【全国百强校】江西师大附中2021届高三年级测试(三模)文科数学试题

1、【全国百强校】江西师大附中2018届高三年级测试(三模)学校:文科数学试题姓名：班级：考号:则 A/nN=()D. -1,0)D.近框中应填入的条件为()一、单选题1 .已知集合M =卜 y = >/3 + 2x-x21,7V = |x|sinx> 0,A. (0,3B. 3,)C. -1,/r)2 .设更数z 满足(z-i)-(l+i) = 2 "则z.Z ()A. 1B. -C.巫223 .设两条不同的直线，077是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A.若。_L"a_La,则b/aB."a/a,a1(3,则C.若a/a,a/7,则a/RD.

2、若a/b,o_La,6_L/J,则a/J4 .执行如图的程序框图，如果输入的。力,k分别为1,2,3,输出的M="，那么判断A, n<kB. n>kC. n<k + l D. 之女+ 11 Y5 .已知函数/(x) = (决+e，')1117一一1,若f(a) = l,则/(一)=() JL i"人A, 1B. -1C. 3D. -36 .给出下列命题：已知“。>1且人>1''是“出2>1”的充分不必要条件；已知平面向量a,6, “同>1,问1”是“口+5|>1"的必要不充分条件；己知, “标

3、+好21”是“同+网之1”的充分不必要条件；命题使e%之.% + 1且In%一1”的否定为：“Vx0£H,都有使ex <x + l 且 lnx> x-l ”,其中正确命题的个数是（）A. 0B.C. 2D. 37.已知sin71 a4A.7>/2To"B.D. 一也108.已知x, y满足约束条件x-l>0x-y<0若一二的最大值为2,则?的值为（）x+1x+ y-m <0A.B. 5C. 8D. 99.设函数/（X）=111（X+1）,X>0 I/八，若从区间e,e上任取一个实数七, 4表示事件 2 -yx <0叮（与）&l

4、t;1”,则尸（a）二（）A.1B. 2ee-2D.10 .经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间工与数学成绩）'进行数据收集如下：X1516181922V10298115115120由样本中样本数据求得回归直线方程为="+ 4，则点（a,b）与直线x+18y = 100的位置关系是（）A. +18Z? < 100B. 67 + 18Z? > 100C.。+ 1助= 100D.。+ 1妨与100的大小无法确定11 .已知椭圆C：亮+亮=1的左焦点为尸，点尸为椭圆上一动点，过点夕向以厂为圆心，

5、1为半径的圆作切线尸M/N,其中切点为M,N,则四边形PMFN面积的最大值为（）D. 5A. 2>/6B. 714C. JT512 .己知函数/W是定义在R上的奇函数，且当xVO时，/（x） = （x+lX ,则对任意/neR ,函数/（X）= /（/（#） m的零点个数至多有A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个 二、填空题13 .己知函数> =108“（工一机2） + 2恒过定点（3,2）,其中4>0且awl,小,均为正数，则上 +4-的最小值是.m +1 214 .某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为.15 .已知抛物线）尸=81的焦点为尸，过尸的

6、直线交抛物线于46两点，且丽=2丽,则府卜.TT16 . AA5C为等腰直角三角形，A = ,6C = 2,M是A45C内的一点，且满足2ZAMC =亨，则目的最小值为.三、解答题17 .己知数列“的前项和为S”，4>O,q=l,且满足（1）求数列"的通项；（2）求数列为的前项和为18 .某地十万余考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组40,50）,第二组50,60）,第六组90,100,作出频率分布直方图，如图所示：频率朗比（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩；（2）现从及格（60分及以上）的学生中，用分层抽样的方法抽取了 7

7、0名学生（其中 女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认 为数学成绩优异与性别有关？19 .如图，在四棱锥P 中，底面4BCD为菱形，4= 60°,P/ = PD = 40 = 2,M, N分别为线段P C, 4。的中点.（1）求证：AD，平面PNB；（2）若平面J_平面/BCD,求三棱锥P NBM的体机20.双曲线C：； 1二1卜/cT /7一0力0）的焦点分别为:山2立0）,8（2a,0）,且双曲线C经过点P140,2曲.（1）求双曲线C的方程；（2）设。为坐标原点，若点A在双曲线C上，点3在直线了=四上，且6晨。否=0,是点。为圆心的定圆

8、恒与直线A6相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明 理由.21 .已知函数/(x) = olnx-2ov+l.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的入亚1,不等式八月+小七。恒成立，求实数。的取值范围.x = 1 + 2 cos 022 .在直角坐标系入0'中，曲线C： » .八(夕为参数)，在以。为极点，xy = 2 sme轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/sin(a-<9)= 2sina.其中。为直线/的倾斜 角(a。0 )(1)求曲线G的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)直线/与x轴的交点为M,与曲线G的交点分别为AB,求四H网的值.4123.

9、已知函数/(x)=1+一 +工一7，其中6为正实数. ab(1)若a = b = l,求不等式x)K6的解集；(2)若/(x)的最小值为1,问是否存在正实数6,使得不等式。+ 4<16能成立？若存在，求出。力的值，若不存在，请说明理由.参考答案1. A【分析】先化简集合M和N,分别解二次不等式和正弦函数不等式得到M = 1,3,N = " | 2k兀<x< 2女乃+乃, £ z,再由集合的交集的概念求M cN.【详解】由题得-V+2x+3之0,.x22x340,.(x-3)(x+1)«0,.-1KxK3.所以M = -1,3卜由题得N = x 2

10、k亢<x<2k讣兀,kw z.对k赋值为0,得到M cN =(0,3.故答案为A.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，其中也考杳到了二次不等式的解法和正弦函数图像的性质 等知识.2. B【分析】2 i由Z = "；可得z,从而得N，进而可得【详解】2-3/-1 .11.由(Z_，)(l+i) = 2_j,得2=+ / =1.22 2所以 =2 2故选B.【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算，共挽里数的概念，属于基础题.3. D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A,若则或b/a,所以选项A是假命题.对于选项B,若则。A或a与P相

11、交.所以选项B是假命题.对于选项C,若a/a,。/。，则。/4或。与夕相交.所以选项C是假命题.对于选项D,若a/b,a_La,b10,则。/夕，是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考杳空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定 理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接 证明法.4. C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：1 3.3=l+- = ,a = 2,b = ,n = 2,满足条件，继续运行；2 222 g38M =2 +彳=7,4 = 7，/?=；, = 3 ,满足条件，继续

12、运行；3 3233315815is=- + - = ,a = -,b = ,n = 49不满足条件，停止运行，输出故判断 288388框内应填nV4,即nVk+1.故选C.点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般 都可以找到答案.5. D【解析】分析：先化简/（。）= 1得至11（中+ 6-0）11】产 =一2,再求/（。）的值.1-a详解：由题得（，+ ）hi 1 = 1,.（/ + ） In = 2,.（甲+尸）In = 2,1 + 41 + a1-a（/r + ）lii = -2.1-a所以/（。）= （/“+，）111手一1 = 一2-1 = -3.故

13、答案为口1-a点睛：（1）本题主要考杳函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能 力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项，由a>l且b>l今ab>l,反之不成立，例如取a=-2, b= - 3,因此"a>l且b>l”是“ab>l”的充分条件，正确;平面向量31，商|>1，>1,取£=（2, 1）,五=（-2, 0）则E+讣1，因此不成立.反之取,则臼>1不成立，平面向量k；|>b>厂是的既不必要也不充分条件；如图

14、在单位圆x?+y三1上或圆外任取一点P （a, b）,满足“a4b*l"，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|Nl"，在单位圆内任取一点M （a, b）,满足“|a|+|b。”，但不满足，故a斗21是“间+|怩1”的充分不必要条件，因此正确:命题P： “mx（）£R,使夕”之七+ 1且InxoSxo-1"的否定为“："Vx£R,都有 exx+l或lnx>x - 1”,因此不正确.其中正确命题的个数是2.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意 在考查学生对这些

15、基础知识的掌握能力.（2）解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利 用举例法和直接法,要灵活选择.7. D【分析】（7T 5乃）江.，乃）3先通过。e计算出。-二的取值范围，再通过sin。一二=二计算出7171cos a-g的值，最后可以将。转化为a-工+工并使用两角和的正弦公式得出结果.【详解】_ ( 7t 5 71、 因为a e不，TU 4 J7171、八 3因为sin a=- <，所以。一 一,乃, 4 12又 sin，71 a4=1,所以cos a-= k 4 J7t7t 7t. I 7t 7t7t.7tsma = sin a- - + = sin a- cos + cos a-

16、 sm 71714J4J10故选：D.【点睛】 本题考查三角函数的相关性质，考查同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式的掌握 和使用，考查计算能力，属基础题.8. B【分析】 首先画出函数的可行域，再根据目标函数的几何意义确定最优解，建立方程求解加的值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示:fx = 1由得8(1,加一1).x+ y-tn = Oyx+1y-0表示动点(x, y)和点。(一1, 0)连线的斜率，可行域中点8和点。连线的斜率最大,7/7 -11-(-1)=2,/. m=5故选：B【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于中档题型，本题的关键是理解目标函 数的几何

17、意义.9. A【解析】 分析：只要求出不等式f (xo) S的解，利用几何概型的不等式的解集是线段的长度，利用几何概型的概率公式即可得到结论.详解:函数f (x)J/7(X+1)(X> 0)2-r-l(x<0)x£ - e, e,解 f (xo) &得:xo£- 1, e- 1故 P (A)=故选：A.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.(3)几何概型有两个特点：一是无限性，二是等

18、可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这 些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概 率.10. B【解析】分析：由样本数据可得X,y,利用公式，求出b, a,点（a, b）代入x+18y,求出值与100比较即可得到选项.-1 - 1详解：由题意，X=- (15+16+18+19+22)=18, y = - (102+98+115+115+120) =110,55Z*K=9993, 5支了=9900, £x：=1650, n(x)2=5>324=1620> i=li=l .b= 9993-9900一 " 1650-1620 .a

19、=U0-3.1xi8=54.2,;点（a, b）代入 x+18y, .54.2+18x3.1=110>100.即a+18b>100.故答案为B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能 力.11. A【解析】分析：由切线的性质可得S四边影b2x；|FMHPM|=|PM.因此要使四边形PMFN面枳取得 最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF| 取得最大值a+c.由椭圆 Q： + =1a=4, c= J,=1,16 157AF ( - 1, 0).由切线 PM、PN,可得 PM_LMF, PN&#

20、177;FN.S 四边形pxfx=2x517rM卜|”|=仔"1|.因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值,因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+l=5. |PM|=2 y/6 ，四边形PMFN面枳最大值为二2x | x|PM|x MF|=2底.故选：A.点睛：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、勾股定理、三角形的面 枳计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题.12. A【解析】当x<0时，f(x) = (x+l)e',可得/'(工)=(工+2”，可知当工£(一8

21、,2)时，/'(X)<0, 函数单调递减，当xe(2,0)时，/'(力>0,函数单调递增，/(2)= -白，且/(1) = 0 , e ,当XfO时，Xf-8时，y -o ,又/")是定义在R上的奇函数，所以 /(0) = 0 ,根据以上性质可画出函数x<0时的图像，再根据函数时奇函数，可画出x>0 的图像，如图，令f = /(x),则/") = ？，当f£(1,1)时，/(X)= f最多3个交点，即 有3个实根，当fg(L1)时，方程没有实根，而对于任意的7£火，方程/。)=加至多有 一个实根，从而函数尸a)=

22、/(/(x)-m的零点个数最多有3个，故选A.【点睛】本题考查了更合函数零点个数的求解，其中利用导数可求得函数的图像，以及图像 的分析，综合性非常强，这类问题一般首先将内层函数换元，将更合函数化为简单函数，然 后求换元后简单函数的零点，最后根据第二步零点的范闱转化为内层函数的值域，进而确定X的个数.413. -3【解析】 分析：由函数图象过定点得到m+2n=2,根据均值不等式求出代数式的最小值即可.详解：由题意得：3-m-2n=l,L+工故 ni+2n=2,即(m+1) +2n=3,m + 2/z13131 1 (+ )(m+1) +2nI ni +1 2/z2/7 m +1 、-(1+1)；

23、 m +1 2n4=，3当且仅当m+l=2n时“二”成立,4故答案为：y.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件： 一正二定三相等.一正：关系式中, 各项均为正数：二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等: 含变量的各项均相等，取得最值.10014, 713【解析】 由三视图可得该几何体为正三楂柱，其中底面为正三角形，边长为4,棱柱的高为力= 2j3设几何体外接球的半径为广，则有产=（夕+ （$2面+ （|x2拘2 =个所以外接球的表面积为S = 4万产=竺了.100乃答案：3点睛：（1）由三视图还原直观图的方法 还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.注

24、意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线.想象原形，井画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视 图比较，通过调整准确画出几何体.(2)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等 于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.15. 6.【解析】易知抛物线y? = 8大的焦点为尸(2,0),准线为x = 2.如图，取A尸的中点为C,分别过作准线的垂线，垂足分别为由抛物线的定义可知，=忸N|=|5F|,则|A"| 二 2忸N设忸N| = a，则 1AMi = 2。,又归目=4,所以|CQ| = 8-,又|PF| + |AA/|

25、= 2|CQ|,即4+2a = 2（84）,解得 =3.所以而=2x3 = 6.16. 75-1=1,所以点M在以【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C(Jl0),设M(x,y),因为ZAMC = J ,所以4为圆心，1为半径的圆上，旦在ABC内部,所以|MB|的最小值为“¥一0尸+ （_¥一&）2-1 = 6一1.故答案为"-1点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力 和分析推理转化的能力.（2）本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系

26、，其二是求出点 M的轨迹方程（x 乎）2 + （y +, =1.17. =12,（h>2）：（2）4=（T）2 +1【解析】分析：（1）先化简己知，再用项和公式求出数列%的通项（2）利用错位相减法求数列6的前项和为，.详解： S：-2aM+ = %+£-2姬”，.（S”+2q,）（S%） = 0,。” > 0, Slt - all+1 = 0,即 S = an+l ；当 =1时，d = 1,当之2时，S = aan = S, - Si =。+1 - an all+l = 2alt,=1,生=1,不满足上式，所以数列q是从第二项起的等比数列，其公比为2；1,（ = 1）所以

27、a =4'加以”12't,（之2）.（2）当 =1 时，7 = 1,当22时，7； =1 + 2x20 + 3x2 + x2”y,2 =1x2 + 2x+ 3x22 +x2"-】，1 _. 7； = 1 + 21 + 2? + + 2-2 _ x 2t = 2'i“1-2.7；=（T）2i + l点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知s” =/(%)或S. =/()的关系，可以利用项和公式4=。，、小，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中%,(之2)，不能合在一起18

28、. (1) 67； (2)见解析【解析】分析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)根据分层抽样原理计算从这四组中分别抽取的人数，填写列联表，计算观测值，对照 临界值表得出结论.详解：(1)根据题意，计算平均数为X =(45x0.01+55x0.02 + 65x0.03 + 75x0.025 + 85x0.01+95x0.005)x10 = 67：(2 ) 60,70),70,80),80,90),90,100四组学生的频率之比为:0.3:0.25:0.1:0.05 = 6:5:2:1 ,按分层抽样应该从这四组中分别抽取35,25,10,5人，K2 =nad -bey(o + b)(

29、c + d)(4 + c)( + d)_ 70(4x33-32xl 一_36x34x5x65«1.76 <3,841,依题意，可以得到下列2x2列联表：男生女生合计优异415一般(及格)323365363470对照临界值表知，不能有95串的把握认为数学成绩优异与性别有关.点睛：独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2x2列联表；(2)根据公式K2 = - '山7T计算K?的值；（3）查表比较K?与临界值的大小关系,（a + b）（a + a ）（a + c）（b + d）作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结 论也可能犯错

30、误.）19. （1）见解析；（2） |【详解】试题分析：（1）欲证/D _L平面PNB,只要证PN_L/D、BN_L/O即可，由等边三角形性及菱 形的性质可证PN_L/O、BN _L/D； （2）利用等体积转换的方法求解，即/.nmb = %1.pnb， 求出三角形PNB的面枳及M到平面PNB的距离即可求体积.试题解析：（1）了/=2。,'为/。的中点，2'_1/。，（2分）:底面/BCD 为菱形，Z.BAD = 60°, ：.BN LAD 9 （4分）:PN CBN = N,平面 PNB （6 分）（2） :PN = PD = AD = 2,:.PN = NB =疗

31、，（7 分）平面 P/D J_ 平面/BCD,平面 P/Dn 平面/BCD =/D, PN LAD,，PN，平面ABCD, （8 分）:PN LNB,SAPNB = |xV3xV3 = | （9分）:4D _L平面PNB/DBC,，平面PNB.（10 分）;PM = MC . ； Vp_NRM = Vm-pnb = 1 c-pnb = 3x?x*x2 = 1.（12 分）【考点】1 .线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的判定与性质；3.多面体的体枳.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、多面体的体枳，属中档题：证明 面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂

32、直得到，但由面面垂直得到线面 垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误.求几何体的体积的方法主要有公式 法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法.20. （1） - = 1； （2）存在定圆/+寸=4与直线A5相切44【解析】分析：（1）由题意布列关于a, b的方程组，解之即可；（2）设点48的坐标分别为（小,儿）,（a），其中%>2或/<2.当儿时，直线A6的方程为（，。一，）工一（工。一>/3）丁 +以0-&%=0,若存在以点。为圆心的定圆与A8相切，则点。到直线AB的距离必为定值.设圆心。到直线AB的距离为d,则d=I 、, J，结合题意易

33、得其为定值.详解：（1）点网4a,2"）在双曲线C上.= 1，b2=S-a2代入去分母整理得：/ 68标+ 32x8 = 0,解得。2=4,=4所求双曲线C的方程为工一二=1 ; 44（2）设点48的坐标分别为（小,儿，其中>2或<2.当儿工，时，直线A6的方程为）'='°工卜_&），玉）一 V即（）'o _ f ） X _ （ X。_ & ） ）' + 仪。_o = 0，若存在以点。为圆心的定圆与AB相切，则点。到直线AB的距离必为定值.氏_打。|此时直线45与圆片+ V = 4相切,当儿=，时，/=一7夕，代入

34、双曲线C的方程并整理得：产一2产一8 = 0 ,解得：t = ±2 .此时直线A6:y = ±2,也与圆V + y2=4相切.综上得存在定圆£ +尸=4与直线AB相切.点睛：(1)圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、 圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思 想、分类讨论思想的考查.(2)求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. (1)见解析；(2) a<l【分析】分析：(1)求出函数的导数，

35、通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可：(2)设g(x) = /(x) + ei问题转化为求g。0mm之0,通过讨论a的范围，求出g(x)的最 小值即可.【详解】w、 a(l-2x)广(加二 )当 a>0时，令 /'(x) > 0 => 0 < x < ,/"(%) < 0 => x > 221 1所以此时/(X)在区间0,-递增，于+8递减；当<0时，令/,(x)>0>x>-,/,(x)<0=>0<x< -, 2/1/1 所以此时/(X)在区间5,+8递增，0,不递减；(2)令

36、g(x) = f(x)+e1 =alnx-2ax+l+ei, x>l,g(<x) = - -2a + ex:. g，(x) = 3-24 + e'T , XX令/?(x) = -2n + ev_1,/7z(x) = ；-， .XX令G(x) = 一。，显然e(x)在X21时单调递增，”(x)之 0(1) = 1-a ；当4 < 1时，°(X)之。之O,"(X)> 0,(%)在1，+8)上递增，所以(X)之(1) = 1-。>0,则，(x)之0,二遭。)在L+8)上递增,.,.g(x)Ng(l) = 2 - 2aN0,此时符合题意；当a>l时，。<0,此时在1,+8)上存在/,使°(x)在(1,小)上值为负，此时 “(X)<0, a(x)在(l/o)上递减，此时(X)<力(1) = 1-4 &l