刚体及其运动规律

1、第三章第三章 刚体及其运动规律刚体及其运动规律刚体：刚体： 既考虑物体的质量既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽又考虑形状和大小，但忽略其略其形变形变的的物体模型物体模型。刚体运动的描述刚体运动的描述刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离始终保持不变的质点系。相对距离始终保持不变的质点系。一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。1. 平动平动刚体内任

2、一直线在运动过程中始终保持平行。刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。a. 定轴转动定轴转动b. 定点转动定点转动如：门、如：门、 窗的转动等。窗的转动等。如：陀螺的转动。如：陀螺的转动。3. 平面运动平面运动可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平面的定轴转动。面的定轴转动。刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。如：车轮滚动。如：车轮滚动。可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。4. 刚体的一般运动刚体的一般运动 刚体上所有质点都绕同一直线刚体上所有

3、质点都绕同一直线(即转轴即转轴)作圆周运动。作圆周运动。2. 转动转动研究方法：研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上各点具有相同的运动状态各点具有相同的运动状态(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研究刚体内某一究刚体内某一垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面(转动平面转动平面)上各点的运动，上各点的运动，就可了解整个刚体的运动。就可了解整个刚体的运动。转动平面内：取转心转动平面内：取转心O，参考轴，参考轴x，1. 刚体的角位置与角位移刚体的角位置与角位移2. 刚体的角速度刚体的角速度 角加速度角加速度t dd二、二、定轴转动的描述

4、定轴转动的描述 角量角量xOPr 转动平面转动平面22ddtP点：角位置点：角位置 角位移角位移3. . 线量与角量的关系：线量与角量的关系：tvatdd22rrvanSI: 的单位分别是.rad/srad/s,rad,2rvrv 角速度角速度 的方向：的方向：r v/ /角加速度的方向：角加速度的方向：加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。ddrrt匀角加（减）速转动匀角加（减）速转动：0t21002tt22002 () 式中：式中：00, 是是 t =0 时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置。说明：说明：作定轴转动时，刚体内各点

5、具有相同的角量，作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，但不同位置的质点具有不同的线量。但不同位置的质点具有不同的线量。匀加匀加(减减)速直线平动：速直线平动：)(22102022000 xxavvattvxxatvv刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：tLMdd 1. 刚体是质点系，刚体所受关于原点刚体是质点系，刚体所受关于原点O 的力矩的力矩等于合外力矩。等于合外力矩。2. 只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩

6、，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被轴则被轴承上支承力的力矩所抵消（否则轴承会转动）。承上支承力的力矩所抵消（否则轴承会转动）。 刚体的定轴转动定理刚体的定轴转动定理一、刚体所受的力矩一、刚体所受的力矩说明说明oxyzF取惯性坐标系取惯性坐标系 ， xyzo轴为固定转轴zFi设第设第 i 个质元受外力个质元受外力 ，Fi并假定并假定 垂直于转轴。垂直于转轴。iiiFRM轴轴z/iirooR xyzooRiFiirimiooiiiFrooM iiiFrFoo轴轴z 不必考虑！不必考虑！iiiiiizFrFrMsin所受关于所受关于O 点的外力矩为：点的外力矩为：刚体所受的关于定轴的合

7、力矩：刚体所受的关于定轴的合力矩：iiiiiizzFrMMsin质点系内力矩的矢量和为零质点系内力矩的矢量和为零!计算刚体关于计算刚体关于O 的角动量：的角动量：)(iiiiiivmRLLiivRiiiiLRmvsiniziiLL二、刚体定轴转动的角动量二、刚体定轴转动的角动量xzooiRirimooiviLiyisiniiiiRmviiivmr Why?对整个刚体：对整个刚体：iizzLLJLz称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量。的转动惯量。为刚体关于转轴为刚体关于转轴 z 的角动量。的角动量。2iiirmJiiiiiiirmvmr)(2tLMzzdd得到：得到：tJMddd=dM

8、 JJt刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：设转动过程中设转动过程中J不变不变， 则有：则有：由质点系的角动量定理：由质点系的角动量定理：tLMdd对刚体的定轴转动，有：对刚体的定轴转动，有：zzMMJL而且而且 刚体在作定轴转动时，刚体的角刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。量成反比。三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律推广到推广到 J 可变可变情形情形(与与 F = ma 推广到推广到F dt= d(mv) 类似类似)JtMdd 00000ddJJJtMJJtttttM0d称为在称为在 t

9、0 到到t t 时间内作用在刚体上的时间内作用在刚体上的角冲量角冲量。刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 是关于刚体定轴转动的动力学方程。是关于刚体定轴转动的动力学方程。d=dM JJt例例 定滑轮：定滑轮：m， r，J ，物体：，物体：m1， m2， 轻绳不能伸长，轻绳不能伸长，无相对滑动无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。amTgm111amgmT22212TrT rJ解：解： 由于考虑滑轮的质量，由于考虑滑轮的质量，21TT 问题中包括平动和转动。问题中包括平动和转动。轮不打滑：轮不打滑： ar联立方程，可解得联立方程，可解得 T1

10、，T2，a， 。gm1gm21T1T2T2Taar例例 均质细棒：均质细棒： m ， l ，对水平轴，对水平轴O： ，铅，铅直位置时，一直位置时，一水平力水平力 F 作用于距作用于距 O为为 l 处，计算在此瞬间处，计算在此瞬间O 轴对棒的作用力轴对棒的作用力( (称轴反力称轴反力) )。231mlJ FlO解：解： FlJ xxmaNFcyymamgNc得：得：123llFNxmgNy设轴反力为设轴反力为 Nx，Ny。由转动定律：由转动定律：由质心运动定律：由质心运动定律：当当 l =2l/3 时，时， Nx =0 。l 2l/3 时，时，Nx 0 ，l 2l/3 时，时， Nx 0 。yN

11、xNgmc讨论：讨论：22lm2lm0例例 半径为半径为 R1 和和 R2、转动惯量为、转动惯量为 J1 和和 J2 的两个圆柱的两个圆柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现将，现将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？11, RJ22, RJ011, RJ22, RJ0设垂直于纸面向里为正向：设垂直于纸

12、面向里为正向：01111JJtfR无相对滑动：无相对滑动： 2211RR21222102112RJRJRRJ分别对分别对 o1 轴和轴和 o2 轴运用角动量定理。轴运用角动量定理。解：解：ffo11Nfo22f N222JtRf定义：定义：iiirmJ21. 刚体由分立的质点组成时：刚体由分立的质点组成时：iiirmJ22. 刚体为质量连续体时：刚体为质量连续体时：mrJd2单位单位( SI )：2mkg 转动惯量取决于刚体本身的性质，即仅与刚体的形状、转动惯量取决于刚体本身的性质，即仅与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关大小、质量分布以及转轴的位置有关。一、刚体的转动惯量及其计算一

13、、刚体的转动惯量及其计算例例 求均质细棒求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量：的转动惯量： (1) 转轴通过中心与棒垂直，转轴通过中心与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端与棒垂直。转轴通过棒的一端与棒垂直。解：解：xlmmddmxJd222121d22mlxxlmlllmlxxlmJ02231d(1)(2)可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是关于某轴的转动惯量关于某轴的转动惯量。mrJd2OxOxdxdmdxdm例例 求质量求质量 m 半径半径 R 的的 (1) 均质圆环，均质圆环， (2) 均质圆盘均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。对通过直

14、径的转轴的转动惯量。解：解：d2dRRmm mrJd2202d2)sin(RRmR221mR(1) 圆环：圆环：dsin22022mR dmR241mRordm(2) 圆盘：圆盘：2d2drmmrR21dd2JJrm22012dr2RmrrR刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对等于对通过质心的平行通过质心的平行转轴的转轴的转动惯量转动惯量 Jc 加上刚体质量加上刚体质量 m 乘以两平行转轴乘以两平行转轴间距离间距离 d 的平方。的平方。2cmdJJ 2 ioioiiioirrmrmJ iiiidrdrmcciiiiiirmdmdrmc22c2证明：证明：0crm二、平行

15、轴定理二、平行轴定理coJcJd iorc irmi2cmdJ 例例 计算挂钟摆锤对计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。m l1 Om R2 2222212131RlmRmlmJ21JJJ21131lmJ 2c2mdJJ解：解：222221RlmRm例例 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为Jx、Jy，计算板对，计算板对z 轴的轴的转动惯量转动惯量Jz。Oxyz解：解：iiizrmJ2xyJJ 称称垂直轴定理垂直轴定理 (仅适用于薄板仅适用于薄板)。如圆盘如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量对过圆心的垂直轴的转动惯量：2zx

16、yJJJyixirimiiiiiyxm22 2211/ 224mRmR例例 质量为质量为M=16kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为绳绕在滑轮上，一端挂一质量为 m 的物体。求的物体。求( (1) )由静止由静止开始开始1 1秒钟后，物体下降的距离。秒钟后，物体下降的距离。( (2) )绳子的张力。绳子的张力。解：解：maTmgRaMRTR221)sm(58810822Mmmgam)(5 . 215212122athN)(4051621TMmTgm例例 一质量为一质量为m ，长为，长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在O点，

17、距点，距A端端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求点转动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度垂直位置时的角速度和角加速度。和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ0026392MmglgJmll方向：方向： cOBAgmcOBA(2)tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml例例 一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若

18、它的初角速度为平面上。若它的初角速度为 0 0，绕中心，绕中心o o旋转，问经过旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMr32d2d022Ro2d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd213220003dd4Rg 2083gR为其转过的角度。为其转过的角度。mgRM3221dd2ddmRt定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理：tJMdd定轴转动角动量守恒定律：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，

19、当刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。持不变。适用于刚体，非刚体和物体系。适用于刚体，非刚体和物体系。刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0=M.0dd tJ当当时，时， 有有00JJ即即(常量常量)一、一、 刚体刚体( J 不变不变)的角动量守恒的角动量守恒若若 M=0，则，则 J =常量，而刚体的常量，而刚体的 J 不变，故不变，故 的的大小，方向保持不变。大小，方向保持不变。此时，即使撤去轴承的支撑作用，此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作刚体仍将作定轴转动定轴转动定向回转仪定向回

20、转仪 可以作定向装置。可以作定向装置。如：直立旋转陀螺不倒。如：直立旋转陀螺不倒。o 二、非刚体二、非刚体( J 可变可变)的角动量守恒的角动量守恒当当 J 增大，增大， 就减小，就减小，当当 J 减小，减小， 就增大。就增大。常量常量00JJ如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动，如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩恒星塌缩 (R0， 0) (R， ), 中子星中子星的形成等。的形成等。u0人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：轴的角动量守恒：JJ00)21(2122221021tumRmRm22122021tRmum例例 水平转台水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中

21、心轴转动，初角速可绕竖直的中心轴转动，初角速度度 0 0，一人，一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半沿半径向边缘走去，计算经时间径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。台转过了多少角度。解：解：tt0dd台转过台转过的的角度角度：RmmutmmuR2/1122/1120)2(arctan)2(三、物体系的角动量守恒三、物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：常常量量iiiJ例例 摩擦离合器摩擦

22、离合器 飞轮飞轮1：J1、 1 1 摩擦摩擦轮轮2： J2 静止，静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒2111JJJ2111JJJ解：解：21例例 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于盘面对通过盘心垂直于盘面转轴的转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、 J2，开始开始 1 1轮以轮以 0 0转动，然后两转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：别用角动

23、量定理：01111dJJtFr222dJtFr2211rr得：得：22121222011rJrJrJ22121221012rJrJrrJ解：解：0122F1例例 均质细棒：均质细棒：m1、 l ，水平轴水平轴O，小球：，小球：m2与棒与棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。持竖直，求碰后棒的角速度。v v系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守恒 221312v lmlmlvmlmvvm123注意：注意：因为轴承处的外力不能忽略，所以系统总动量一般不因为轴承处的外力不能忽略，所以系统总动量一般不守恒。只当碰撞发生时，守恒。只

24、当碰撞发生时，Nx=0，系统的水平平动量才守恒：，系统的水平平动量才守恒：解：解：vmlmvmvmvm2121 2c12 3222131322)(v lmlmlvmvv O一、一、 刚体定轴转动的转动动能刚体定轴转动的转动动能iiiiiirmvmE222k21212c mdJJ22ck21mdJE2c2c2121mvJ定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心（绕定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心（绕定轴作圆周运动）的平动。定轴作圆周运动）的平动。221J2c21mvoc由平行轴定理：由平行轴定理：222c2121mdJ二、力矩的功二、力矩的功1. 平行于定轴的外力对质元不做功。平

25、行于定轴的外力对质元不做功。2. 由于刚体内两质元的相对距离不由于刚体内两质元的相对距离不变，一对内力做功之和为零。变，一对内力做功之和为零。 dijijijWfriiWW() diiijij iWFfrijijijrrrd)(dijijijfrr 说明说明ri jirdjrdijijrrdijrdij0dWdcos diiiiiiFrFsdiM合外力对刚体做的元功：合外力对刚体做的元功：dWdWdiiiiM力矩的功：力矩的功：0dWM功率：功率： dWdPtzPriFidisdi设作用在质元设作用在质元 mi上的外力上的外力 位于转动平面内。位于转动平面内。iF sindii iFrdMMt

26、Mdd三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理tJMdd2022121dd00JJJMA合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。ddddddJtJ四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能以地面为势能零点，刚体和地球以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能：系统的重力势能：iiigzmEpgmizOicriiimzmmgcmgz五、五、 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示：将重力矩作的功用重力势能差表示：)(d0ccp0mgzmgzM得得)21()21(d200c2c0JmgzJmgzM其中，其

27、中，M是除重力以外的其它外力矩。是除重力以外的其它外力矩。刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律2022121JJA刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理若若M=0，则则常量2c21Jmgz例例 均质细棒均质细棒m， l ，水平轴水平轴O，开始棒处于水平状态，由，开始棒处于水平状态，由静止释放，求棒摆到竖直位置时：静止释放，求棒摆到竖直位置时： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒棒的转动动能，的转动动能，(3) 质心的加速度，质心的加速度，(4) 轴的支反力。轴的支反力。解：解：02212lmgJlg3(2)2k21JE (3) 2322cnglaFxFy0ct maFx(4)cnmamgFymgmgmgFy2523(1)2lmgct 02la例例 细杆细