正余弦定理综合应用(共15页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上正余弦定理综合应用学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1已知ABC的内切圆面积为，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若2b-ccosA=acosC.（1）求角A；（2）当AB·AC的值最小时，求ABC的面积.2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=3b-2c.（1）求sinA的值；（2）若b=32sinB，求a的值；（3）若a=6，求ABC面积的最大值.3在平面四边形ABCD中，AD=7，BD=8，ABC=2，cosBAD=-17.（1）求ABD；（2）若BCBD=24，求CD.4已知向量m=(2,-1)，n=(sinA

2、2,cos(B+C)，角A，B，C为ABC的内角，其所对的边分别为a，b，c.（1）当mn取得最大值时，求角A的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a=3时，求b2+c2的取值范围.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB（1）判断ABC的形状；（2）若f(x)=12cos2x-23cosx+12，求f(A)的取值范围6如图：在ABC中，b2=a2+c2-23ac，点D在线段AC上，且AD=2DC.（）若AB=2，BD=433求BC的长；（）若AC=2，求DBC的面积最大值7在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinCcosC=sin

3、A+sinBcosA+cosB.（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为2，求a2+b2的取值范围.8在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB).（1）求角C的大小；（2）求cos2A+cos2B的取值范围。9设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.10在 中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.专心-专注-专业参考答案1(1)A=3;(2)33.【解析】分析：（1）由正弦定理将边

4、化角得2cosA=1，进而得A=3；（2）由内切圆的性质得b+c-a=23，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，进而得b+c-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c8bc，bc12或bc43，又b>3,c>3，所以bc12，从而得当b=c时，AB·AC的最小值为6，进而得面积.详解：（1）由正弦定理得2sinB-sinCcosA=sinAcosC，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB，sinB0，2cosA=1，A=3.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-bc，由题意可知ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆

5、，D,E为切点，可得AI=2,AD=AE=3，则b+c-a=23，于是b+c-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c8bc，所以bc12或bc43，又b>3,c>3，所以bc12，即AB·AC=12bc6,+，当且仅当b=c时，AB·AC的最小值为6，此时三角形ABC的面积=12bcsinA=12×12×sin3=33.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.2（1）sinA=53（2）10（3）325【解析】分析：（1）由3acosC=3b-2c利用正弦定理得：3sinAcosC=3sinB

6、-2sinC，3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC，利用两角和的正弦公式化简可得cosA=23，从而可得结果；（2）直接利用正弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得43bc=b2+c2-62bc-6，bc9，由三角形面积公式可得SABC=12bcsinA=56bc，从而可得结果.详解：（1）ABC中，3acosC=3b-2c由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB-2sinC3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC3cosAsinC=2sinCsinC0，cosA=23A(0,)，sinA=53（2）由b=32sinB，得bsinB=32asinA=3

7、2，a=32×53=10（3）由（1）知sinA=53SABC=12bcsinA=56bc由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22bc，a=643bc=b2+c2-62bc-6bc9（当且仅当b=c时取“=”号）SABC=56bc56×9=325即ABC面积的最大值为325点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.3（1）3；（2）27

8、.【解析】分析：（1）由正弦定理即可；（2）由已知可得BCBDcosDBC=24，从而可得BC=23，再利用余弦定理即可.详解：（1）在ABD中，cosBAD=-17，BAD2,，sinBAD=1-cos2BAD=437.由正弦定理得7sinABD=8437，sinABD=32.BAD2,，ABD0,2，ABD=3.（2）BCBD=24，BCBDcosDBC=24，又DBC=ABC-ABD=2-3=6，BC×8×32=24，BC=23，在BCD中CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=82+232-2×8×23×32=28，CD=28=

9、27.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.4（1）A=3（2）(3,6【解析】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sinA2的二次函数，由A的范围求出A2的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时sinA2的范围，利用二次函数的性质即可求出mn取得最大值时A的度数；（2）由a及sinA的值，利用正弦定理表示出C，再利用三角形的内角和定理用B表示出C，将表示出的C代入b2+c2中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正

10、弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出b2+c2的取值范围详解：（1）mn=2sinA2-cos(B+C)=2sinA2+cosA=-2sin2A2+2sinA2+1，令t=2sinA2，t(0,1)，原式=-2t2+2t+1，当t=12，即sinA2=12，A=3时，mn取得最大值.（2）当A=3时，B+C=23，B(0,23).由正弦定理得：asinA=332=2=2R（R为ABC的外接圆半径）于是b2+c2=(2RsinB)2+(2RsinC)2=(2sinB)2+(2sinC)2=4sin2B+4sin2C =4sin2B+4si

11、n2(A+B)=41-cos2B2+41-cos2(A+B)2 =4-2cos2B-2cos(23+2B)=4-2cos2B-2(-12)cos2B-32sin2B)=4+3sin2B-cos2B =4+2sin(2B-6).由B(0,23)，得2B-6(-6,76)，于是sin(2B-6)(-12,1，4+2sin(2B-6)(3,6，所以b2+c2的范围是(3,6.点睛：本题考查正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5(1) ABC为B=2的直角三角形(2) -19,13).【解析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对

12、已知化简可求得角B的值，进而可判断三角形的形状；（2）由辅助角公式对已知函数fx先化简，然后代入可求得fA，结合（1）中的角B求得角A的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解详解：（）因为asinB-bcosC=ccosB，由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，所以sin(C+B)=sinAsinB因为在ABC中，A+B+C=，所以sinA=sinAsinB又sinA0，所以sinB=1，B=2所以ABC为B=2的直角三角形 （）因为f(x)=12cos2x-23cosx+12 =cos2x-23cosx=(c

13、osx-13)2-19所以f(A)=(cosA-13)2-19因为ABC是B=2的直角三角形，所以0<A<2，且0<cosA<1，所以当cosA=13时，f(A)有最小值是-19所以f(A)的取值范围是-19,13)点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6(1)3(2)23

14、【解析】分析：（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得cosB=13，设BC=a,AC=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a，应用余弦定理，写出cosADB,cosBDC的值，根据两角互补，得到cosADB+cosBDC=0，得到m所满足的等量关系式，求得结果；（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得sinB=223，根据余弦定理以及重要不等式得到ac3，利用三角形面积公式求得结果.详解：（）b2=a2+c2-23accosB=a2+c2-b22ac=13 在ABC中,设BC=a,AC=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a 在ABD和DBC中，由余弦定理可得：cosADB=

15、4m2+163-4163m3,cosBDC=m2+163-a283m3又因为cosADB+cosBDC=04m2+163-4163m3+m2+163-a283m3=0得 3m2-a2=-6 由得a=3,m=1 BC=3.（2）cosB=13,B(0,)sinB=1-cos2B=223 由b2=a2+c2-23ac4=a2+c2-23ac2ac-23ac=43acac3 （当且仅当a=c取等号） 由AD=2DC，可得SBDC=13SABC=13×12acsinB13×12×223×3=23DBC的面积最大值为23.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解

16、题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，同角三角函数平方关系，基本不等式求最值，三角形面积公式，诱导公式等，正确使用公式是解题的关键.7(1)C=3.(2)(3,6.【解析】分析：（1）根据三角函数和差公式化简，得到角A、B、C的关系，以及A+B+C=即可求出角C。（2）设A=3-,B=3+，利用正弦定理和外接圆直径为2，建立边和角的对应关系；再利用降幂公式，把A、B化成的表达式；利用角的取值范围即可求出a2+b2的取值范围。详解：（1）由sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB得sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB即sin(C-A)=s

17、in(B-C)，则C-A=B-C，即2C=A+B，即C=3.（2）由C=3，设A=3-,B=3+则-3<-<3则a2+b2 =(2RsinA)2+(2RsinB)2=4(sin2A+sin2B)即a2+b2 =4(1-cos2A2+1-cos2B2)=4-2cos(23+2)+cos(23-2)=4+2cos2由-3<-<3，则-23<2<23-12<cos213<a2+b26，故a2+b2的取值范围是(3,6.点睛：本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幂公式的综合应用，结合知识点多，化简较为复杂，属于难题。在三角函数问题中，边角转化是解

18、决问题的核心，解题前要确认把角转化成边，还是把边转化成角。8（1）3；（2）12,34)【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB)，由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b)，即a2+b2-c2=ab，则a2+b2-c22ab=12根据余弦定理得cosC=12又因为0<C<，所以C=3（2）因为C=3，所以2B=43-2A则cos2A+cos2B=1+cos2A2+1+cos2B2=1+12(cos2A+cos2B)=1+12cos2A+cos(43-2A)=1+12(12cos2A-32sin2A)=1+12cos(2A+3)因为三角形ABC为锐角三角形且