第十五章分析静力学

1、2021年12月14日理论力学CAI1第十五章第十五章 分析静力学分析静力学 分析静力学主要研究受约束的分析静力学主要研究受约束的质点、质点系、刚体、质点、质点系、刚体、刚体系刚体系在力系作用下的平衡规律。是研究平衡问题的最在力系作用下的平衡规律。是研究平衡问题的最一般的原理。一般的原理。 在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出过力系的简化，得出刚体刚体的平衡条件，用来研究的平衡条件，用来研究刚体刚体及刚体系统及刚体系统的平衡问题，称为矢量静力学。的平衡问题，称为矢量静力学。 与分析力学的另一个原理，达朗伯原理相结合，就与分析力学

2、的另一个原理，达朗伯原理相结合，就可以将静力学的结论扩展到动力学领域。可以将静力学的结论扩展到动力学领域。2021年12月14日理论力学CAI2W1FW2F 如何确定升降机液压油如何确定升降机液压油缸的推力缸的推力F与载荷的关系？与载荷的关系？2021年12月14日理论力学CAI3oF2F1ab虚位移原理的思想：虚位移原理的思想：几何静力学的平衡方程 0021bFaFFMo2021年12月14日理论力学CAI4oF2F1ab功能原理的方程0bFaFWTT0210bFaF210bFaF021 利用动能定理得到与几何静力学同样的平衡条件，利用动能定理得到与几何静力学同样的平衡条件，即用动的方法来处

3、理静的问题。即用动的方法来处理静的问题。2021年12月14日理论力学CAI515.1 虚位移和虚速度虚位移和虚速度1. 位形空间和约束曲面质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形位形。 建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2, x3n), 称为质点系的位形空间位形空间。 质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束方程表示，则称为几何约束几何约束或或完整约束。完整约束。约束物体运动所受到的限制。约束物体运动所受到的限制。2021年12月14日理论力学CAI6定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：)(,1,2, 0,)(约束数；rkn3 ,2

4、,1ixfik 非定常约束非定常约束约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：)(r ,1,2, 0,)(约束数；， kn3 , 2 , 1itxfik2021年12月14日理论力学CAI7定常约束定常约束 约束条件不随时间改变的约束。约束条件不随时间改变的约束。x2 + y2 = l22021年12月14日理论力学CAI8非定常约束非定常约束如果已知转子的转动规律如果已知转子的转动规律( (例如以等角速度例如以等角速度 旋旋转转) )，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：这种约束即为非定常约束。这种约束即为非定常约束。 2021年1

5、2月14日理论力学CAI9双侧双侧约束与单侧约束约束与单侧约束双侧约束双侧约束 约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。 单侧约束单侧约束 约束方程写成不等式的约束。约束方程写成不等式的约束。)(,1,2,3 ,2, 1 0,) (约束数；rknixfik )(r ,1,2,3 , 2 , 1 0,)(约束数； knixfik2021年12月14日理论力学CAI10ByxO双侧双侧约束与单侧约束约束与单侧约束)(0双侧约束By)(0单侧约束ByByxO只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单单侧侧约束约束。滑块滑块B2021年12月14日理论力学CAI11)(双侧约束222

6、lyx)(单侧约束222lyxyxOAA0lyxOAA0l单摆单摆2021年12月14日理论力学CAI12完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。可以积分的约束。)r(,1,2, 0,)(约束数；， kn3 , 2 , 1ixxfiik)(,1,2, 0,)(约束数；rkn3 ,2 ,1ixfik 2021年12月14日理论力学CAI

7、13圆轮在平面上纯滚动圆轮在平面上纯滚动0vRyCC0Rx0vCC0RxC分进行积圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。COyxC*Cx cx R约束方程2021年12月14日理论力学CAI14追踪系统追踪系统OyxvAABxAyAxByBABABAAyyxxyx 约束方程不可积分，所以约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。导弹所受的约束为非完整约束。2021年12月14日理论力学CAI15对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系统的自由

8、度数。统的自由度数。 对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。 在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、双侧、完整约束的情况。双侧、完整约束的情况。2021年12月14日理论力学CAI162. 可能位移、实位移和虚位移可能位移、实位移和虚位移满足约束方程的无限小位移称为质点系的可能位移。可能位移。rkttfxxfkiniik, 2 , 10dd31质点系实际发生的微小位移称为实位移。实位移。 在约束允许条件下，各

9、质点可能发生的与时间变化在约束允许条件下，各质点可能发生的与时间变化无关的位移，称为质点系的无关的位移，称为质点系的虚位移虚位移。2021年12月14日理论力学CAI17 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。2021年12月14日理论力学CAI18 实位移实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 实位移实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移实位移是在一定的时间内发生的；虚位移虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。 实位移和虚

10、位移实位移和虚位移2021年12月14日理论力学CAI19 在定常约束下，虚位移就是可能位移，就是实位移。而在非定常约束下，虚位移不一定等同与可能位移。2021年12月14日理论力学CAI20 凡约束力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零的约束，称为理想约束。理想约束。 质点系受有理想约束的条件：0rFWiNiN15.2 虚位移原理虚位移原理1. 理想约束理想约束2021年12月14日理论力学CAI21理想约束：理想约束：1、光滑面约束2、铰链约束3、圆轮在平面上作纯滚动2021年12月14日理论力学CAI22 2. 虚功原理虚功原理 受定常理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件为：系统

11、内所有主动力对质点系的任意虚位移所作的元功之和等于零。0rFWii2021年12月14日理论力学CAI233. 虚功率原理虚功率原理 受定常理想约束的质点系，其平衡的必要受定常理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件为：系统内所有主动力对质点系的与充分条件为：系统内所有主动力对质点系的任意虚速度所作的元功率之和等于零。任意虚速度所作的元功率之和等于零。0rFPii2021年12月14日理论力学CAI24 虚位移原理的应用虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；、求系统在已知主动力作用下的平

12、衡位置；3、求平衡系统的约束反力；、求平衡系统的约束反力；4、求平衡结构系统内二力杆的内力。、求平衡结构系统内二力杆的内力。2021年12月14日理论力学CAI25建立系统主动力之间的关系建立系统主动力之间的关系2021年12月14日理论力学CAI26例例 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。解解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。2021年12月14日理论力学CAI27 1. 分析法分析法cos , sinsin , coslylxlylxABAB0 tg21FF 0 xFyFB2A10)si

13、ncos( 21lFF2021年12月14日理论力学CAI282. 虚功率原理：虚功率原理：0vF(FA21)tg 0Av tg21FF tg cossin ABBAvvvv而0vFvFB2A12021年12月14日理论力学CAI29 机构如图，已知：OA=O1B=L，O1BOO1，力偶矩M。试用虚位移原理求图示位置平衡时，力F的大小。由虚位移原理有 0 BrFM2021年12月14日理论力学CAI30A rA eA arrr sin A aA err L rA aLrLrBA e sin LMF/0 BrFM取A为动点，摆杆为动系sin BA err0 LFM2021年12月14日理论力学C

14、AI31 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤1、正确选取研究对象：、正确选取研究对象： 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。2021年12月14日理论力学CAI32 2、正确进行受力分析、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的 弹簧力、 摩擦力和待求的约束反力

15、。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。、解虚功方程求出未知数。2021年12月14日理论力学CAI33 图示机构在重物图示机构在重物W及弹簧约束下处于平衡，及弹簧约束下处于平衡，杆长杆长L，弹簧系数为弹簧系数为 k，原长为原长为b。不计杆重，不计杆重，求平衡条件。求平衡条件。2021年12月14日理论力学CAI34求支座求支座B的约束力的约束力 2021年12月14日理论力学CAI352021年12月14日理论力学CAI362021年12月14日理论力学CAI37

16、2021年12月14日理论力学CAI382021年12月14日理论力学CAI39求求1、2、3杆的内力杆的内力 2021年12月14日理论力学CAI402021年12月14日理论力学CAI412021年12月14日理论力学CAI42求多跨静定梁的求多跨静定梁的A支座约束力支座约束力BG = GC = CD，AB = DE = 2BG2021年12月14日理论力学CAI43例例 多跨静定梁，求支座多跨静定梁，求支座A处反力。处反力。2021年12月14日理论力学CAI44解解：将支座A除去，代入相应的约束力F A 。2021年12月14日理论力学CAI450412121AAAAyFyFyF0W0

17、Ay214121FFFA2021年12月14日理论力学CAI46 匀质圆轮O，半径为R，重W，匀质直杆AB长，重W，不计滑块B重量，试用虚位移原理求解图示系统在力偶M作用下位于图示位置平衡时的铅垂力F。2021年12月14日理论力学CAI4702RvvBA02Rvc 圆盘重力不做虚功0W045cos0OCBWvFvMRWRMF22021年12月14日理论力学CAI48FExFBD 平面平衡结构，已知力平面平衡结构，已知力F，平面平面力偶力偶m，ABL，BC2L，CDED，BD为水平，不计自重及摩擦。为水平，不计自重及摩擦。求：（求：（1）BD杆内力；杆内力； （2）铰链）铰链E处的水平约束力。

18、处的水平约束力。2021年12月14日理论力学CAI49解：解：1、切断、切断BD杆，代之以内力杆，代之以内力30cosBCvv 30cos2121BCDvvv分析力作用点的虚速度分析力作用点的虚速度之间的关系之间的关系2021年12月14日理论力学CAI500W060cos30cosCDDBBBDBFvvFvFvLmBBBBDvLmFvvF60cos30cos)30cos211 (2LmFFBD4385LmFFBD585322021年12月14日理论力学CAI512、解除铰链解除铰链E处水平约束，处水平约束， 代之水平约束力代之水平约束力CEBvvv0W0EExBvFvLmLmFEx分析力作

19、用点的虚速度分析力作用点的虚速度之间的关系之间的关系2021年12月14日理论力学CAI52 图示平面平衡系统，已知图示平面平衡系统，已知AB1.5L，BDDEL，AB、DE处于处于水平位置。水平位置。F作用在作用在DE中点，中点，q为均为均匀载荷，滑块匀载荷，滑块E E与接触面的摩擦系数与接触面的摩擦系数为为0.7，不计所有刚体的重量。，不计所有刚体的重量。求：求： 固定端固定端A处的约束力。处的约束力。2021年12月14日理论力学CAI531. 解除水平约束，解除水平约束， 代之水平约束力。代之水平约束力。分析力作用点的虚速度分析力作用点的虚速度之间的关系之间的关系设设E点不动，确定点不

20、动，确定B、D点点的虚速度的虚速度oDoBvv3060coscos 0W03021oDBAxvFvFcos2021年12月14日理论力学CAI5406021oBBAxvFvFcos0BvFFAx412021年12月14日理论力学CAI552. 解除垂直约束，解除垂直约束， 代之垂直约束力。代之垂直约束力。分析力作用点的虚速度分析力作用点的虚速度之间的关系之间的关系设设E点不动，确定点不动，确定B、D点点的虚速度的虚速度DBvv 0W0302151oDBBAyvFvqLvFcos.2021年12月14日理论力学CAI560302151oDBBAyvFvqLvFcos.0Bv4351FqFAy.2

21、021年12月14日理论力学CAI573. 解除转动约束，解除转动约束， 代之转动约束力偶。代之转动约束力偶。分析力作用点的虚速度分析力作用点的虚速度之间的关系之间的关系设设E点不动，确定点不动，确定B、D点点的虚速度的虚速度DBvv 0W03021215132oDBBAvFvqLLvMcos.2021年12月14日理论力学CAI58FqLLMA338303021215132oDBBAvFvqLLvMcos.0Bv0434332FqLLMA2021年12月14日理论力学CAI597. 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件广义坐标广义坐标第第i个质个质点的矢径点的矢径)(f2

22、1q ,q ,qq )(t ,q,q,qrrf21ii 选择选择 f 个广义坐标个广义坐标 q1 q2 qf 以确定系统内以确定系统内各个质点的位置。各个质点的位置。 第第i个质点个质点 的虚位移的虚位移jn1jjiiqqrr2021年12月14日理论力学CAI60主动力的虚功用广义坐标表示为主动力的虚功用广义坐标表示为in1iirFWjnijiif1jjfjjin1iiqqrFqqrFW )()(11f,2 , 1jqrFQnijiij1令Qj 称为与第称为与第j个广义坐标个广义坐标qj对应的广义力。对应的广义力。2021年12月14日理论力学CAI610qQWjf1jj虚位移原理的另一种表

23、达形式虚位移原理的另一种表达形式虚功形式虚功形式虚功率形式虚功率形式0qQPjf1jj2021年12月14日理论力学CAI62用广义力表示的质点系平衡条件为用广义力表示的质点系平衡条件为 受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为：受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。所有与广义坐标对应的广义力均等于零。f,2 , 1j0Qj具体计算广义力有三种方法具体计算广义力有三种方法2021年12月14日理论力学CAI63（1）公式法f,2 , 1jqrFQnijiij1)(11jiizjiiynijiixnijiijqzFqyFqxFqrFQ2021年12

24、月14日理论力学CAI640qqqqq0qf1j1j21j ，当当时，时， 则广义力为：则广义力为：（2） 虚功法jn1iijqWQ2021年12月14日理论力学CAI650qqqqq0qf1j1j21j ，当当时，时， 则广义力为：则广义力为： 虚功率法jn1iijqPQ2021年12月14日理论力学CAI66系统有几个自由度？2021年12月14日理论力学CAI67自由度 15-13=22021年12月14日理论力学CAI682021年12月14日理论力学CAI69 在图示机构中，已知：匀质细杆AC和BC长均为L，质量均为m。若在滑块B处作用一水平常力。试用虚位移原理求系统的广义力。202

25、1年12月14日理论力学CAI70系统自由度为1，取 为广义坐标。 cos2LxB sin 2L xBsin2LyD cos2L yDsin2LyE cos2L yEcossin2BDmgLFLxPymgymgWQE2021年12月14日理论力学CAI71 图示结构位于铅垂面内，由有相同的匀质细杆组成。已知：杆长均为L，质量均为m，作用两力偶矩均为M的力偶。试用虚位移原理求系统的广义力。2021年12月14日理论力学CAI72自由度为2，取 和 y 为广义坐标。 00yMmgLWQycos23)()(2021年12月14日理论力学CAI7300yMmgLWQyyyycos21)()(2021年

26、12月14日理论力学CAI74 平面机构，在力F、力偶M1、M2 作用下，在图示位置平衡，设OA = r，处于垂直，CD与OA平行，不计自重。若M1已知，试用虚位移原理求M2与F的大小。2021年12月14日理论力学CAI75解：1. 先使CD杆不动， 则C点的虚速度为零。 CAArCvvvvCAAevvv021ABOAmm0WCAAvv0600cos2021年12月14日理论力学CAI76OACArv21ABCArv2ABOA4 021ABOAmm124mm 0WCAAvv0600cos2021年12月14日理论力学CAI772. 先使OA杆不动，则A点的虚速度为零 。rCACvvveCAv

27、v:1yABCrv230cos34ABCrv0W02ABCmFvrmrmF123432021年12月14日理论力学CAI78势力场中质点系的平衡条件及稳定性势力场中质点系的平衡条件及稳定性 如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力，如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力，其势能函数可以表示为广义坐标的函数其势能函数可以表示为广义坐标的函数 将广义力的表达式写成分量的形式将广义力的表达式写成分量的形式),(f21qqqVV ，iiziiyiixzVFyVFxVF1. 势力场中质点系的平衡条件势力场中质点系的平衡条件2021年12月14日理论力学CAI79jjiijiinijiijqVqzzVqyyVqxxVQ)(1)(11jiizjiiynijiixnijiijqzFqyFqxFqrFQ2021年12月14日理论力学CAI80 势力场中的势力场中的广义力广义力 势力场中，对应于第势力场中，对应于第 j个广义坐标个广义坐标 qj的广义力的广义力等于系统势能对这一广义坐标的偏导数的负数。等于系统势能对这一广义坐标的偏导数的负数。jjqVQ2021年12月14日理论力学CAI81势力场中质点系平衡的充要条件为：势力场中质点系平衡的充要条件为：f,2 , 1j0qV