第5章刚体的定轴转动

1、第第 5 章章刚体的定轴转动 2第第 5 5 章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 q刚体的运动刚体的运动q刚体的转动动能刚体的转动动能q转动惯量的计算转动惯量的计算q刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律q刚体定轴刚体定轴转动动能定理转动动能定理q对对定轴的定轴的角动量守恒定律角动量守恒定律q质点的角动量质点的角动量q角动量守恒定律角动量守恒定律3刚体的运动刚体的运动1.刚体模型刚体模型q无论在多大的外力下，无论在多大的外力下，形状形状和和体积体积均保持保均保持保持不变的理想物体称为持不变的理想物体称为刚体刚体。q刚体可看成是无数个质点构成的质点系刚体可看成是无数个质点构成的质点系q在刚体内部任意两

2、质点间的距离永远保持不在刚体内部任意两质点间的距离永远保持不变。变。q理想化模型理想化模型 4刚体的运动刚体的运动平 动 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。定轴转动 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动 刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动 复杂的运动与平动的混合。5刚体的运动刚体的运动q在一般情况下，刚体的运动是相当复杂的，在一般情况下，刚体的运动是相当复杂的， 但总可以分解为但总可以分解为两种两种最基本的运动，既：最基本的运动，既：刚体的平动

3、刚体的平动刚体的转动刚体的转动ABABCCoo o 轮子的平动轮子的平动ABCoABCo 绕过绕过o 轴的转动轴的转动o A B C 6刚体的运动刚体的运动2.刚体的平动刚体的平动q如果刚体内任意一条直线在刚体运动时始终如果刚体内任意一条直线在刚体运动时始终保持它的取向不变，则这种运动称为保持它的取向不变，则这种运动称为平动平动。如升降机的运动，汽缸中活塞的运动。如升降机的运动，汽缸中活塞的运动。刚体作平动时，刚体上所有的点运动状态完刚体作平动时，刚体上所有的点运动状态完全相同，所以刚体上任意一点的运动就可代全相同，所以刚体上任意一点的运动就可代表整个刚体的运动，刚体相当于一个质点。表整个刚体

4、的运动，刚体相当于一个质点。7刚体的运动刚体的运动3.刚体的转动刚体的转动q如果刚体上的各个质点在刚体运动中都绕如果刚体上的各个质点在刚体运动中都绕同同一直线一直线作圆周运动，则这种运动称为作圆周运动，则这种运动称为转动转动，该直线称为该直线称为转轴转轴。q本课程主要研究刚体转轴在空间不移动的转本课程主要研究刚体转轴在空间不移动的转动，即动，即定轴转动定轴转动。定轴转动参量定轴转动参量刚体转轴1. 角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2. 角位移3. 角速度常量静止匀角速变角速4. 角加速度变角加速常量 匀角加速匀角速用矢量表示 或 时

5、，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 转动方程求导例题转动方程求导例题单位 rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动积分求转动方程积分求转动方程任意时刻的恒量且 t = 0 时 得得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程线量与角量的关系线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ，刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小 瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量线

6、量与角量角量的基本关系12刚体的运动刚体的运动 线量线量角量角量rrva q复习已学过的复习已学过的线量与角量的对应关系线量与角量的对应关系dtd dtrdv dtvda dtd 2021attvs 2021tt q例题例题 P.14213刚体的转动动能刚体的转动动能q刚体可以看作是由无数个质点组成的，所有刚体可以看作是由无数个质点组成的，所有的质点都以相同的角速度的质点都以相同的角速度绕同一轴转动。绕同一轴转动。q对第对第 i 个质点，线速度个质点，线速度 vi = ri 具有动能具有动能ivim 221iikivmE 2221 iirm 14刚体的转动动能刚体的转动动能整个刚体的转动动能：

7、整个刚体的转动动能： ikikEE iiirm2221 22)(21 iiirm质点的动能公式质点的动能公式令令 iiirmJ2 221mvEk mv221 JEk 15刚体的转动动能刚体的转动动能q J 是一个与是一个与 m 对应的物理量，表示了刚体对应的物理量，表示了刚体转动时惯性的大小，称为刚体对给定转轴的转动时惯性的大小，称为刚体对给定转轴的转动惯量（简称转动惯量（简称转动惯量转动惯量）221mvEk 221 JEk 物理量物理量r rvam对应量对应量J16刚体的转动动能刚体的转动动能q例题例题 一根质量为一根质量为m=1.0kg、长为、长为l=1.0m的均匀的均匀细棒，绕通过棒的中

8、心并与棒相垂直的转轴以细棒，绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度角速度 =63rad/s在旋转，求棒的转动动能。在旋转，求棒的转动动能。解解 在此情况下，细棒对转轴的转动惯量为在此情况下，细棒对转轴的转动惯量为2121mlJ 转动动能转动动能221 JEk 11121 2103 . 8 )(2kgm2263103 . 821 )(107 . 12J 怎么算怎么算出来？出来？17M 转动惯量的计算转动惯量的计算q刚体对给定转轴的转动惯量刚体对给定转轴的转动惯量 iiirmJ2 dmrdJ2 MdmrJ2rdmqJ 的单位：千克的单位：千克米米2 （kgm2)q量纲：量纲：ML2 18转动惯量

9、的计算转动惯量的计算q由转动惯量由转动惯量 J 的表达式知道：的表达式知道：J 与与 M 的大小有关的大小有关 J 与与 M 的分布有关的分布有关J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关q计算刚体对定转轴的转动惯量的计算刚体对定转轴的转动惯量的关键关键是找出是找出 dm 的具体表达式。的具体表达式。q例题例题P.146，147q表表P.148 19刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律1. 力矩力矩q由力矩的定义由力矩的定义dFM sinrF q考虑到力矩的方向，考虑到力矩的方向，上式可写成矢量式上式可写成矢量式FrM d dz zFO OP Pr p p MFO Or 20刚体定轴转动定律刚体定轴转动

10、定律q力矩的单位：力矩的单位：Nm，不能写成焦耳，不能写成焦耳 J Rv rv sinr p p q线速度和角速度线速度和角速度的一般关系的一般关系FrM r vR O21刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律q如果外力不在垂直于转轴的转动平面内，可如果外力不在垂直于转轴的转动平面内，可以把它分解为两个分力，一个分力与转轴平以把它分解为两个分力，一个分力与转轴平行，它不使刚体转行，它不使刚体转动，另一个分力在动，另一个分力在转动平面内，使刚转动平面内，使刚体转动。体转动。22刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律q对刚体上第对刚体上第 i 个质点，个质点，应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律dtvmdFiii

11、)( dtrmdii)( rv dtrmdrFriiiii)( dtrmdii)(2 2. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 acbbcacba iiiiiidtrmdFr)(2 dtrmdiii )(2dtJdM)( 23刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律q对定轴对定轴d dz zFO OP Pr dtJdM)( dtJdM)( JM 称为刚体称为刚体对定轴的对定轴的转动定律转动定律dtdJ J 24刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律物理量物理量r rvam对应量对应量J JM amF 物理量物理量r rvamF对应量对应量JMq例题例题P.144，145 例题例题 质量为质量为m1和和m2的物

12、体通过一个定滑轮用轻绳相连。的物体通过一个定滑轮用轻绳相连。已知滑轮半径已知滑轮半径R，质量为，质量为M，假定绳子不可伸缩的轻绳，绳，假定绳子不可伸缩的轻绳，绳子与滑轮之间无滑动，滑轮轴处的摩擦力可忽略不计，求两子与滑轮之间无滑动，滑轮轴处的摩擦力可忽略不计，求两个物体的加速度、定滑轮角加速度及两段绳子中的张力个物体的加速度、定滑轮角加速度及两段绳子中的张力 研究对象：研究对象：m1和和m2物体、滑轮，受力分析如图所示。规物体、滑轮，受力分析如图所示。规定垂直向里为转轴的正方向定垂直向里为转轴的正方向 两个物体的动力学方程两个物体的动力学方程amgmTamTgm22211112OT RT RJ

13、Ra滑轮的转动方程滑轮的转动方程应用运动学关系应用运动学关系联合求解上面方程，得到定滑轮角加速度联合求解上面方程，得到定滑轮角加速度212OJMR12121/2mmgR mmM两个物体的加速度两个物体的加速度1212/2mmagmmM1222122/2/2m mm MTgmmM1211122/2/2m mm MTgmmM两段绳子中的张力两段绳子中的张力28刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理q力矩的功力矩的功 dFzrdr PrdFdA rdF cos rdF cos drF sin dM 物理量物理量r rvamF对应量对应量JM29刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理即是刚体转动的

14、动能即是刚体转动的动能 0dMA 0ddtdJ 0dJ2022121 JJ q例题例题P.153，154，155，156 )21(02 Jd221 JEk 0kkEEA q即合外力矩对定轴刚体所做的功等于刚体转即合外力矩对定轴刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。称为动动能的增量。称为刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理. . 例题例题 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为盘一起转动设唱片的半径为R，质量为，质量为m，它与转盘间

15、，它与转盘间的摩擦系数为的摩擦系数为 ，R求：求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度唱片达到角速度 时需要时需要多长时间；多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？动力矩做了多少功？lrRmgfddd2 解解 ( (1) ) 如图取面如图取面积元积元ds = drdl，该面元，该面元所受的摩擦力为所受的摩擦力为此力对点此力对点o的力矩为的力矩为lrrRmgfrddd2Rrdrdlfd 于是，在宽为于是，在宽为dr的的圆环上，唱片所受的摩圆环上，唱片所受的摩擦力矩为擦力矩为)2(dd2rrrRmgMRmgrrRmgM3

16、2d2R022rrRmgd222Rrdrdlfd( (3) ) 由由 可得在可得在 0 到到 t 的时的时间内，转过的角度为间内，转过的角度为( (2) ) 由转动定律求由转动定律求 ，( (唱片唱片J=mR2/2)RgJM34gRt43gR832（作匀加速转动）（作匀加速转动）2202驱动力矩做的功为驱动力矩做的功为2241mRMW由由 可求得可求得t034对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律dtJdM)( dtvmdF)( dtdp mvp JL 定义为刚体对定轴的定义为刚体对定轴的角动量角动量dtdLM 物理量物理量r r vamFp对应量对应量 JMLq令令35对定轴的角动量守

17、恒定律对定轴的角动量守恒定律skgm /212 TML对转动惯量变化的质点系即非刚体仍成立。对转动惯量变化的质点系即非刚体仍成立。 JL dtdLM 角动量的角动量的单位单位：角动量的角动量的量纲量纲： L常量常量2211 JJ 0 M时时q称为刚体对给定转轴的称为刚体对给定转轴的角动量守恒定律角动量守恒定律。36对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律qP.150P.150 回转仪回转仪 虽然刚体的角动量不变，但其转动惯量和角虽然刚体的角动量不变，但其转动惯量和角 速度均可以变化。速度均可以变化。q地球绕太阳的运转、地球绕太阳的运转、花样滑冰运动员、跳花样滑冰运动员、跳水运动员身体的旋转

18、水运动员身体的旋转或翻滚都满足角动量或翻滚都满足角动量守恒定律。守恒定律。q例题例题P.150，151，152 37质点的角动量质点的角动量q在刚体转动中，如果把转轴选在刚体外，并在刚体转动中，如果把转轴选在刚体外，并且离刚体很远时，刚体简化为一个质点。且离刚体很远时，刚体简化为一个质点。FrM FrM, 不一定沿转轴方向不一定沿转轴方向r F OmMdtvmdrM)( )(vmrdtd 38质点的角动量质点的角动量q令令定义为质点对点的定义为质点对点的角动量角动量vmrL pr dtLdM 称为质点的称为质点的角动量定理角动量定理一般情况一般情况r vz, OmLdtdLMzz zzJLL

19、刚体对定轴刚体对定轴 的角动量的角动量39m质点的角动量质点的角动量q质点质点 m 对空间任意一点对空间任意一点 O 的角动量的角动量vmrL pr rvO大小大小:方向方向: 右手螺旋定则右手螺旋定则vrL, sinrpL sinmrv L40质点的角动量质点的角动量q特殊情况特殊情况质点作圆周运动时，质点作圆周运动时，坐标原点取在转动的坐标原点取在转动的圆心上圆心上OrvPLmrv rpL rvmr2 zJ vr zL q例题例题P.87 90 41角动量守恒定律角动量守恒定律q质点对定点的质点对定点的角动量角动量和和转动定律转动定律 L常矢量常矢量0 M时时称为称为角动量守恒定律角动量守

20、恒定律dtLdM prL 注意注意 0 FrM有两种情况有两种情况0 F或或rFrF |,|q例题例题P.88，89 质点不受外力，必然沿着一条直线运动，速度保持不变质点不受外力，必然沿着一条直线运动，速度保持不变 Pag.87 证明一个不受外力作用的质点，对于任意固定点证明一个不受外力作用的质点，对于任意固定点的角动量保持不变的角动量保持不变 质点运动到质点运动到C点，对固点，对固定点定点O的角动量的角动量CLrmv角动量的大小角动量的大小sinCLr mvLr mvC 对于给定的点对于给定的点O，与质点的位置无关，与质点的位置无关 角动量的方向：垂直于由所角动量的方向：垂直于由所 决定的平

21、面决定的平面Crmv Pag.88 粒子在远处以速度粒子在远处以速度 入射一个重原子核，瞄入射一个重原子核，瞄准距离（重原子核到直线的距离）为准距离（重原子核到直线的距离）为b。重原子核的电量。重原子核的电量Ze。计算。计算 粒子被重原子核散射的角度粒子被重原子核散射的角度 0v重核的质量较重核的质量较 粒子大许多，可以认为粒子大许多，可以认为 粒子与重核作用的粒子与重核作用的过程中，重核静止不动的过程中，重核静止不动的 整个散射过程中整个散射过程中 粒子受到重核的库仑力粒子受到重核的库仑力05/08 设重核位于固定原点设重核位于固定原点O处，处， 粒子受到的库仑力大小粒子受到的库仑力大小22222kZeekZeFrr 方向沿方向沿 粒子的位矢方向粒子的位矢方向 库仑力始终通过固库仑力始