圆周运动--竖直平面内的临界问题

1、专题：竖直平面内圆专题：竖直平面内圆周运动的临界问题周运动的临界问题 解决匀速圆周运动的动力学问题常用解决匀速圆周运动的动力学问题常用牛顿第二定律牛顿第二定律 F=man= 解题步骤：解题步骤： （1）确定轨道平面，找出圆心、半）确定轨道平面，找出圆心、半径。径。 （2）进行）进行 ，找准向心力。，找准向心力。 （3） 由由 列方程求解。列方程求解。mv2/r=m2r受力分析受力分析 牛顿第二定律牛顿第二定律 火车转弯火车转弯外轨外轮内轮内轨内轨内外轨道一样高时内外轨道一样高时( (水平面水平面) )：F 向心力由向心力由外侧轨道对外轮轮缘外侧轨道对外轮轮缘的压力的压力F F 提供。提供。当外

2、轨略高于内轨时（倾斜斜当外轨略高于内轨时（倾斜斜面）：面）： F合合向心力由向心力由mg和和F FN 的合力的合力提供。提供。mgFN缺点：轮子和轨道易受损。缺点：轮子和轨道易受损。GFNFnF合合mgtanrvm2tangrv 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得合力沿合力沿水平水平方向。方向。汽车过拱形桥汽车过拱形桥hmgFNOr解：对顶部，由牛顿第二定律：解：对顶部，由牛顿第二定律：由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：当汽车通当汽车通过桥顶过桥顶时的速度逐渐时的速度逐渐增大增大时时 FN 和和 FN会会减小减小。rvmFNmg2-rvmmgFN2-rvmmgFNFN2 - - FN/ = 0时，

3、当grv 汽车过凹形桥汽车过凹形桥解：对底部，受力分析如图：解：对底部，受力分析如图：hGFN由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：当汽车通当汽车通过桥最低点过桥最低点时的速度逐渐时的速度逐渐增大增大时时FN 和和 FN会会增大增大。由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：rvmmgFN2-rvmmgFN2+rvmmgFNFN2+ 4、航天器中的失重现象mgFN对宇航员：对宇航员：rvmFmgF2Nn-rvmmgF2N-时，当grv FN = 0，宇航员处于，宇航员处于完全失重完全失重状态状态r轻绳模型轻绳模型轻杆模型轻杆模型常见常见类型类型特点特点一、竖直平面内的圆周运动 在最高点时，没有物体支撑，只能产

4、生拉力轻杆对小球既能产生拉力，又能产生支持力问题问题1：绳球模型：绳球模型 用长为用长为L的细绳拴着质量为的细绳拴着质量为m的小球，使小球的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，如图所示。在竖直平面内做圆周运动，如图所示。 oALv1Bv2试分析：试分析：（1）当小球在最低点）当小球在最低点A的速的速度为度为v1时，其绳的张力为多时，其绳的张力为多大？大？（2）当小球在最高点）当小球在最高点B的的速度为速度为v2 时，其绳的张力时，其绳的张力与速度的关系怎样？与速度的关系怎样？v1omgF2mgF1思考：思考：过最高点的最小速度是多大过最高点的最小速度是多大? ? (1)当当F=0时，速度时，速

5、度v为最小值为最小值最低点：最低点：最高点：最高点：LvmmgF211-LvmmgF222+gLv 0v2拓展：物体沿竖直内轨运动拓展：物体沿竖直内轨运动 有一个竖直放置的内壁有一个竖直放置的内壁光滑光滑圆环，其半径圆环，其半径为为R，质量为，质量为m的小球沿它的内表面做圆周的小球沿它的内表面做圆周运动，分析运动，分析小球在最高点小球在最高点A的速度应满足什的速度应满足什么条件？么条件？ vA2:ANvAmgFmR+分析 点mgFNA 明确：明确：向心力和向心加速度公式向心力和向心加速度公式同样适合于变速圆周运动同样适合于变速圆周运动, ,但求质但求质点在圆周上某点的向心力和向心加点在圆周上某

6、点的向心力和向心加速度的大小速度的大小, ,必须用该点的必须用该点的瞬时速度瞬时速度值。值。小结：小结：实例一：水流星实例一：水流星 思考：思考： 在在“水流星水流星”的表演中，的表演中，杯子在竖杯子在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水却不会流下来，为什么呢？杯中的水却不会流下来，为什么呢？ 作圆周运动的物体总需要向心力。作圆周运动的物体总需要向心力。当杯子以速度当杯子以速度v 转过最高点时，杯中转过最高点时，杯中的水受力如图所示。的水受力如图所示。对杯中的水：对杯中的水：GFNrvmFmgF2Nn+由此可知，由此可知，v 越大，杯子

7、底对水的压力越大。越大，杯子底对水的压力越大。时，当grv FN = 0此时水恰好不流出。此时水恰好不流出。 表演表演“水流星水流星”节目的演员，需要保证杯子在圆周运动最高点节目的演员，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于的线速度不得小于grv 即即 grv 思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？实例二：过山车实例二：过山车GFNrvmFmgF2Nn+时，当grv FN = 0 要想保证过山车在最高点不掉下来，要想保证过山车在最高点不掉下来，此时速度此时速度grv 问题问题2：杆物模型：杆物模型： 用长为用长为L的轻杆一端固定着一个质量为的轻杆

8、一端固定着一个质量为m的的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，如图小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，如图所示。所示。 试分析：试分析：（1）当小球在最低点）当小球在最低点A的速度的速度为为v2时，杆的受力与速度的关时，杆的受力与速度的关系怎样？系怎样？（2）当小球在最高点）当小球在最高点B的速的速度为度为v1时，杆的受力与速度时，杆的受力与速度的关系怎样？的关系怎样？ABF3mgF1mgF2v1v2o222vFmgmL-最低点：211+()vmg FmL力最：拉高点213-()vmg FmL支持力0(2)0vgLF当时，思考思考: :过最高点的最小速度是多大过最高点的最小速度是多大? ?何何

9、时杆子表现为拉力时杆子表现为拉力, ,何时表现为支持力何时表现为支持力? ?21101(4),vvvFmmgL-当时 杆对物有向下的拉力21103(3),vvvFmgmL-当时 杆对物有向上的支持力问题问题2：杆物模型：杆物模型：AB拓展：物体在管型轨道内的运动拓展：物体在管型轨道内的运动如图，有一内壁光滑如图，有一内壁光滑竖直竖直放置放置的管型轨道半径为的管型轨道半径为R，内有一质，内有一质量为量为m的小球，沿其竖直方向的小球，沿其竖直方向上的做上的做变速圆周运动变速圆周运动，小球的，小球的直径刚好与管的内径相等直径刚好与管的内径相等（1 1）小球在运动到）小球在运动到最高点最高点的时候的时

10、候速度与受力速度与受力的关系是的关系是怎样的？怎样的？（2 2）小球运动到）小球运动到最低点最低点的时候的时候速度与受力速度与受力的关系又是的关系又是怎样？怎样？GV1(V2)AGF3V3分析：F1F2RRvmFmg211+RvmFmg222-最高点最高点:; 最低点：最低点：Rvmmg233F-思考：小球在最高点的最小速度可以思考：小球在最高点的最小速度可以是多少？什么时候外管壁对小球有压是多少？什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力力，什么时候内管壁对小球有支持力? ?什么时候内外管壁都没有压力？什么时候内外管壁都没有压力？0v（1 1）最高点最小速度）最高点最小速度rg

11、v0（2）当）当时，管壁对小球没有力的作用时，管壁对小球没有力的作用1F时，外管壁对小球有作用力时，外管壁对小球有作用力（3）当）当0VV 2F时，内管壁对小球有作用力时，内管壁对小球有作用力（4）当）当0VV mgOmgON临界问题：临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同，的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同，所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。mgON绳杆mgO轨道管道物体在最高点的最小速度取决于该点所受的物体在最高点的最小速度取决于该点所受的最小合外力最小合外力。例1（

12、99年高考题）如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力abA、B例例2 2 长度为长度为L L0.5m0.5m的轻质细杆的轻质细杆OAOA，A A端有一质端有一质量为量为m m3.0kg3.0kg的小球，如图的小球，如图5 5所示，小球以所示，小球以O O点为圆点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是速率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，则此时细杆，则此时细杆OAOA受到受到（）（）A A、6.0N的拉力的拉力B B、6.0N的压力的压力C C、24N的拉力的拉力D D、24N的压力的压力B如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道轨道ABCDABCD，其，其A A点与圆心等高，点与圆心等高，D D点为轨道最高点为轨道最高点，点，DBDB为竖直线，为竖直线，ACAC为水平线，为水平线，AEAE为水平面，为水平面，今使小球自今使小球自A A点正上方某处由静止释放，且从点正上方某处由静止释放，且从