保守场与势函数ppt课件

1、编辑课件1第六节 保守场与势函数 保守场与势函数的概念保守场与势函数的概念第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分保守场的性质保守场的性质保守场的判别法保守场的判别法全微分方程与势函数的求法全微分方程与势函数的求法小结小结 思考题思考题 作业作业编辑课件2回忆:,( ),( )( ),a bf xF xf x设在上连续 且则有Newton-Leibniz公式( )( )( )( )bbaaf x dx F xF bF a=即只要知道原函数,求定积分就很方便,思考:求线积分是否也有类似的结论呢?保守场与势函数保守场与势函数编辑课件3二、保守场与势函数的概念二、保守场与势函数的概念实例设

2、在坐标原点放有一个电量为 的电荷,q则产生静电场,静电场在每一点的电场强度,即单位正电荷所受到的力,由库伦定理知道,3,4qrEr为介电常数,.rxiy jzk rr容易验证,存在数量场2221,4qurxyzr使得Egraduu 保守场与势函数保守场与势函数编辑课件4说明:向量场E是另一个数量场的梯度.定义1(势函数)设在空间区域中给定一个向量场,F若在该区域上存在一个数量场( , , ),u x y z使得.Fgraduu 则称向量场 为保守场,F函数 为向量场 的势函数(或位函数).uF注意:保守场的势函数相差一个常数.保守场与势函数保守场与势函数编辑课件5二、保守场的性质二、保守场的性

3、质有趣的结论:保守场 的第二类曲线积分F只与起点和终点有关,而与路径无关.定义G12ddLLFsFsB如果在区域如果在区域G内对任意的内对任意的A,B,A,B,及连接及连接A,BA,B的任意曲线的任意曲线, ,有有AL1L21. 平面上曲线积分与路径无关的定义平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.则称曲线积分则称曲线积分dLFs在在G内内与路径无关与路径无关, ,xyO保守场与势函数保守场与势函数编辑课件6定理设D是平面区域(不要求是单连通),在D上给定连续的向量场( , )( , )FP x y iQ x y j则F是保守场的充要条件是F的曲线积分与路径无关.证明:必要

4、性设 是保守场.F化为定积分即可得到结论.保守场与势函数保守场与势函数编辑课件7定义函数定义函数00(,)xy( , )x y(, )xx y00(,)xy经经到到的任意一段路径的积分的任意一段路径的积分.00( , )(,)( , )x yxyU x yPdxQdy00(,),( , ),xyDx yD是 内固定一点 而在 内变动,.U由于积分和路径无关 所以 是单值函数( , ),(, ).x yDxx yD对不妨设,(, )U xx y由于积分和路径无关 所以可看成由( , )x y(, )xx y充分性.设 的曲线积分与路径无关F保守场与势函数保守场与势函数编辑课件8从而有从而有,(,

5、 )( , )(, )( , )xx yx yPdxQdyU xx yU x yxx(, )( , )xx yx yPdxx(, )(, ),01P xx yxP xx yx 0,x 两边令( , ),:P x y由的连续性 有同理可证同理可证:故故0(, )( , )( , )limxUU xx yU x yP x yxx ( , )UQ x yygrad.UF保守场与势函数保守场与势函数编辑课件9结论:从必要性的证明可知,graduFduPdxQdy则BAABABPdxQdyduu推广的Newton-Leibniz公式.保守场与势函数保守场与势函数编辑课件10(1)dd0,CCF dsP

6、xQ yCD对任意闭曲线(3)( , ),dddD Fu x yu FuP xQ y在 内 是保守场,即存在使 grad = ,等价地.,)4(xQyPD 内内在在 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 定理定理在在单连通单连通开区域开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下则以下四个命题四个命题等价等价. .三、保守场的判别法三、保守场的判别法(2),CDF ds在 内 与路径无关 只与起点和终点有关;保守场与势函数保守场与势函数编辑课件11证明证明:(1)(2):(1).设成立12,LLDAB和 是 内以 为起点 为终点的任意两曲线

7、AB1L2L12,LLD那么是包含在 内的一条闭曲线,所以120LLF ds即即12LLF dsF ds 2LF ds(2).即成立保守场与势函数保守场与势函数编辑课件12(3)(4): ddduP xQ y设则则由于由于P,Q有一阶连续偏导有一阶连续偏导,故故( , ),uP x yx( , )uQ x yy2PUQyx yx (2)(3):前面已证.保守场与势函数保守场与势函数编辑课件13(4)(1):(4).设成立1,DD若 是 内任意简单闭曲线所围成的区域为1,DDD由于 是单连通 从而因此1dd()0DQPP xQ ydxdyxy若若是一般的闭曲线是一般的闭曲线, ,可将它分为若干简

8、单闭曲线可将它分为若干简单闭曲线, ,所以沿所以沿D内任意闭曲线的积分等于内任意闭曲线的积分等于0.注意注意:(4)(1),.D从的证明中看出必须是单连通的否则结论不成立保守场与势函数保守场与势函数编辑课件14例1 判断下面的向量场是否为保守场. ()Ff xyij提示: 令0( , )( )x yu x yf t dt保守场与势函数保守场与势函数编辑课件15例例2 计算计算2241cos()2 cos()1LIxy dxyxydyy其中其中(sin ):(1 cos )xa ttLyat上从O(0,0)到A(2 a,0)的有向曲线弧段.保守场与势函数保守场与势函数编辑课件16例例3 计算计算

9、224LydxxdyIxy(,0)cos( ,0).2xLAyB其中 是从沿曲线到的曲线段保守场与势函数保守场与势函数编辑课件171.1.定义定义d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy一阶微分方程一阶微分方程( , )dyf x ydx可以写成可以写成( , )d( , )d0(1)P x yxQ x yy若存在二元函数若存在二元函数( , )u x y使使则称方程则称方程(1)为全微分方程为全微分方程.四、全微分方程及势函数的求法全微分方程及势函数的求法保守场与势函数保守场与势函数编辑课件18因此因此,若方程若方程(1)是全微分方程是全微分方程,即存在即存在

10、( , )u x yd ( , )( , )d( , )d0u x yP x yxQ x yy使则则( , )u x yC是方程是方程(1)的隐式通解的隐式通解.结论结论:若若( , ),( , )P x y Q x y在单连通区域在单连通区域G内内具有一阶连续偏导具有一阶连续偏导,且且则方程则方程(1)是全微分方程是全微分方程.xQyP 保守场与势函数保守场与势函数编辑课件19在保守场中求势函数,即为求二元函数),(yxu使得d ( ,)( ,)d( ,)du x yP x yxQ x yy(也称为全微分求积),则称则称yyxQxyxPd),(d),( 并将并将的的一一个个称称为为yyxQx

11、yxPyxuud),(d),(),( 全微分式全微分式, ,为一为一原函数原函数. .保守场与势函数保守场与势函数编辑课件20 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分别是上面的分别是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函数原函数. .全微分式全微分式. .保守场与势函数保守场与势函数编辑课件21类似于定积分中原函数的性质类似于定积分中原函数的性质,有有:(1) 当曲线积分与路径无关时当曲线积分与路径无关时,00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy( , )d( ,

12、)d,P x yxQ x yy是的一个原函数, d ( ,)u x y 即yyxQxyxPd),(d),( , )( , )d( , )d,x yCP x yxQ x yy显然u(也是的原函数(2)( , )u x y可以利用原函数来计算曲线积分( )( )ABPdxQdyu Bu A(3)dd.P xQ y微分式的任意两个原函数只相差一个常数保守场与势函数保守场与势函数编辑课件22前面已证前面已证:当开区域当开区域G是一个是一个单连通域单连通域, 函数函数P(x,y),Q(x,y) 在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则xQyP 下面说明一般怎样下面说明一般怎样yyxQxyxP

13、d),(d),( ),(yxu在在G内恒成立内恒成立.在在G内为某一函数内为某一函数的全微分的的全微分的充要条件充要条件是等式是等式求原函数求原函数 判断全微分式判断全微分式2.2.势函数的求法势函数的求法保守场与势函数保守场与势函数编辑课件23.d),(d),( yyxQxyxP当起点当起点M0(x0,y0)固定时固定时,.d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu于是原函数可写成于是原函数可写成:上述积分上述积分x, y的函数的函数, 记为记为即即 ),(yxu),(yxu),(yx),(00yx由曲线积分在区域由曲线积分在区域G内与路径无关内与路径无关,M(x

14、,y).设起点为设起点为M0(x0,y0), 终点为终点为M(x,y)此积分的值取决于终点此积分的值取决于终点保守场与势函数保守场与势函数编辑课件24xQyP 若若00( , )(,)( , )( , )d( , )dB x yA xyu x yP x yxQ x yy00( ,)dxxP x yx0( ,)C x y( , )B x y00(, )dyyQ xyyD(x0 , y)0( , )dyyQ x yy0( , )dxxP x yx或或00( , )(,)( , )d( , )dB x yA xyP x yxQ x yy则则Oxy),(00yxA ( , )u x y如何求?取特殊的

15、积分路径取特殊的积分路径!保守场与势函数保守场与势函数编辑课件25例例4问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,解解全平面为单连通域，且成立全平面为单连通域，且成立.xQeyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 222yxexy 因而一个原函数是：因而一个原函数是：yyxexxeyxuyyxyd)2(d )(),(),()0 ,0( yyxeyyd )2(0 xxexd )(00 xyO法一法一(线积分法线积分法) )0 ,(x(x,y)保守场与势函数保守场与势函数编辑课件26这个原函数也可用下法

16、这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出: 222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)( )dd(yxexeyy )(dyxe )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二(凑微分法凑微分法)保守场与势函数保守场与势函数编辑课件27因为函数因为函数u满足满足Pxexuy 故故问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是, xxeuyd )(22xxey )(y 由此得由此得y的待定函数的待定函数法三法三(偏积分法或称不定积分法偏积分法或称不定积分法)uy( )ye x

17、yyxey2 yy2)( 从而从而2( )2 dyy yyC 所以所以,Cyxxeyxuy 222),(保守场与势函数保守场与势函数编辑课件28例例5 验证验证22xdxydyxy在在xoy平面除平面除y的负半轴及原点外的开区域的负半轴及原点外的开区域G内内,是某个函数的全微分是某个函数的全微分,并求其一个原函数并求其一个原函数.保守场与势函数保守场与势函数编辑课件293.3.积分因子积分因子有时,方程( ,)d( ,)d0(1)P x yxQ x yy不是全微分方程, 但若可选出函数( ,)x y使得,存在势函数( ,),u x y且( ,)( ,)( ,)d( ,)( ,)ddu x yx

18、 y P x yxx y Q x yy则称函数 为方程(1)的积分因子.( ,)x y保守场与势函数保守场与势函数编辑课件30例 设有方程222dd0 x xy yxyx dx乘以因子 后,221xy左端便化为全微分,即,222dd0 x xy yx dxxy两边积分后得到原方程的通解为:32223xxyeC保守场与势函数保守场与势函数编辑课件31.1dd32的的通通解解求求方方程程xyxxxy 解解整理得整理得211ddxyxxy 通通解解为为dd112d11Cxexeyxxxx 例例6一阶线性方程一阶线性方程Cxxxyy 4343法一法一法二法二 整理得整理得23()d(1)d0 xxyx

19、xy,1xQyP .是全微分方程是全微分方程保守场与势函数保守场与势函数编辑课件32用曲线积分法用曲线积分法 yxyxxxxyxu0032d)1(d)(),(凑微分法凑微分法 yd yd0)43d(43 xxxyyA.B. )dd(xyyx xx d2xx d30 )(d d d0 原方程的通解为原方程的通解为Cxxxyy 4343xy33x44x0d)1(d)(32 yxxyxx保守场与势函数保守场与势函数编辑课件33不定积分法不定积分法yxxxu 32 xyxx4343 yu yu又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为Cxxxyy 4343C.0d

20、)1(d)(32 yxxyxx),(yCx x 1)(yC23( , )()du x yxxyx保守场与势函数保守场与势函数编辑课件34解解,2)(2xyxyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP )(),(xyyxQ xQyP 积分与路径无关积分与路径无关设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算例例7即即( )2yxxy保守场与势函数保守场与势函数编辑课件35xyO 10d0 x21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由Cxx

21、2)( 0 C知知2)(xx )1 , 1( 法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy保守场与势函数保守场与势函数编辑课件36xyO法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0 1022x 21 设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)

22、(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy保守场与势函数保守场与势函数编辑课件37 LyQxPD与与路路径径无无关关内内在在dd)1( CDCyQxP闭闭曲曲线线, 0dd)2(yQxPuyxUDddd),()3( 使使内内存存在在在在.,)4(xQyPD 内内在在 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条件条件在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下则以下四个命题四个命题成立成立. .五、小结五、小结保守场与势函数保守场与势函数编辑课件381. 用曲线积分法用曲线