几何最值问题专题

1、几何最值一、常见几何最值问题有：（1）线段最值问题 （2）线段和、差最值问题 （3）周长最值问题 （4）面积问题二、解决几何最值问题的基本原理：（1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 （3）利用函数知识求几何最值三、练习：1、（2012山东莱芜）在ABC中，ABAC5，BC6若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 2、（2012四川广元）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，线段AB最短时，点B的坐标为（，）3、（2012山东济南）如图，MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其

2、中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（+1）4、（2012浙江台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】5、（2012广西贵港2分）如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是14。6、（2012浙江宁波）如图，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段

3、EF长度的最小值为 7、（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为【 120 】8、（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是19、（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中，A=90°，AD=4，连接BD，BDCD，ADB=C若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 410（2011辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(

4、3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a 时，ACBC的值最小11、（2009 年潍坊市）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是_ _12、（2008年兰州）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（4。8）  13、（09达州）在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为_ +114、（10年苏州

5、）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），C的圆心坐标为（-1，0），半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（2- ）15、（2011江西南昌7分）如图，已知O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）（1）求BAC的度数；（60）（2）求ABC面积的最大值（参考数据： ，.）16、（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为. 当 时，求弦PA、PB的长度；（、）当x为何值时

6、，的值最大？最大值是多少？（2）17、（2012四川自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值（最大值是）18、（2012四川南充8分）在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B，

7、(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。（4+2）19、（10宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为+1时，求正方形的边长20、（10晋江）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连

8、接MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连接OP若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？21、（2012浙江义乌）在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数； （90）（2）如图2，连接AA1，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；

9、（）（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值最小值为：EP1=BP1BE=BDBE=2。如图2，当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。22、（10年天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF

10、=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标a9、（09年郴州）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值（10年恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、

11、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂

12、直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用： 如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A 在O 上，ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_ （2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分线交BC于

13、点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程（2011陕西省12分）如图，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”是一个 三角形（2）如图、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“

14、折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？图 图 图 图（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由：（1）图（1）中过B作BCX于C，垂足为C；ADBC于D，垂足为D，则BC=40

15、，又AP=10，BD=BC-CD=40-10=30在ABD中，AD=502302=40，在RtPBC中，BP=CP2+BC2402，S1=402+10图（2）中，过B作BCAA垂足为C，则AC=50，又BC=40，BA'=402+5021041，由轴对称知：PA=PA'，S2=BA'=1041，S1S2（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，MB+MA=MB+MA'A'B，S2=BA'为最小（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B

16、'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，BG=40+10=50，AG=30+30+40=100，A'B'=1002+502505，AB+AP+BQ+QP=AB+AP+PQ+BQ=50+505，所求四边形的周长为50+505：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（-2，-1）坐标代入得k=12，所以正比例函数解析式为y=12x，同样可得，反比例函数解析式为y2x；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，12m），于是SOBQ=12OBBQ=12×12m×m=14m

17、2，而SOAP=12|（-1）×（-2）|=1，所以有，14m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（-2，-1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，2n），由勾股定理可得OQ2=n2+4n2=（n-2n）2+4，所以当（n-2n）2=0即n-2n=0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定

18、理得OP=5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（5+2）=25+4（10分）（1）证明：ABE是等边三角形，BA=BE，ABE=60°MBN=60°，MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE又MB=NB，AMBENB（SAS）（5分）（2）解：当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小（7分）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小（9分）理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60°，MB=NB，BMN是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（11分）（3）解：过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF=ABF-ABE=90°-60°=30°设正方形的边长为x，则BF=32x，EF=x2在RtEFC中，EF2+FC2=EC2，（x2）2+（32x+x）2=(3+1)2（12分）