变化率与导数数学 优秀详解ppt课件

1、编辑课件1.1 变化率与导数变化率与导数陈 琦编辑课件为什么同样从室温变化到为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有摄氏度，青蛙却有 不不同的反应呢？同的反应呢？编辑课件这是我国的某年的人均收入：这是我国的某年的人均收入：如何判断我国经济发展如何判断我国经济发展情况呢？情况呢？研究丰富多彩的变化率问题研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率问题一：气球膨胀率问题一：气球膨胀率的函数关系：之间）与半径（气球的体积)(dmrLV334rV343)(VVr，半径增加增加到体积从LL10) 1 (，半径增加增加到体积从LL21)2()(62. 0)0() 1 (dmrr

2、)(16. 0) 1 ()2(dmrr)/(62. 001)0() 1 (Ldmrr平均膨胀率)/(16. 012) 1 ()2(Ldmrr平均膨胀率增加单位体积，增加单位体积，半径的改变量半径的改变量问题二：高台跳水问题二：高台跳水105 . 69 . 4)()()(2ttthstmh存在函数关系：时间与起跳后的运动员相对于水高度这段时间里平均速度：在5 . 00) 1 ( t)/(05. 405 . 0)0()5 . 0(smhhv这段时间里平均速度：在21)2( t)/(2 . 812) 1 ()2(smhhv343)(VVr105 . 69 . 4)(2ttth)(xfy 平均膨胀率的

3、增加到体积从LL21里的平均速度这段时间在5 . 00t的到从21xx平均变化率平均变化率12) 1 ()2(rr05 . 0)0()5 . 0(hhv12)1()2(xxxfxf12)1()2(xxxfxf 我们把这个式子称为函数 从 到 的 平均变化率（average rate of change). 习惯上用 表示 ，即 ,类似的 .于是，平均变化率可以表示为 .)(xfy 1x2xx12xx )()(12xfxfy12xxxxy平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义 对任意函数对任意函数 ，做过其上任意两点的割线，做过其上任意两点的割线.不妨以不妨以 为例为例. )(xfy 105

4、. 69 . 4)(2xxxf（几何画板演示）（几何画板演示）研究丰富多彩的变化率问题研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率编辑课件105 . 69 . 4)(2ttth 求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情况.在t=2附近任取一个时刻 .t20t0t这段时间内的平均速度，在时2t2,0t这段时间内的平均速度，在时tt22,01 .139 . 4)2(2)2()2(ttthhv1 .139 . 42)2()2()2(tththv取较小的取较小的 值代入计算值代入计算t 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大

5、于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时时的瞬时速度是的瞬时速度是 13.1m/s. .1 .13,0, 21 .1322lim,0定值趋近于确平均速度时趋近于当表示我们用为了表述方便vttththt思考思考：1、任取某一时刻、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？其瞬时速度怎样表示？tthtth)()(00lim

6、0t2、函数、函数f(x)在在x0处的瞬时变化率怎样表示？处的瞬时变化率怎样表示？ xxfxxflimxy000 xlim0 x一般的，一般的，函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xyxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy 导数的导数的定义定义:具体取无关的与 xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同不相同其导数值一般也不的值有关，与000)(xxxf 导

7、数的几何意义导数的几何意义:（几何画板演示）（几何画板演示）)( )()(lim0000 xfxxfxxfkx 函数函数 在在 处的导数就是切线的处的导数就是切线的斜率斜率 ，即，即)(xf0 xx k 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原原油温度的瞬时变化率油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解: 在

8、第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是)2(f ).6(f 和和xfxf)2()2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42xxxxx所以所以,. 3) 3(limlim)2(00 xxyfxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升.CC一差一差二比二比三极限三极限.053)(. 22处的导数在求例xxxf解法一：解法一： 一差二比三极限一差二比三极限0)0( f解法二解法二： 利用利用导数的几何意义导数的几何意义).0(00fkx 处，