量子密码基础

1、量子力学的奇妙特性量子力学的奇妙特性 量子力学是量子力学是2020世纪初才诞生的，世纪初才诞生的，是近代物理学两大支柱之一。是近代物理学两大支柱之一。经典力学：宏观物质的运动规律。经典力学：宏观物质的运动规律。量子力学：微观粒子的运动规律量子力学：微观粒子的运动规律自然界的运动规律。自然界的运动规律。量子 量子的概念微观世界的某些物理量不能连续变化而只能取某些分立值，相邻分立值的差称为该物理量的一个量子直观理解：具有特殊性质的微观粒子或光子量子信息应运而生量子信息应运而生 量子特性应用到信息领域中可以发挥量子特性应用到信息领域中可以发挥出独特的功能，在提高运算速度、确保信出独特的功能，在提高运

2、算速度、确保信息安全、增大信息容量等方面可以突破现息安全、增大信息容量等方面可以突破现有的经典信息系统的极限，于是诞生了一有的经典信息系统的极限，于是诞生了一门新兴的交叉学科：量子信息科学门新兴的交叉学科：量子信息科学 量子信息与经典信息的根本区别量子信息与经典信息的根本区别经典信息经典信息 二进制二进制0或或1组成的数字串，其组成的数字串，其信息单元称为信息单元称为“比特比特”，为，为0或者或者1。量子比特(qubit): 量子比特是量子化的二能级系统。数学抽象对应的这两个能级的状态： 和01量子信息量子信息 微观粒子允许同时处在微观粒子允许同时处在 和和 两个两个态上，这是其波粒二象性的结

3、果。态上，这是其波粒二象性的结果。 01121201 , ,CCC C为任意复数。12221 CC（叠加态）（叠加态） 量子信息是经典信息的完善和扩充，正如复数量子信息是经典信息的完善和扩充，正如复数z=z=x+iyx+iy是实数是实数x x，y y的完善和扩充。的完善和扩充。量子信息的单元量子信息的单元 称为量子比特。称为量子比特。 量子比特（即量子态）的物理载体：光子，电子，原量子比特（即量子态）的物理载体：光子，电子，原子，核自旋，子，核自旋， 以量子态作为信息单元，以量子态作为信息单元，“信息信息”就量子化。就量子化。 以以“比特比特”作为信息单元的是经典信息，以作为信息单元的是经典信

4、息，以“量子比特量子比特”作为单元的是量子信息。作为单元的是量子信息。 因此，量子信息遵从量子力学规律。因此，量子信息遵从量子力学规律。信息传输：信息传输：量子态在量子通道中传送量子态在量子通道中传送信息处理信息处理( (计算计算) )：量子态幺正演化量子态幺正演化信息提取：信息提取：量子测量量子测量 如，经典信息可以克隆，而量子信息是不可克隆的如，经典信息可以克隆，而量子信息是不可克隆的（量子不可克隆定理）。（量子不可克隆定理）。 两经典粒子分离后就不关联，而两量子粒子处于纠两经典粒子分离后就不关联，而两量子粒子处于纠缠态（缠态（EPR粒子）时不论空间分离多开仍然存在量子关粒子）时不论空间分

5、离多开仍然存在量子关联，对其中一个粒子施行作用必然会影响另一个粒子的联，对其中一个粒子施行作用必然会影响另一个粒子的状态。状态。于是，奇特的量子性质就可以产生新的信息功能。于是，奇特的量子性质就可以产生新的信息功能。基本物理概念 量子态经典信息：比特 0 或 1，可用高低电压等表示量子信息：量子比特（Qubit） |0 ， |1量子比特还可以处在 不同状态的叠加态上！ 10|+|-Dirac符号 狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量般矢量-态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套“狄拉克符号狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁

6、、灵活地描述量子力学体系的状态。 量子态的向量描述10,0 01,1 100101 11101,122 11101122 |0,|1相互正交， |+,|-相互正交算子与矩阵 向量空间和之间的线性算子定义为，若对于任意的线性函数，如果满足：则A为线性算子 AaaAiiiiVIVI恒等算子 :v数学基础算子与矩阵 元素的矩阵称为算子的矩阵表示。的矩阵表示的说法与算子的说法完全等价。为把矩阵和线性算子联系起来，需要为线性算子的输入和输出向量空间指定基。v数学基础内积与范数内积与范数 v数学基础1111( ,),nniininzyyzzy zyyzv如：定义了内积的向量空间称为内积空间。),(,iii

7、iii内积空间v数学基础标准正交 化v数学基础Hilbert空间 线性完备的内积空间称为Hilbert Space.(“H”) 完备完备（completeness）：对H上的任意柯西序列必收敛于H上的某一点。（相当于闭集的定义） 在量子信息学中常出现的有限维复矢量空间在量子信息学中常出现的有限维复矢量空间中，一个中，一个Hilbert空间与内积空间是一样的，这空间与内积空间是一样的，这两词可互换。两词可互换。 外积外积任意算子的外积表示特征向量和特征值特征向量和特征值 Hermite算子Hermite共轭运算 TAA)(如 iiiiiiii412131411231ABAB)(AA)(投影算子投

8、影算子是一类重要的Hermite算子。 则正规 Hermite算子一定是正规算子。 酉算子也一定是正规算子。酉矩阵（幺正算子）Pauli算子 Pauli算子既是Hermite算子也是幺正算子。10010I01101Xx002iiYy10013Zz张量积 张量积是将向量空间合在一起，构成更大向量空是将向量空间合在一起，构成更大向量空间的一种方法间的一种方法，这个构造对理解量子力学的多粒子系统很关键。两个矩阵的两个矩阵的克罗内克积克罗内克积Kronecker product 010101 000101010000001010011001010001100110100010101111 张量积的基本性质多量子位 两个经典比特，有四种状态：00，01，10，和11。 两个量子位, 相应的有四个计算基矢态 |00, |01, |10, |11 双量子位的任意状态可写成 计算基矢态的迭加: 12340010011122221234|1张量积空间上的算符张量积 两个酉算子的张量