【压轴题】高一数学上期末试题及答案

1、【压轴题】高一数学上期末试题及答案一、选择题2 .1 .已知f(x)在R上是奇函数，且 f(x 4) f(x)，当x (0,2)时，f(x) 2x ,则f(7)A. -2B. 2C.-98D.982 .已知 a=2<3, b=40.7, c=log38,则 a, b, c 的大小关系为()A. ac bB. bc aC.cabD.cb a一,13 .已知a 10g 2 e, b ln2, c log 1 -,则a, b, c的大小关系为2 3A abcB. b a cC. c b aD. c a b4.已知奇函数yf（x）的图像关于点（,0）对称，当x 0,）时，f （x） 1 cosx

2、,22一 5一 一一一，、，则当x (5,3 时，f(x)的解析式为()2A. f (x)1 sin x b, f (x) 1 sin xc. f (x)1 cosx d, f (x) 1 cosx)D. c a bd. y = / + i5 .设 a 10g63,blg5 , c 10g147,则 a,b,c的大小关系是A. a b cB. a b cC. b a c6 .下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A,，=而/b, y = siiiAc. y = Inx7 .若 Xo=cosxo,贝U ()d. xoe(0, 一)68.对数函数y => 0且H=1）与二次函数丫 = （口

3、-1）*2-4在同一坐标系内的图象可能是（）9.设函数f X是定义为R的偶函数，且x1f x 2 f x 2且当x 2,0时，f x 11,若在区间2,6内关于x2的方程f x loga x 20（a 1恰好有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A. 1,2B, 2,C, 1,V4D, 3/4,210 .函数f x是周期为4的偶函数，当x 0,2时，f x x 1,则不等式xf x 0在 1,3上的解集是（）A. 1,3B.1,1C.1,0 U 1,3 D.1,0 U 0,1c.1 .11 .若不等式 x2 ax 1 0对于一切x 0,-恒成立，则a的取值范围为25A. a 0B. a 2

4、C. a -D. a21 212.函数f x-x2 2ln x 1的图象大致是()2、填空题13.已知函数f x满足2f一 x 1f1 x ,其中x R且x 0,则函数f xx的解析式为C_2 _14.如果函数y m 9m 19 x m m是募函数，且图像不经过原点，则实数 m .2 一一15. a 1.1, b log1，c ln2,则a, b, c从小到大的关系是 .2 216.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x（单位：=匚）满足函数关系¥二产”（*=2_718为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在 0C的保鲜时间设计192小时，在22匕的保鲜时间是48小时，则

5、该食品在 33匕的保鲜时间是一小时.17 .函数yxx2 1sin x 2的最大值和最小值之和为(a18 .已知函数f(x)2)x,xx1,x2 ,满足对任意的实数Xix2 ,都有f(x1) f(x2)x1 x20成立，则实数的取值范围为19 .已知 f (x)sinf(xx (x 1)(x0)0)1120.已知二次函数,对任意的x R，恒有f x 2fx 4x 4成立，且f 00.设函数g x f x m m R .若函数g x的零点都是函数h x f f x m的零点，则h x的最大零点为三、解答题3x 121 .已知函数f(x) 3一1 .3x 1(1)证明：f(x)为奇函数；(2)判断

6、f(x)的单调性，并加以证明;(3)求f (x)的值域.22 .已知函数 f(x) log2(3 x) log2(x 1).(1)求该函数的定义域；(2)若函数y f (x) m仅存在两个零点x,x2,试比较x x2与m的大小关系.23 .已知定义在 0, 上的函数f x满足f xy f x f y , f 20201 ,且当 x 1 时，f x 0.(1)求 f 1 ;(2)求证：f x在定义域内单调递增；(3)求解不等式f Jx2 2019x1.2 Qx24 .已知函数f(x) 3L是定义域为R的奇函数.m 3x 1(1)求证：函数f (x)在R上是增函数；21(2)不等式f cos x

7、asinx 3 一对任息的x R恒成立，求实数a的取值氾围 2225 .已知哥函数f xxmm Z为偶函数，且在区间 0,上单调递减.(1)求函数f x的解析式；(2)讨论F x ajf x b 的奇偶性.a,b R (直接给出结论，不需证明) xf x26 .已知函数 f x loga 1 x loga x 3 0 a 1 .(1)求函数f x的定义域；(2)求函数f x的零点；(3)若函数f x的最小值为 4,求a的值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题1. A解析：A【解析】f(x + 4) = f(x) ,，f(x)是以 4 为周期的周期函数，f(2 019) =f(504

8、 X4+3) = f(3)=f( 1).又 f(x)为奇函数，f( 1) = f(1) =-2X1 2=- 2,即 f(2 019) =- 2.故选A2. C解析：C【解析】【分析】利用指数函数y 2x与对数函数y log3x的性质即可比较a, b, c的大小.【详解】Qc 10g38 2 a 21.3 b 4°.7 21.4,cab.故选：C.【点睛】属于基础题.本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力,3. D解析：D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果 详解：由题意结合对数函数的性质可知：a1og2 e 1, bIn 21og2e

9、°,1,1c log 1 一 23log 2 3据此可得：c a本题选择D选项.b.但很多时候，因点睛：对于指数哥的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性, 哥的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方 法.在进行指数哥的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根 据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数哥的大小的比较，利用图象法 求解，既快捷，又准确.4. C解析：C【解析】 【分析】5当x5,3时，3 x 0,-，结合奇偶性与对称性即可得到结果22【详解】 因为奇函数y f x的图像关于点 一,0对称，所以f2

10、x f x ,故f x是以为周期的函数x 1 cos 3 x 1 cosx5当x ,3 时，3 x 0,，故f 322因为f x是周期为 的奇函数，所以f 3 x5 _故 f x 1 cosx,即 f x 1 cosx, x ,3 2故选C【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题5. A解析：A【解析】【分析】x 构造函数f x log x ,利用单调性比较大小即可 .2【详解】x1构造函数f x log x - 1 logx2 1 ,则f x在1, 上是增函数,2log 2x又 a f 6 , b f 10 , c f 14 ,故 a b c.故选

11、A【点睛】 本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题6. A解析：A【解析】由选项可知，艮C项均不是偶函数，故排除B.Q H内项是偶函数，但D项与x轴没有交点, 即D项的函数不存在零点，故选 a.考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.7. C解析：C【解析】【分析】画出yx cosx ,利用零点存在性定理，判断出f x零点比所在的区间【详解】画出yx, ycosx的图像如下图所示，由图可知,两个函数图像只有一个交点，构造函cosx, f 费 0.5236620.8660.343 0,x, y cosx的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数5 0.7

12、85 0.707 0.078 0 ,根据零点存在性定理可知，f x的唯一2零点刈在区间本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数 形结合的数学思想方法，属于中档题.8. A解析：A【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求 解，得到答案.【详解】由题意，若则1y = lug在+回上单调递减，又由函数y =(4-=入开口向下，其图象的对称轴2(fl- 1)在/轴左侧，排除C, D.若tl A 1,则内 加电便在+ 8)上是增函数, 函数y =(1),2 一 ,图象开口向上，且对称轴 丈=工( 在,轴右侧，因此B

13、项不正确，只有选项 A满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函 数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力，属于基础题.9. D解析：D【解析】.对于任意的xCR,都有f(x-2)= f(2+x),.函数f(x)是一个周期函数，且 T=4.x1又当x -2,0时,f(x尸 1 -1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数，2若在区间(-2,6内关于x的方程f xloga x 20恰有3个不同的实数解,则函数y=f(x)与y= loga x 2在区间(-2,6上有三个不同的交点，如下图所示:又 f(-2)=

14、f(2)=3 ,则对于函数y= loga x 2 ,由题意可得，当 x=2时的函数值小于 3,当x=6时的函数值大于3,即 log4<3,且 log8>3,由此解得：3/4<a<2,故答案为(34 ,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解10. C解析：C【解析】若 x 2,0,则 x0,2,此时 f( x)x 1,Qf(x)是偶函f(x)x 1f(x),即 f(x)x 1, x 2,0若 x2,4,则x 4 2,0,.函数的周期是4,f(x)f(x4)(x4)1 3x,x 1,2x0即f(x)x 1

15、,0x2 ，作出函数f(x)在1,3上图象如图，3 x,2x4若0< x 3,则不等式xf(x) >0等价为f(x) >0 ,此时1<x< 3,若10x&0 ,则不等式xf(x) >0等价为f(x) <0 ,此时1<x<0 ,综上不等式xf(x) >0在1,3上的解集为(13) ( 10).故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用 数形结合是解决本题的关键.11. C解析：C【解析】【分析】【详解】o1,x2 ax 1 0对于一切x 0-成立，2“，x2 1 ,1 ,则等价为a?对

16、于一切xC (0,万)成立，即a?-x-1对于一切xC(0, 1)成立， x2设y=-x- 1,则函数在区间(0,-上是增函数 x2.-x-1<-1-2= x 22故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若f(x) 0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min 0,若f0恒成立，转化为f(x)max 0；(3)若 f(x) g(x)恒成立，可转化为 f(xm) g(x)max.12. A解析：A【解析】函数有意义，则：x 1 0, x 1 ,1 2由函数的解析式可得：f 0 02 2ln 0

17、 1 0,则选项BD错误；22且 f 11-2 1nl 11 故答案为：f x -（x 1）. x 1【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用1n111n4 0,则选项 C错误；222284 8本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势. （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.二、填空题13.【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详 解】由题意用代换解析式中的可得（

18、1）与已知方程（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函11斛析：f x（x 1）3 x 1【解析】【分析】x 1 x 1用x代换x ,可得2 f f 1 x ,联立方程组，求得xxx 11fx ,再结合换元法，即可求解 .x 3【详解】x 1 x 1由题意，用 x代换解析式中的x,可得2 f f1%，.（1）xxx 1 x 1与已知方程2f f1 x,（2）xxx 11联立（1） （2）的方程组，可得 fx,x3. x 1111令t ,t 1,则* =,，所以ft 1,xt-13t 1，11所以 f x（x 1）.x代换x ,联立方程组，求得3 x 1x

19、是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属x 3于中档试题.14. 3【解析】【分析】根据幕函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的 符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幕函数所以即所以所以或当 时其图象不过原点符合题意；当时其图象经过原点不合题意综上所述：故 解析：3【解析】【分析】根据哥函数的概念列式解得 m 3,或m 6,然后代入解析式，看指数的符号，负号就符合，正 号就不符合.【详解】_2_因为函数y m2 9m 19 x是哥函数,所以 m2 9m 19 1 ,即 m2 9m 18 0,所以(m 3)(m 6)0,所以m 3或m 6,12当m 3时，f(x

20、) x ，其图象不过原点，符合题意；当m 5时，f (x) x21,其图象经过原点，不合题意.综上所述：m 3.故答案为:3【点睛】本题考查了募函数的概念和性质，属于基础题.15.【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的 取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函 数的运算公式及性质可得且所以 abc从小到大的关系是故答案为：【点睛 解析：b c a【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b,c的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得a L10L10 1,由对数函数的运算公式及性质，可

21、得b log 1-2 log 1 (1/ -,2 22 221c ln 2 ln /e 一，且 c ln 2 ln e 1,2所以a, b, c从小到大白关系是b c a.故答案为：b c a.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a,b,c的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题由题意得：所以时考点：函数及其应用16. 24【解析】解析：24【解析】由题意得:beI 22 ke1924822k481 11k 1e ，e1,所以x 33时,192 4233 k by e11k 3(e )1192 2

22、4.8考点：函数及其应用17. 4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与 最小值的和即可【详解】v函数设则是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质：的最小值为又；故答案为:解析：4【解析】4【点睛】本题主要考求出y-3x sinx,则g x是奇函数，设出 g xx 1的最大值 M ,则最小值为M ,-sin x 2的最大值与最小值的和即可1.函数yx sin x 2 , x21x -.设sin x1是奇函数,根据奇函数图象关于原点对称的性质，x的最小值为M ,又 ymax2gx max 2 M ,ymin ymaxymin 2 M 2 M 4 ,故答案为：4

23、.【点睛】x本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出g xsin x的奇偶性以及x2 1最值是解题的关键，属于中档题 .18 .【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数;函数故计算得出:点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：（1）若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段解析：,138【解析】若对任意的实数x10成立,f(xi) f(x2)x2都有x1 x2则函数f （x）在R上为减函数,(a 2)x,x 2函数 f(x) 1 x1,x 22a 2 0故2(a 2)计算得出：a138点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下

24、两点：（1）若函数在区间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围19. 0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为 则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题 解析：0【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解因为f (x)sin x (x 0)f (x 1)(x 0),11则 f()11T)吟 f(5)f( 66)2,11,11所以 f (3)f (-6) 0.【点睛】本题

25、主要考查了分段函数求值，属于中档题.20. 4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得 从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在 和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点 解析：4【解析】【分析】从而得到采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得a,b,代入f 00求得c,f X解析式，进而得到g x ,hg xq；设xo为g x的零点，得到h xq关于m的方程，求得3两种情况下求得hx所有零点，从而得到结果.【详解】ax2 bx4a4a2b4x设xo为g即m2当m4xx的零点,4m m0时解得:xqxq4x2 xq4x

26、4x的所有零点为0,2,42ax4%2 xo4xbx4x04x4x4ax4a2b4x 42 xo4xQ当m2x 4x4x4xx2 4x 1的所有零点为1,3,23综上所述：h x的最大零点为4故答案为：4【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的 应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式 的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量三、解答题21. (1)证明见详解；(2)函数f(x)在R上单调递，证明见详解；(3) ( 1,1)【解析】【分析】(1)判断f(x)的定义域，用奇函数的定义证明可得答案

27、;(2)判断f(x)在R上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案;(2),3x 121V一 2 一由f(x) J1二J,可得3x>0,可得忘J及3x 13x 13123x-的取值范围，可得1f (x)的值域.【详解】证明：(1)易得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,2 xx且f(x) 3 了- f (x),故f(x)为奇函数;3131(2)函数f(x)在R上单调递增，理由如下：1>0 ， 3x21>0 ，在 R 中任取 x1< x2 ,贝U 3天-3x2 < 0，3x1一3x1 1 3x2 1可得 f(x1) f(x2) x (1 3x113x2122-T

28、-) (1 -)3、13x2 12(3x13x2)<0(3x 1)(3x21)故f (x1) f(x2)<0,函数f (x)在R上单调递增;(3)由 f(x)3x 13x 121 ，易得 3x>0, 3x+1>1,3x 1,2_2,3x 1故 0<<2, -2<-<0,故-1 <13x13x 1故f(x)的值域为(1,1).【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档 题.22. (1) ( 1,3)(2) x1 x2 m【解析】【分析】(1)根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域

29、(2)化简f x表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得Xi X2以及m的取值范围，从而比较出 xi X2与m的大小关系 【详解】，、一3x0(1)依题意可知1 x 3,故该函数的定义域为(1,3)；x 1 0(2)f(x) log2( x2 2x 3) log2( (x 1)2 4),故函数关于直线x 1成轴对称且最大值为10g2 4 2,x1 x2 2, m 2, . . x x2 m.【点睛】1,0 U 2019,2020本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题23. (1) 0; (2)证明见解析；(3) x(1)y 1，代入即可

30、求得 f 1 ；任取X2X10,可确定 f X2fx1f上 0,根据单调性定义得到结论;X1(3)利用f ,20201将所求不等式变为f2019x2域和函数单调性可构造不等式组求得结果【详解】V2020 ,结合定义(1)任取x2x1Q X2x2x1x1X2X1x1f x1x1f上X1X2x1X2X10,即x2x1x在定义域内单调递增(3)Q f 2020 f、2020f .2020f . 202012019X2, 2020由(2)知f x为增函数x2 2019x、x2 2019x,.2020解得：x 1,0 U 2019,2020【点睛】本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的

31、问题；关键是能够通过单 调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比 较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误 24. (1)证明见解析(2)4 a【解析】【分析】(1)先由函数f(x)为奇函数，可得m 1,再利用定义法证明函数的单调性即可;(2)结合函数的性质可将问题转化为 不等式恒成立问题求解即可 .【详解】一 2sin xasin x 3 0在R上恒成立，再利用二次解：(1)一，3x 1:函数f (x) x- m 3是定义域为R的奇函数,f( x)f(x)3x3x 1(a 1)3x0,等式(m1)3x 10对于任意的3x3x3x 1m 3x 1 &

32、#39;R均恒成立,x则 f (x)313x 1即 f(x)设x ,“为任意两个实数，且x1x2f x1f x223x112 3x13x113x2x2,则 3x1所以fx1f x20,即x1因此函数f (x)在R上是增函数；(2)由不等式f cosa sin x1一对任意的2x R恒成立,贝U f cos2 x asin xf (1).由(1)知，函数f (x)在R上是增函数,2cos x asin x 31,即 sin2x asin x 320在R上恒成立.令sin x t,当所以1,1,则 g(t) t2 at 320在1,1上恒成立.4ar_ 一，1时，即a 2,可知24 a 2；g (t)ming(1)一aa