圆周运动及其描述

1、 在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。好地理解加速度的物理意义。 在运动轨道上任一点建立在运动轨道上任一点建立正交坐标系正交坐标系,其一根坐标轴沿轨其一根坐标轴沿轨道切线方向道切线方向,正方向为运动的前正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。正方向指向轨道内凹的一侧。tenetene切向单位矢量切向单位矢量te法向单位矢量法向单位矢量ne显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化

2、。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。1.3.1 1.3.1 自然坐标系自然坐标系1.31.3圆周运动及其描述圆周运动及其描述ttv ev 由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：此，自然坐标系中可将速度表示为：tv ettsedd由加速度的定义有由加速度的定义有tvddattveddtvtdd e1.3.2 1.3.2 圆周运动的法向和切向加速度圆周运动的法向和切向加速度teod dsnetePtePtetedd nteeddnttteeddddnenRve以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：以圆周运动

3、为例讨论上式中两个分项的物理意义： 如图，质点在如图，质点在dt 时间内经历弧长时间内经历弧长ds，对应于角，对应于角位移位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。作出作出dt始末时刻的切向单位矢，始末时刻的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出极限由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢的增量为情况下切向单位矢的增量为ted即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此teonetePanata 于是前面的加速度表达式可写为：于是前面的加速度表达式可写为：attveddnRve2tvatddRvan2即圆周运动的加速度可分解为两即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：个正交分量

4、：at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度称法向加速度,其大小反映质点速度方向变化的快慢。其大小反映质点速度方向变化的快慢。上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替。代替。ntaaa1tan的的夹夹角角给给出出为为的的方方向向由由它它与与法法线线方方向向attveddnRve2由由22ntaaa222dd Rvtva的大小为的大小为oxy 前述用位矢、速度、加速前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线度描写圆周运动的方法，

5、称线量描述法；由于做圆周运动的量描述法；由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。称为角量描述法。 A：tB：t+ t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作的轨道作圆周运动，如图。以圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的轴为参考方向，则质点的角位置为角位置为 角位移为角位移为 规定反时针为正规定反时针为正平均角速度为平均角速度为t1.3.3圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述角速度为角速度为tt0limtdd角加速度角加速度为为22ddddtt角角 速速 度

6、度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。讨论讨论： (1) 角加速度角加速度 对对运动的影响：运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动；等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。)(22/02022000ttt (2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、的角速度、角位移与角加速度的关系式为角位移与角加速度的关系式为)(22/020

7、22000 xxavvattvxxatvv与与匀变速直线运动的几个关系式匀变速直线运动的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。ROx 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为

8、，则，则A、B间的间的有向有向线段线段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系ABABtt00limlim两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，得到速度与角速度之间的关系：Rv 1.3.4角量和线量的关系角量和线量的关系将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。Ro 在在t 时刻

9、，质点运动到位时刻，质点运动到位置置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t = 0 时，时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。了多少圈。例题例题2 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsnnaa22naaa （2）令）令a = b ，即，即bRbRbtva220)()( （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddt