定义没有定义, ,所以所以 是函数的间断点是函数的间断点. .对于对于 , .xxysin kx , 2, 1, 0( k)xxysin kx , 2, 1,

8、 0( k)kx 0 k0 x第23页/共72页因为因为 ,所以所以 是第一类间断点是第一类间断点 .令令 ,即可使函数在即可使函数在 处连续处连续.对于对于 ,因为因为 ,所以所以 是第二类是第二类间断点且为无穷间断点间断点且为无穷间断点 . 1sinlim0 xxx0 x1)0( f0 x0 k xxxsinlim0)0( kkx 第24页/共72页48-26第25页/共72页48-27第26页/共72页20,1,lim1,1,1.nnxxxx48-28第27页/共72页1,11,( )1,1,0,11.xxf xxxx 或48-29第28页/共72页48-30第29页/共72页48-31

9、第30页/共72页定理定理2.6.4).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若证证,)(连连续续在在点点auuf .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有时时使使当当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使使当当对对于于 xx第31页/共72页.)(成成立立恒恒有有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使使当当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 第32页/共72页意义意义1.极限符号可以与函数符号

10、互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解第33页/共72页例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 第34页/共72页.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设

11、函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理2.6.5例如例如,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy第35页/共72页48-37第36页/共72页三角函数及反三角函数在它们的定义域内三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的是连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在第37页/共72页定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy

12、xaalog ,uay .log xua ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .第38页/共72页1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有

13、定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注注意意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第39页/共72页例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx第40页/共72页连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定

14、义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.第41页/共72页思考思考题题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.第42页/共72页思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf第43页/共72页等

15、价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证 lim)lim( limlimlim.lim 第44页/共72页48-46第45页/共72页例例2.6.16.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意第46页/共72页例例2.6.17.2sinsintanlim30 xxxx 求求解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx

16、 ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 错 第47页/共72页0()0型48-49第48页/共72页()型(0)型48-50第49页/共72页1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)第50页/共72页可去型可去型第一类间断点第一类间

17、断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第51页/共72页思考思考题题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？第52页/共72页思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2

18、xf在在0 x都都连连续续.第53页/共72页但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续第54页/共72页48-56第55页/共72页48-57第56页/共72页48-58第57页/共72页48-59第58页/共72页48-60第59页/共72页48-61第60页/共72页( )f bbxoya)(xfy ( )f a48-62第61页/共72页48-63第62页/共72页48-64第63页/共72页48-65第64页/共72页48-66第65页/共72页48-67第66页/共72页例例2.6.262.6.26.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第67页/共72页四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区