定积分习题课(带部分解答)（课堂PPT）

1、第五讲 定积分习题课定积分习题课定积分习题课一、内容小结二、题型练习定积分习题课定积分习题课一、内容小结二、题型练习一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积01( )dlim()nbiiaif xxfx 背景背景变速直线运动的路程变速直线运动的路程思想思想化整为零化整为零积零为整积零为整定义定义几何意义几何意义与与x轴所围图形面积的代数和轴所围图形面积的代数和存在条件存在条件闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数闭区间上的有界函数，且只有

2、有限个间断点闭区间上的有界函数，且只有有限个间断点注意注意定积分是一个数定积分是一个数! !定积分仅与定积分仅与被积函数被积函数积分区间积分区间有关，有关， 与与区间分法区间分法i i的取法的取法积分变量积分变量记法记法无关无关一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分可加性可加性线性线性不等式不等式 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()(0)(bxaxf )(0d)(baxxfba )()()(bxaxgxf )(d)(d)(baxxgxxfbaba

3、 )(d)(d)(baxxfxxfbaba ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx 积分中值定理积分中值定理估值定理估值定理)()(bxaMxfm )()(d)()(baabMxxfabmba ,)(baCxf )()(d)(baabfxxfba 一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分换元积分法换元积分法牛牛- -莱公式莱公式( )d( ( )dbaf xxftt ( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a 特

4、点特点: :变量不必回代变量不必回代注意积分限注意积分限换元必换限换元必换限不换元不换限不换元不换限分部积分法分部积分法 ddbbbaaau vuvv u 特点特点: : 边积边代限边积边代限一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分xxfxxftatad)(limd)( 无穷限的反常积分无穷限的反常积分 xxfd)(xxfttd)(lim0 xxfttd)(lim0 apxxd当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1时发散时发散. 无界函数的反常积分无界函数的反常积分

5、xxfxxfbtatbad)(limd)( xxfxxftabtbad)(limd)( xxfbad)( )dcaf xx ( )dbcf xx lim( )dtatcf x x lim( )dbttcf xx d()bqaxxa当当 q1 时收敛时收敛 ; q1时发散时发散. xxfxxfbttbd)(limd)( 定积分习题课定积分习题课一、内容小结二、题型练习定积分习题课定积分习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算二、题型练习二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算用极限求定积分用极限求定积分dbax x 10dxex 用定积分求极限用

6、定积分求极限思路思路01( )dlim()nbiiaif xxfx limnnx关键关键积分限的确定积分限的确定被积函数的确定被积函数的确定u例例1u例例2u补补1u例例3u补补2011lim1nniinn 求求2011limnniinn 求求201limknnkninenne 求求01lim(1)(2)(2 )nnnnnn求求0!limlnnnnn求求二、题型练习二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算二、题型练习二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算积分限积分限方法方法牛牛- -莱公式莱公式换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法特点特点数数注意换限注意换限区间特点区间特点变量不

7、回代变量不回代分类分类普通函数普通函数一个区间一个区间分段函数分段函数多个区间多个区间奇偶函数奇偶函数对称区间对称区间周期函数周期函数无穷区间无穷区间( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题定积分的简化计算定积分的简化计算利用几何意义利用几何意义利用奇偶函数在对称区间上的积分利用奇偶函数在对称区间上的积分利用周期函数在长度为周期的整数倍的区间上的积分利用周期函数在长度为周期的整

8、数倍的区间上的积分u例例4u例例5u补补3u例例6u例例7u例例8u补补4 121sin1dxxx 计算计算21212cosd11xxxxx 计算计算231dxxx 计算计算222cos1cosdxx x 计算计算20cosdnx x 计算计算240sindx x 计算计算01sin2 dNx x 计算计算( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题u例例9u补补5u例例11不换限

9、更方便不换限更方便u补补6u例例10u例例121100(1)d(1)dmnnmxxx xxxx x122012d1xxx 计算计算222220sincosdsincosxxxaxbx 计算计算4sind2xx 计算计算1202dxxx 计算计算2202daxaxxx 计算计算1500(1)dxx x 计算计算( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题u例例13u例例150( )d

10、xf tt 求求u例例14222max ,dx xx 计算计算01sin dx x 计算计算02( )2lkxxf xlcxl 设设( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题u例例17u例例19u补补7u例例18u补补840ln(1tan )dxx 计算计算20lnsin dx x 计算计算244sind1xxxe 计算计算422sind1xxexxe 计算计算20(sin )d

11、(sin )(cos )fttftft 计算计算u例例172002)(sin)(cos)(cos)2(cos()2(sin()2(sin(,2,2dxxfxfxfdxxfxfxfIdxdtxttx则设421)(sin)(cos)(sin)(cos)(sin)(cos)(cos)(cos)(sin)(sin2:20202020IdxdxxfxfxfxfdxxfxfxfdxxfxfxfI所以则( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的

12、定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题u例例202dsinddbaxxx u例例22u补补9u例例21u补补102dsinddbaxxb 2dsinddbaxxa 求求( )Fx 求求( )x u例例23求求( )Fx 求求( )Fx 计算计算324d1+xxtt 计算计算( )()dbaF xf xyy 设设120( )()dxf xtt 设设( )()dbaF xf xtt 设设220( )()dxF xtf xtt 设设( (二二) ) 定积分的计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题( (二二) ) 定积分的

13、计算定积分的计算1简化计算2用换元法计算3分段函数的定积分4某些不易求原函数的定积分5积分上限函数6杂题6 6杂题杂题被积函数为积分上限函数的积分被积函数为积分上限函数的积分u例例24求求0( )df xx u补补11求求120( )dx f xx 0sin( )dxtf xtt 设设411( )d1xf xxt 设设2sinsin)(sinsinsin0)()( )()(00000000dxxdxxxxdxxxxdxxxdxxxxfdxxxfxxfdxxf解：6 6杂题杂题(3) 函数方程函数方程u例例250( )( )cos df xxf xx x 设设u例例26求求( )f x设设212

14、00( )( )d2( )df xxxf xxf xx 求求( )f x6 6杂题杂题(3) 函数方程函数方程u例例252)(2sinsinsin)(,cos)(cos)(,)(101)( 00000 xxfxdxCCxdxxCxCxdxCxxdxCxxCxCxxfxf所以，左边分部积分，得：代入原式，得设解：3234)(32,34)231(2)2238()(2)(,)(, 2)( ,)(2)( 22210220222220 xxxfbababaxxbaxxdxbaxxdxbaxxxxbaxxbaxxxfxfdxxfxxf所以，待定系数法，得代入原式可得：设解：为一实数。计算积分axxdxa,)1)(1 (02数学竞赛数学竞赛4ar