一元二次方程题型归纳

1、一元二次方程的解法1. 一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一 元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式为aK+bx+cnOgWO),其中ax?叫做二次项，。叫做二次项系 数；队叫做一次项，b叫做一次项系数；C叫做常数项.一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式 分解法。方法适合方程类型注意事项直接开平方法(x+a) 2=bb20时有解，b<0时无解。配方法X2+px+q=0二次项系数若不为1,必须先系数 化为1,再进行配方。因式分解法方程的一边为0,另一边分解成两 个一次因式的积。方程的一

2、边必须是0,另一边可用 任何方法分解因式。公式法Ax2+bx+c=0(aW0)b2-4ac20时，方程有解：b2-4ac<0时，方程无解。先化为一 般形式再用公式L用直接开平方法解一元二次方程直接开平方法适用于解形如(x+h)、m的方程(1) x2-16 = 0(4)4x2-25 = 0(2)(1+x)2-2 = 0(3)25x2-16 = 01 1) (l-x)2 = 1(3)(2x+1)2+3 = 0(4)x2 2x+l= 4.2 .配方法的一般步骤是：牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”.（1） （方程两边同除以二次项系数，团将二次项系数化为1： （2）移项

3、，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，目方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一 个常数的形式：（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程.（2）用配方法解下列方程: 例题：3x2-6x+4=0(1) 10x2-x = 0(2 ) 4(x + 2) = 2(2 + x) x2-10x+24=0(2)x2-8x+15=0 x2+2x-99=0(4)y2+5y+2=O；(5) x2-8x+1=07(6) x2+10x+9=0(7) x2-x-=O(8) 4x2-6x-3=04(9 ) 3x2+6x-4=0(10)2x2+1=3x(11

4、) x2+4x-9=2x-11(12 ) x(x+4)=8x+123、用因式分解法解方程因式分解法的步骤是：方程右边化为0,左边化为两个因式的积，每一个因式等于0,解这两个一元一次方程。(3 ) x2 +3x + 2 = 0(4)x28x + 15 = 0(5)x2+4x-21 = 0(6)2x2+9x + 7 = 0(7) x2+2x+63 = 0(8) -%23x + 54 = 0用十字相乘法解下列一元二次方程(1) x2+3x + 2 = 0(2)x2-13x + 36 = 0(3)x2-7x=18(4)3x2+llx-20=0(5)x2+18x + 81 = 04、用因式分解法解方程(

5、通用的方法)一 + J - 44c用一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式x= 一吟(b2-4oc0),这种解一元二次方程的 2a方法叫做公式法.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正 确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出从一4"的值，当从一4ac2。时，代入公式求出方程的根；当 从一4acV。时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的根的判别式A=b2-4acoA。时，方程有两个不相等的实数根。=0时，方程有两个相等的实数根。时，方程没有实数根。例1:把方程(*

6、+ 3)(3*4)="+ 2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。练习1:将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项.(l)2x2=3x+5(2)(x+l)(x-l)=l(3)(x+2)2-4=0(4) x+1) 2-2 (x-1) =6x-5(5) (2x+l) (4x-2) = (2x-l) 2+2(6) (x+3) (x-4) =-6例2：不解方程，判断下列方程的根的情况:2x2+3x-4=0练习2：不解方程，判别下列方程的根的情况:(1) 2x2 -3x + l = 0(2) 4/+9 = 12y(3) 5(/+3)-6工

7、=0(1) 2x2 + 4x + 35 = 0；(4) 4(/ + 0.09) = 2.4y；(2) 4m (m - l) + l= 0;(5)- f2 = /3x;(3) 0.2x2-5 = yx;(6) 2t=练习3：用公式法解下列方程：(l)x2-2x+l=0(2)x(x+ 8) = 16(3)x2-x=23(4)0. 8x2+x=0. 3(5)4x2-1=0(6)x2=7x(7)3x2 + 1=2V3x(8)12x2+7x+1=0元二次方程根与系数的关系一元二次方程+ h+c = o m w 0)的两个根为:-b + Jb2 -4ac -b - Jh2 -4acx =,x =2a2a所

8、以： x1 +x2-b + jb2 - 4ac + -匕-八2 - 4ac2a-b + Jb2 - 4ac=一万一-b - yjlr -4ac (/?)2 - (y/b2 -4ac)2 4ac2a(2a)24c/定理：如果一元二次方程，滔+公+ c = 0(aH0)的两个根为王,马,那么:说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定 理.上述定理成立的前提是2().1 .请完成下面的表格:方程一次项系数常数项两根玉、工2的值两根的和士+马两根的积占04x2-2a-3 = 0x2 +5x + 6 = 02、不解方程，求下列方程两根的和与积- -3x

9、+ l = 02x2 +3x-5 = 0 ®x2 -5 = 3x2+xx(x-2) + l=0【例1】3、已知方程x?2x c = 0的一个根是3,求方程的另一个根及c的值。跟踪练习：1、已知方程A：?3x + c = 0的一个根是2,求另一个根及c的值。2、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0 一个根为2,求另一个根及m的值3、已知关于X的方程/ + 1)工+ ,公+1 = 0,如果方程两实根的枳为5,求出攵的值.4【例2】已知a , P是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值(l)- + -(2)a2+/?2(3)a-a p跟踪练习：1、若内是方程/+2工20

10、07 = 0的两个根，试求下列各式的值：(1) x+x>2：(2)1：(3)(芭一5)(八 一 5) ：(4) lx1一 x,l.一元二次方程测试一、选择题1、下列方程中，关于X的一元二次方程是()(A) 3(x+ 1)2 =2(x + l)(B) L + - 2 = 0厂 x(C) ax2 +bx + c = 0(D) x2 +2a =x2 -14 、2、已知3是关于x的方程一尸-2。+ 1 = 0的一个解，则2a的值是() 3(A) 11(B) 12(C) 13(D) 143、关于4的一元二次方程/+攵=。有实数根，则()(A) k <0(B) k >0(C) k20(D

11、) k <04、已知、y是实数，若盯=0,则下列说法正确的是()(A) x一定是 0(B) y一定是 0(C) x = 0 或 y = 0(D) x = 0 且 y = 05、若2x + l与2x 1互为倒数，则实数x为()1 (2(A) ±-(B) ±1(C) ±(D) ±x/22 26、若方程ax'+bx + c = 0 (a H 0)中，4,。满足。+ +右=0和。一 +。= 0,则方程的根是()(A) 1, 0(B) -1, 0(C) 1, -1(D)无法确定7、用配方法解关于x的方程x2 + px + q=0时，此方程可变形为()

12、(A) (X + )2 = (B) (x + )2 = 2424(C一步中。竺¥r 5 t 68、使分式一-一 的值等于零的x是()A + 1(A) 6(B) -1 或 6(C) -1(D) -6二、填空题9、把一元二次方程(X -3y=4化为一般形式为：,二次项为： , 一次项系数 为：,常数项为：o10写出一个一根为2的一元二次方程11、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：4x2=5,应选用 法；(2) 2x2-3x-3=0,用选用 法 o12、方程16 = 0的根是;方程(x + l)(x 2) = 0的根是 013、已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1,则1&l

13、t;=,另一根为。14、X2 +3x+=(x +)2 o15、一元二次方程仅一1)仅-2)=0的两个根为X1，X2，且X1>X2，则为2+82=。三、解答题(4x7=28)16、解方程（1）x2=49 （直接开平方法）（2） （2."1尸=9 （直接开平方法）（3） i+3%-4 = 0 （用配方法）(5) x(x+8)=16 (公式法)(4) * + 4)2 =5(x + 4)(因式分解法)题号12345678答案ACDCCCBA79、把一元二次方程一化为一般形式为：x2-6x + 5 = 0,二次项为：/,次项系数为：-6 ,常数项为: 35 o10写出一个一根为2的一元二次方程略o11、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：4x2=5,应选用开平方法:（2）2x2-3x-3=0,用选用 公式法。12、方程16 =