基础物理动量与角动量

1、本章作业：习题本章作业：习题3.2，3.4，3.8，3.16，3.17，3.22第第3章章 动量与角动量动量与角动量 Momentum and Angular Momentum2 21 1、牛顿第一定律（惯性定律）、牛顿第一定律（惯性定律）2 2、牛顿第二定律、牛顿第二定律3 3、牛顿第三定律、牛顿第三定律常见的力学问题分为两类：常见的力学问题分为两类：1,Frv ） 已 知求。2, rFv ） 已 知求。一、牛顿运动定律及其应用一、牛顿运动定律及其应用二、非惯性系中的力学定律、惯性力二、非惯性系中的力学定律、惯性力非惯性系中的力学规律：非惯性系中的力学规律：适用范围：适用范围：质点、宏观、低

2、速、惯性系质点、宏观、低速、惯性系amfF 惯惯惯性力：惯性力：amf 惯惯第第3章章 动量与角动量动量与角动量 Momentum and Angular Momentum 本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推导本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推导相相应的应的两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应用。下一两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应用。下一章讨论能量。章讨论能量。 力的时间积累（冲量）引起动量的变化；力矩的时间积力的时间积累（冲量）引起动量的变化；力矩的时间积累引起角动量的变化。累引起角动量的变化。 能量、动量和角动量是最基本的物理量。它们的守恒定能量、动量和角

3、动量是最基本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。律是自然界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。动量描述平动，角动量描述转动。动量描述平动，角动量描述转动。43.5 3.5 质心运动定理质心运动定理 质心参考系质心参考系3.1 3.1 冲量冲量与与动量定理动量定理3.2 3.2 动量守恒定律动量守恒定律3.4 3.4 质心质心3.6 3.6 质点的角动量质点的角动量和角动量定理和角动量定理3.7 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律3.8 3.8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理3.9 3.9 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量3.3 3.3

4、 火箭飞行原理火箭飞行原理目目 录录3.1 3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律ddpFtdF t表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合外力合外力 的的冲量冲量。FIF tdd1 1）微分形式：）微分形式：2 2）积分形式：）积分形式：21dttIFt若为恒力：若为恒力：IFt一一、 冲量冲量 impulseimim二、二、动量定理动量定理ddFtp1 1）微分形式：）微分形式：ddFtp2 2）积分形式：）积分形式：2211ddtptpF tp对上式积分，对上式积分，在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。在一个过程中，质点所

5、受合外力的冲量等于质点动量的增量。21dttF tp 动量定理的动量定理的积分形式积分形式即：即： 1 1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。2Ip、与同 向 。3 3、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。三、三、动量定理分量形式动量定理分量形式xxttxxpptFI1221dyyttyypptFI1221dzzttzzpptFI1221d 系统系统所受合外力的冲所受合外力的冲量在某一方向上的分量等量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分于系统动量在该方向上分量的增量。量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式为为说明说明1) 1) 冲

6、力冲力 : : 碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。212121dttF tpppFtttt若冲力很大若冲力很大, , 其它外力可忽略时其它外力可忽略时, , 则：则：若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时, ,则则 是是合外力的平均。合外力的平均。F2) 2) 平均冲力平均冲力 : : 冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：pFt四、四、动量定理的应用动量定理的应用 1t2toFtF89【例例3.1】质量质量m=140g的垒球以速

7、率的垒球以速率 v = 40m/s沿水平方向飞向沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角击球手，被击后以相同速率沿仰角 60飞飞出。求棒对垒球的出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为平均打击力。设棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。1v2v6010 因因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。打击力的冲量决定。打击力冲量打击力冲量12vvmmtF 重力重力、阻力的冲量可以忽略。、阻力的冲量可以忽略。合力冲量合力冲量60F t1mv2mvF t11)N(101.8102.130cos4014.02

8、30cos233tmFv平均打击力约为垒球自重的平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，物体之间倍！在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。的碰撞冲力是很大的。12vvmmtFm=140gvvv123060F t1mv2mvvFmmd 解解 选取选取dt时间内落入时间内落入车厢的煤车厢的煤 d m 为研为研究对象究对象。取。取水平向右为正。水平向右为正。 dt 时间内水平总动量的增量：时间内水平总动量的增量： 0v-ddmp 由动量定理得：由动量定理得：mptfdddv)N(15003500ddvtmF【例例3.2】一一辆装煤车以辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每

9、秒落的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为入车厢的煤为m = 500 kg。如果使车厢的速率保持不变，应用如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计（摩擦忽略不计)对于车厢对于车厢，在，在dt 时间内，受牵引力时间内，受牵引力F，和煤对它的摩擦力，和煤对它的摩擦力()d0Fft即即质点系所质点系所受外力矢量和等于受外力矢量和等于系统总动量的变化率。系统总动量的变化率。ddpFt内力内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。的改变无贡献。说明说明3.2 动量守恒定律动量守恒定律一、质点系一、质点系j

10、iijff 内力：内力：由由N个质点构成的系统个质点构成的系统2、过程中包括的质点不变、过程中包括的质点不变Nji, 2 , 1, 外力：外力：jiFF,imjm1、内力和外力、内力和外力jro惯性系惯性系irijfjifjFiF二、二、质点系的动量定理质点系的动量定理iipp：总动量：总动量iiFF：外力矢量和：外力矢量和14iiijijptFfd dd d对第对第 i 个质点个质点)(,0ijiijf证明：证明：iiiiijijptFfd dd d,)(,iiijiiiijptFfd dd d,iiiiptFd dd dimjmijfjifirjro惯性系惯性系jFiFipjp对质点求和对

11、质点求和（内力矢量和为（内力矢量和为零）零）（惯性系）（惯性系）tpFdd即即知，知，由由tpFdd 时时当当0 F0dd tp动量守恒定律动量守恒定律, 0 iF2 2、 有有以下几种情况：以下几种情况：不受外力。不受外力。C p则：则：C11iNiiNiimpv即即系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。 外力矢量和为零。外力矢量和为零。1 1、 并不并不意味着每个质点的动量是不变的。意味着每个质点的动量是不变的。 CpF 时时，0注意注意三、三、质点系的质点系的动量动量守恒定律守恒定律3 3、各速度应是相对同一惯性参考系各速度应是相对同一惯

12、性参考系。常常量量 xxpF0常量常量 yypF0 内力内力 外力。外力。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。 若系统所受若系统所受的外力矢量和虽然的外力矢量和虽然不为零不为零, ,但其在但其在某一某一 方向的分量为零方向的分量为零, ,则系统在该方向上动量守恒。即：则系统在该方向上动量守恒。即：5 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。每当出现违反动、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。每当出现违反动量守恒的反常现象时，总是提出新的假设来补救，结果也量守恒的反常现象时，总是提出新的假设来补救，结果也总是以有所新发现而胜利告终。总是以有

13、所新发现而胜利告终。 实验实验表明：表明：只要系统不受外界影响只要系统不受外界影响, ,这些过程的动量守恒。这些过程的动量守恒。4 4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如光子与电子的、对那些不能用力的概念描述的过程，例如光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，碰撞、衰变、核反应等过程，【例例】在在 衰变中，反中微子的发现衰变中，反中微子的发现 - -e eX XY1AZAZ17 静止静止的原子核发生的原子核发生衰变放出电子时，按动量守恒，反冲衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应该沿电子的反方向运动；但云室照片显示，两者径迹不核应该沿电子的反方向运动；但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上，为解

14、释这一反常现象，在一条直线上，为解释这一反常现象，1930年泡利提出了中年泡利提出了中微子假说，由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极微子假说，由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到难测量，直到1956年人们才首次证明了中微子的存在。又如年人们才首次证明了中微子的存在。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似乎也是不守恒的，这时物理学家把动量的概念推广到了电磁乎也是不守恒的，这时物理学家把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。动量场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了

15、。动量守恒定律对宏观、微观，低速、高速的各种情景均适用。守恒定律对宏观、微观，低速、高速的各种情景均适用。1819【例例3.33.3】质量质量为为m1 ，仰角为，仰角为 的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m2 的炮的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u ，不计摩擦不计摩擦。 求求 1）炮弹出口时炮车的速率炮弹出口时炮车的速率v1 。 2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离发射炮弹过程中，炮车移动的距离( (炮炮身长为身长为L ) ) 。 解解 1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。gm2Lu由由x方

16、向方向的动量守恒可得：的动量守恒可得：02211xmmvv由相对速度：由相对速度：12vv u得：得：12cosvvux0)cos(1211vvummgm1N水平方向不受外力，系统总动量沿水平方向不受外力，系统总动量沿 x 分量守恒。分量守恒。设炮弹相对地面的速度为设炮弹相对地面的速度为v2 。yxO车对地弹对车弹对地vv u解得：解得：cos2121ummmv“”号表示炮车反冲速度与号表示炮车反冲速度与x 轴轴正向相反。正向相反。2）若以若以u ( t ) 表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮 车车的速率，则此时炮车相对地面的速率的速率，则此时炮车

17、相对地面的速率cos)()(2121tummmtv设炮弹经设炮弹经 t 秒出口，在秒出口，在 t 秒内炮车沿水平方向移动了：秒内炮车沿水平方向移动了：ttttummmttS021201d)(cosd)(v cos212LmmmS 22应用动量守恒定律的标量式有应用动量守恒定律的标量式有：x 方向方向： mv11 + 0 = mv12 cos +Mv22cos y方向方向： 0 = mv12sin Mv22sin 解得解得粒子散射的速度与其初速度之比粒子散射的速度与其初速度之比【例例3.4】一个一个粒子与一静止的氧原子核碰撞后，沿着与最初粒子与一静止的氧原子核碰撞后，沿着与最初运动方向成运动方向

18、成72角的方向被散射出来，而氧原子则在另一边沿角的方向被散射出来，而氧原子则在另一边沿41角的方向反冲，试求角的方向反冲，试求粒子散射的速度与其初速度之比。粒子散射的速度与其初速度之比。解：解：粒子粒子+氧原子核组成一个系统，在它们发生相互作用的过氧原子核组成一个系统，在它们发生相互作用的过程中，外力程中，外力 = 0,故系统总动量守恒。故系统总动量守恒。1211410.71(7241 )sinsinsinsinvv()233.3 3.3 火箭飞行原理火箭飞行原理 “ “神州神州”号飞船升空号飞船升空24质点系选：质点系选：(M+dM , dm)设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：设火箭在自由

19、空间飞行，系统动量守恒：)()(vvvvd dd dd dMMumM)()(vvvd dd dd dMMuMMm md d)(uvMMd d vv dt时刻时刻)(ttd d 时刻时刻：dm相对火箭体喷射速度，定值。相对火箭体喷射速度，定值。uMmd dd d vvvvvvd dd dd dd dd dd dMMMMMuMM0MudMdv25,MMuddvfiifMMulnvvffiMiMMMuddvvv提高速度的途径：提高速度的途径：1、提高气体喷射速度、提高气体喷射速度u；2、增大、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭，终速度为（受限制），采用多级火箭，终速度为设火箭质量比设火箭质量

20、比fiMMN ，火箭增加的速度为火箭增加的速度为Nuiflnvv332211lnlnlnNuNuNuv2626火箭体对喷射的气体的推力：火箭体对喷射的气体的推力：t td dd dd dd dmutum)(vv【思考思考】自由空间火箭质量随时间变化，应用牛顿自由空间火箭质量随时间变化，应用牛顿定律，定律，求出求出0ddddd)(dtmtmtmvvvfiifmmvv 错在哪里？错在哪里？喷射的气体对火箭体的推力：喷射的气体对火箭体的推力：t td dd dmuF 3.4 3.4 质心质心一、质心一、质心N 个质点组成的系统个质点组成的系统Njimmmm.1、位矢分别为位矢分别为 1.ijNrrr

21、r、1 12 212.N NcNm rm rm rrmmm定义：质点系质心的位矢定义：质点系质心的位矢即即对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 dcrmrMx1mzy Nmjmim Oir11NiiiiicNiim rm rrMmxzyOcrcdmrMmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐标系中：在直角坐标系中：1）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。）有些物体的质心可能不在所求的物体上。注意注意【例例3.5】一一长为长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度，密度分布不均匀的

22、细杆，其质量线密度 , 为常量，为常量，x 从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。Lx0 0 解解:取取细杆的左端为坐标原点，在细杆的左端为坐标原点，在距离坐标原点为距离坐标原点为 x 处取微元处取微元 d x。xLxxmddd0 LxLxmML00021dd LMxLxMmxxLc32dd002 oxmdx3)重心重心(Center of gravity)是重力合力作用点，尺寸不大的物体，是重力合力作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合。质心与重心重合。29【例例3.6】半圆质心半圆质心 。一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆形铁丝的质心。求此半

23、圆形铁丝的质心。任取一小段铁丝，其长任取一小段铁丝，其长度为度为dl，质量为，质量为dm，以，以表示铁丝的线密度表示铁丝的线密度lmdd0 ,cx dcylym0sindRRm 22 Rm22RR2/cyR解：解：建立如图坐标系。建立如图坐标系。【例例3.73.7】确定确定半径为半径为R的均质半球的质心位置。的均质半球的质心位置。解：解：建立如图所示坐标。建立如图所示坐标。已知薄圆盘的质心位于圆心，取厚度已知薄圆盘的质心位于圆心，取厚度为为dy的薄圆盘为质量微元的薄圆盘为质量微元, ,ddmVRxyOdymmyycd2203()d2/3RyRyyR3/4d30222RyyRR83R质心在对称轴

24、上距质心在对称轴上距球心球心3R/8处。处。22dRyy3131一一、质点系的动量、质点系的动量由质心位矢由质心位矢i icmrrM对对 t 求导，得：求导，得：ddddiiiiccrmmrttMMvviipmvccppMv质心的动量等于质点系的总动量质心的动量等于质点系的总动量 3.5 3.5 质心质心运动定理运动定理二、二、质心运动定理质心运动定理（惯性系）（惯性系）caMtpFd dd d由两个质点组成的质点系由两个质点组成的质点系2121111dd:trmfFm2222222d:drmFfmt120ffN 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：22ddiiirFmt221212122

25、2ddddrrFFmmtt22d()di im rt22()ddi im rMtM 质心运动定理质心运动定理cFM aiFF22ddcrMt1f2F1F2m1m2f35 质心运动定理质心运动定理1 ) 1 ) 质点系质点系质心的运动，只取决于外力的矢量和质心的运动，只取决于外力的矢量和，内力无影响。，内力无影响。2 ) 2 ) 当当0F 外时，时，质心的加速度与把全部质量集中在质心质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。的质点的加速度相同。4 ) 4 ) 质心运动定理只能描述质心的运动情况，质心运动定理只能描述质心的运动情况，而每个质点的实而每个质点的实 际运动应是质心运动与该质

26、点相对质心运动的叠加。际运动应是质心运动与该质点相对质心运动的叠加。3 3 ）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了 物体中各质点相对质心的运动。物体中各质点相对质心的运动。说明说明cFM a 外外【例例3.8】如如图所示，浮吊的质量图所示，浮吊的质量M = 20 t，从岸上吊起，从岸上吊起m = 2 t的的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由由600转到转到300 ，设杆长，设杆长l = 8 m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。离。

27、取质心为坐标原点。设取质心为坐标原点。设 在由在由600 转到转到300 时，吊车在水平方向上移动的距离为时，吊车在水平方向上移动的距离为x1 ，重物移动的距离为重物移动的距离为x2 。 解解 取吊车和重物组成的系统为研究取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外力为零，质点对象。由于系统所受的合外力为零，质点系的质心保持原来的静止位置不动。系的质心保持原来的静止位置不动。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在 = 60 0 时时0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266. 0)30sin60(sin001 mMmlx

28、在在 = 30 0 时时：0)()(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x06038【例例3.9】已知已知1/4 圆圆 M，m由静由静止下滑，求止下滑，求t1t2 过程过程 M 移动的移动的距离距离 S .解：解：选选（M+m）为体系为体系水平方向合外力水平方向合外力=0，水平方向质心，水平方向质心静止。静止。OMm-Rt1xmMmRMxX 1体系质心体系质心OMmx-St2 -S体系质心体系质心 mMmSSxMX 221XX 质心静止质心静止RmMmS M 移动的距离移动的距离 t1时刻时刻t2时刻时刻39三、三、质心参考系（质心系）质心参考系（质心系）

29、质心静止的平动参考系称为质心系。通常总是选质心为坐标质心静止的平动参考系称为质心系。通常总是选质心为坐标原点。原点。imircro c质心质心ir 分析力学问题时，利用质心系是方便的。分析力学问题时，利用质心系是方便的。Niiim10vNiiirm10 相对质心系，质点系的总动量为零。质心系是相对质心系，质点系的总动量为零。质心系是“零动量系零动量系”。在质心参考系中在质心参考系中40【例例】在光滑平面上，在光滑平面上， m1 和和 m2以以 v1 和和 v2 碰碰撞后合为一体撞后合为一体（完全非弹性碰撞）。（完全非弹性碰撞）。求碰撞求碰撞后二者的共同速度后二者的共同速度v。在质心参考系观察，

30、碰。在质心参考系观察，碰撞前后二者的运动如何？撞前后二者的运动如何？m1m2v1v2v质心系和惯性系是两个不同的概念。质心系和惯性系是两个不同的概念。 质心系质心系可能是，也可能不是惯性系！可能是，也可能不是惯性系！411、在惯性系中观察、在惯性系中观察碰撞前质心速度碰撞前质心速度212111mmmmcvvv无无外力，质心速度不变。碰撞后二者共同外力，质心速度不变。碰撞后二者共同速度为质心速度速度为质心速度212111mmmmcvvvv0m1m2CvCv1v2vr2r1碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后422、在质心系中观察、在质心系中观察碰后二者相对静止：碰后二者相对静止：C质心系是零动量系。质心系是

31、零动量系。碰前二者速度共线反向：碰前二者速度共线反向：2211vvmmC11vm22vm3.6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理sinvLm r 大小大小：方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。SI 中中 ： kgm 2 / s质点的角动量与质点的角动量与参考点的选择参考点的选择有关。有关。定义定义: :r质量为质量为m的质点以速度在空间运动，某时刻对的质点以速度在空间运动，某时刻对O 点点的位矢为的位矢为 ，则它则它对对O 点的角动量点的角动量( ( 动量矩动量矩 ) ) 为为：v一一、质点的角动量、质点的角动量vLrprm 1、矢量矢量性性2、相对性相对性原点

32、原点O 选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。Angular MomentumOrP LyzxzpypLzxyxpzpLzyxpppzyxkjiprLxyzypxpL 3、 的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式L4、两两个特例个特例做圆周运动质点做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL2rmrmLv大小：rvOmzL方向：方向： 与与 同同向，垂直于转动平面，向，垂直于转动平面， 与质点与质点转动绕向成转动绕向成右手螺旋关系。右手螺旋关系。LL做做匀速率圆周运动匀速率圆周运动的质点的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动

33、量是恒量。做直线运动质点的角动量做直线运动质点的角动量 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。 vLrprm 大小：大小：sinrmLv方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。t时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：vLrprm 大小：大小：2sinrmLv方向：与方向：与 同同向。向。L1 1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则则LC 。2 2）若）若O 取在直线上，则：取在直线上，则：0L 。 sinrt 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为： mpr2 ormp sinrmv 讨论讨论二、质点的角

34、动量定理二、质点的角动量定理1 1、力矩、力矩FdFrM sin1 1）大小：）大小： ，d 为力臂。为力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。 质量质量为为 m 的质点在力的质点在力 的的作用作用下作曲线运动。下作曲线运动。力力 对参考点对参考点O 的的力矩力矩 为为: :FFMMrFSI 中中 ：NmOr MF sinr2 2）在直角坐标系中）在直角坐标系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM xyzijkrFxyzFFF 3）相对性：依赖于参考点相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。12inMrFrFrF 4）作用于质点的作用于质点的合合外力矩外力矩等

35、于等于合外力合外力的力矩。的力矩。12()nrFFFrFM 合合2、质点的角动量定理质点的角动量定理prL 将角动量将角动量 对对时间求导，可得：时间求导，可得：ddddrpprttvprFdd()ddLrptt ddLMrFt 质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。ddLrFt 0vp 微分形式微分形式ddM tL 积分形式积分形式2211ddLtLtLMt 21dttLMt 角动量定理角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。 21tttM d 表示表示作用于质

36、点上的力矩在作用于质点上的力矩在（t 2t 1）内的内的时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。ddLMrFt 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩d0,0dLMLCt 则则，。 若若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1 1、孤立体，、孤立体，0,0iifM

37、 外外外外。2 2、有心力，、有心力， 与与位矢位矢 在在同一直线同一直线上上 。f外外r0rf 外外3 3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时， 则则质点的角动量沿此方向的分量守恒。质点的角动量沿此方向的分量守恒。则则例：若例：若CLMxx ,0讨论讨论 rr 1|2Srr 1|2Srr 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，用下沿椭圆轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积常常量量常常量量， tSLdd由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒1s

38、in2Sr r 【例例3.10】利用利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积太阳的径矢在单位时间内扫过的面积( (面积速度面积速度) )是常量是常量。t0t0dS1 |1dlimlim|d22dSrrrrtttt 面积速度面积速度: :11|222vvLrrmmm51开普勒是德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和开普勒是德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家。在天文学方面做出了巨大的贡献。开普勒是继哥哲学家。在天文学方面做出了巨大的贡献。开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面白

39、尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物。有突破性成就的人物。 52531 1、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒动量不守恒，动能守恒 (B)动量守恒，动能不守恒动量守恒，动能不守恒 (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒对地心的角动量守恒，动能不守恒 (D)对地心的角动量不守恒，动能对地心的角动量不守恒，动能守恒守恒 2 2、一质点作匀速率圆周运动时，、一质点作匀速率圆周运动时，(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变它的动量不变，对圆

40、心的角动量也不变 (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变它的动量不变，对圆心的角动量不断改变 (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变它的动量不断改变，对圆心的角动量不变 (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变改变 3 3、将一质量为、将一质量为m m的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住先使小球以光滑水平桌面上的小孔用手拉住先使小球以角速度角速度1在桌在桌面上做半径为面上做半径为r1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为小为r

41、2，在此过程中小球的动能增量是，在此过程中小球的动能增量是_) 1(2122212121rrmr 【例例3.11】用用绳系一小球使它在光滑的水平面上作绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率匀速率圆周运圆周运动，动， 其半径为其半径为r0 ，角速度为，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地往。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。0 解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。 0MrF所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。00rmrmvv000rrvv0202 mr

42、mr 0220 rr 因为绳对小球的的拉力因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，沿绳指向小孔，则力则力 对对O 点的力矩点的力矩：55一、一、质点系的角动量质点系的角动量iLL ()iirp 质点系的角动量等于质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。各质点对同一参考点的角动量的矢量和。iiiLrp3 3.8 .8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理二、二、质点系的角动量定理质点系的角动量定理dd()ddiiLrptt dd()ddiiiirpprtt ()()iiiirFrf ()iiirFf 质点系所受质点系所受的外力矩矢量和的外力矩矢量和 质点系所受质点系所受的内的内力矩力矩

43、 质点系角动量质点系角动量的时间变化率的时间变化率 质点系所受质点系所受的外力矩矢量和的外力矩矢量和等于等于系统角动量对时间变化率系统角动量对时间变化率 。ddLMt iijMrf 作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。0 MMOijfirjifd jrd()diiLrFt ()iiMrF 令令 设设第第 i 个质点与第个质点与第 j 个个质点之间的相互作用力分别为：质点之间的相互作用力分别为：ijjiff和和 两质点相对参考点的位置两质点相对参考点的位置矢量分别为：矢量分别为：ijrr和和jjiMrf 则两个力对参考点的力矩为则两个力对参考点

44、的力矩为dfMij 大小：大小：dfdfMijij 大小：大小：方向：方向：方向：方向：微分形式微分形式LtMdd 积分形式积分形式LtMtt21d 质点系质点系角动量的增量等角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。于系统合外力矩的角冲量。d/ dLt 只只取决于系统所受的外力矩之和，取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量。的角动量，但不影响系统的总角动量。说明说明tLMddCLM时，0三、三、质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点系质点系不受外力矩作用

45、或所受外力矩对某参考点的力矩不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。1）质点系中各质点不受外力。质点系中各质点不受外力。合外力矩等于零可以分三种情况：合外力矩等于零可以分三种情况： 2）质点系中各质点受的外力都通过参考点。各质点受的质点系中各质点受的外力都通过参考点。各质点受的外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。3）各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。量和为零。 合外力为零不一定合外力矩等于零！合

46、外力为零不一定合外力矩等于零！说明说明59宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它们具有旋转盘状结构，宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它们具有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。成因是角动量守恒。盘盘 状状 星星 系系60球形原始气云具有初始角动量球形原始气云具有初始角动量L，L在垂直于在垂直于L方向，方向，引力使气云收缩，引力使气云收缩， 角动量守恒，粒子的旋转速度角动量守恒，粒子的旋转速度 ，惯性离心力，惯性离心力 ，离心力与引力达到平衡，离心力与引力达到平衡，维维持一定的半径。持一定的半径。 但在与但在与L平行的方向无此限制，平行的方向无此限制，所以形成了所以形成了旋转盘状结构。旋转盘状结构。 61 角动量守恒现象举例角动量守恒现象举例ORR1r2r1v2v1 2 221121vvmrmrLLL【例例3.9】两两人质量相等人质量相等, ,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？ 解解 选两人及轮为系统，选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。 产生力矩的只有重力。产生力矩的只有重力。21MMM 外外gmrgmr 212211sinsin mgrm