导数与微分 导数和微分是微积分学的主要组成部分是解决有关速和优化问题的有力工具PPT课件

1、第2.1节 导数的基本概念第2.2节 导数的运算第2.3节 微分第第2 2章章 导数与微分导数与微分 第2.4节 Mathematica环境下导数 与微分的计算第1页/共59页第2页/共59页第3页/共59页第4页/共59页第5页/共59页00limttvtstg一般来讲，一个函数 )(xfy 对应于一条曲线，曲线上的某一点 )(,(000 xfxP处的切线斜率 tan如果存在，则： xxfxxfxyxx)()(limlimtan00000t)(tss)(,(00tst处切线的斜率. 物体在 时刻的瞬时速度在几何上就是运动曲线 在点 tan的极限就是切线PM的斜率 tan，即： 如图2所示,割

2、线PT的斜率第6页/共59页第7页/共59页第8页/共59页注意 1.导数的实质就是函数的改变量比自变量的改变量当自变量的改变量趋于零时的极限值.(两个改变量必须相互对应)(xfy 0 xx 2.按导数的定义求函数 在 处的导数一般分为三步:)()(00 xfxxfy(1)求函数的改变量xxfxxfxy)()(00(2)求函数的平均变化率)(0 xfxxfxxfxyxx)()(limlim0000(3)取极限,求得导数第9页/共59页 例求函数 ( 为常数)的导数解: 利用导数定义求: 因为cy cy0ccy所以 0limlim00 xccxyxx即 0)(c第10页/共59页例求函数 的导数

3、 及解: 因为xysiny)0(y)2cos(2sin2)sin()sin(xxxxxxy于是 )2cos(2sin2)2cos(2sin2xxxxxxxxxy所以 00limlimxxxyxxxxxcos)2cos(22sin即 10cos)0(,cos)(sinyxx同理可求得 xxsin)(cos第11页/共59页第12页/共59页第13页/共59页例设函数 ,求 .解: 0,sin0,xxxxy) 0 (f于是 )0(f1)0(f由于在点 0 x两侧，函数的表达式不同，则需分别计算)0( f和 )0( f. 因为： ) 0(f10sinlim0)0()(lim00 xxxfxfxx)0

4、(f10lim0)0()(lim00 xxxfxfxx1)0( f即知 第14页/共59页例设函数 ,求 .解: 0,sin0,2xxxxy)(xf 当0 x时，xxxfcos)(sin)( 在0 x处，由于 )0(f00lim0)0()(lim200 xxxfxfxx)0(f10sinlim0)0()(lim00 xxxfxfxx因此 )0(f)0( f，故)0(f 不存在。综上知 0,cos0,2)(xxxxxf0 x时， xxxf2)()(2当第15页/共59页可导区间: 如果函数 在开区间 内每一点都可导,则称 在 内可导。如果 在 内可导,且在 处右导数存在(称 在 点右可导),在

5、处左导数存在(称 在 点左可导),则称 在闭区间 上可导,并称相应区间为函数 的可导区间.)(xfy ),(ba)(xf),(ba)(xfy ),(baax )(xfabx )(xfb)(xf,ba)(xf第16页/共59页第第2.22.2节节 导数的运算导数的运算函数四则运算的求导法则定理 设函数和 在点 处可导,则函数 , 以及 在 处也可导，且)(xu)(xvx)()(xvxu)()(xvxu)()(xvxu)0)(xvx（1）)()( )()(xvxuxvxu推广: ),(1xu),(2xu)(,xun若 在x处都可导，则 )()()( )()()(2121xuxuxuxuxuxunn

6、第17页/共59页证明: 由导数定义可知xxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxvxuxx)()()()(lim)()()()(lim )()(00)(xvx)(xu由于 和 在点 处可导，所以： )()( )()(xvxuxvxu同理可证 )()( )()(xvxuxvxu第18页/共59页(2),(1xu)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu推广: 若 在),(2xu)(,xunx处都可导，则 )()()()()()()()()( )()()(21212121xuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxunnnn第19页/共59页证明: 由导数定义可知 )()(xvx

7、uxxvxxvxuxxvxxuxxuxxvxuxxvxuxxxvxuxxvxxuxxvxuxxvxxuxxx)()()()()()(lim)()()()()()()()(lim)()()()(lim000由于 )(xu和 )(xv在点 x处可导， )(xv在点 x处连续，故有 )()(lim0 xvxxvx所以 )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu第20页/共59页)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv特别地，当 cxu)( 为常数)时，有 c)( )(xvcxcv)()()(2xvxvcxvc(3)第21页/共59页证明: xxvxuxxvxxu

8、xvxux1)()()()(lim)()(0)()(1)()()()()()(lim)()(1)()()()(lim00 xxvxvxxvxxvxuxvxxuxxuxxvxvxxxvxuxvxxuxx由于 )(xu和 )(xv在点 x处可导，且 )()(lim0 xvxxvx所以 )()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv第22页/共59页例 设 ,求 .解: ) 1, 0(logaaxyayxaxyalnln1log)0(1ln1lnln1)(logxxaxaxya所以因为第23页/共59页例 设 ,求 .解: 2sin2xxyy)2()sin()2sin(22x

9、xxxyxxxxxxxxcossin2)2()(sinsin)(222 第24页/共59页例 设 ,求 .解: xytany因为 xxxcossintan,由除法的求导法则，有: xxxxxxxxxxxxx222222seccos1cossincoscos)(cossincos)(sincossin)(tan类似地，可以求得下面的公式 xxxxxxxxcotcsc)(csc,tansec)(sec,csc)(cot2第25页/共59页第26页/共59页例 设 , 求 .解: |logxya, 1, 0aay当 0 x时，我们已求出 axxyaln1log当 0 x时，因为 )(log|logx

10、xyaa令 xu，则 , 0uuyalog于是根据链式法则有 axauxuuyyxuaxuxln1) 1(ln1)(log综合起来，有 )0, 1, 0(ln1|logxaaaxxa第27页/共59页例 设 为实数,求 .解: , 0,xxyy因为 xxeexylnln，令 xuln那么 uey ，由链式法则，有 1)ln(xxxxexeuyyuuxux第28页/共59页例 设 ,求 .解: )ln(22xaxyy)(2111)(11122222222222222xaxaxaxxaxaxxaxxaxy222222122111xaxxaxax第29页/共59页例 解: 设函数 可导， ，求 )(

11、xf22)(xxfy dxdy)(2)()(2)()()()(2 )()()(2 )()( 2)(222222222222222xfxxfxxfxxf xxfxxfxfxxfxxfxxfxxfxxfy第30页/共59页第31页/共59页例求圆 上点 处的切线方程。 解: 422 yx)2,2(022yyxyxy)2)(1(2xy即22xy所以切线的方程为2x2y1) 2( y代入 ， ，得x在方程两边同时对求导数：第32页/共59页例设 求 .解:, 0)sin(22xyyxy022)()cos(xyyyxyx即 022)1 ()cos(xyyyyx)cos(2)cos(2yxxyyxy所以)

12、cos(2)cos(2yxyyxxyx求导数，利用复合函数求导法则，得在方程的两边同时对第33页/共59页第34页/共59页例求 的导数 . xyarcsiny即 yy cos1，当 0cos)(sinyy时，有 1|11cos1)(sin12xxyyy所以211)(arcsinxxxyarcsinyxsinyxyyx )(sin导法则有的函数，那么由隐函数求是是一个隐函数，其中，这可以看成的反函数是解:由于第35页/共59页例求函数 的导数 .解: xyarctany因 xy tan，由反函数求导法则有 )(,11sec1)(tan1)(arctan22xxyyx类似地可得：)1|(,11)

13、(arccos2xxx）xxx(,11)cotarc(2第36页/共59页例用反函数求导法则求函数 ( )的导数 .xay1, 0aayaaayayaxyaxlnlnln11)(log1)(特别地，有 .)(xxeexay yaxlog，所以的反函数为解:因第37页/共59页第38页/共59页例设 ,求 .解:)0( xxyxy方法2 在xxy 两边同时取对数，有： xxylnln利用隐函数求导法，有 xxxyy1ln1所以 )ln1 ()ln1 (xxxyyx)ln1 ()ln(lnlnlnxxxxeeeyxxxxxxxNeNln，有 方法1 利用对数的恒等式第39页/共59页例设 ,求 .

14、解:xxysin)1 ( y两边同时对x求导数，有 xxxxyy1sin)1ln(cos1所以 1sin)1ln(cos)1 (sinxxxxxyx)1ln(sinlnxxy两边取对数，有第40页/共59页例设 ,求 . 解: )4)(3()2)(1(5xxxxyy两边取对数，有 |4|ln|3|ln|2|ln|1|ln51lnxxxxy两边同时求导数，有 41312111511xxxxyy所以41312111)4)(3()2)(1(515xxxxxxxxy第41页/共59页第42页/共59页第43页/共59页例设 ，求 。解： 5432xxyy 因为 , 46 xy6)46( xy所以 0)

15、6( y一般地，若 nnnnaxaxaxP110)(则 )., 1(0)(, !)()(0)(ZkkxPnaxPknnnn第44页/共59页例设 ，求解： xysin, 3 , 2 , 1,)(sin)(nxn)2sin(cos)(sinxxxy),22sin()2cos( )2sin( xxxy )2sin()2) 1(cos( )2) 1(sin()(sin)()(nxnxnxxynn类似地有 )2cos()(cos)(nxxn用同样归纳的方法还可以求出 )1()()(!) 1(1);0()(nnnxnnxxnxeennnnxnxx)!1() 1(1)(ln1)1()(第45页/共59页第

16、46页/共59页微分的定义 设有函数 ，若存在常数 ，使得对于自变量 的改变量，函数的改变量 可以表示为则称 在点 可微，并称 为 在点 处的微分，记为 或 ，即 )(xfAx)()(xfxxfy)0()(xxoxAy)(xf)(xfxxA xdy)(xdfxAdy或 xAxdf)(结论: 可微 可导，且 )(xfA. 第47页/共59页证明: :必要性: 设 在 处可微， ，由定义有 xAdy)(xfx)0()(xxoxAy于是 AxxoAxyxfxx)(limlim)(00所以 )(xf在 x处可导， 且 )(xfA充分性: 设)(xf在x处可导，由导数定义有： )(lim0 xfxyx即

17、 0)(lim0 xfxyx，于是 )(xfxy，其中 )0(0 x即 )()(xoxAxxxfy所以)(xf在x处可微， xAxxfdy)(第48页/共59页例设 , , ,求 , 及 .解:12)(2xxxfy20 x01. 0 xy) 2(fdy0601. 0) 1222(101. 22)01. 2() 2()222fxfy（62)22(2) 12()2(2xxxxxf06. 001. 06)2(xfdy第49页/共59页微分的运算 利用基本公式计算微分:dxxfdy)( 基本公式利用运算法则计算微分运算法则利用微分形式不变性计算微分微分形式不变性近似计算公式（1）xxfxfxxfy )

18、()()(000（2）xxfxfxxf )()()(000 第50页/共59页微分公式0)(cd dxxdx1adxadaxxln dxedexxdxaxdxaln1log| dxxxd1|lnxdxxdcossin xdxxdsincosxdxxd2sectan xdxxd2csccotxdxxxdtansecsec xdxxxdcotcsccscdxxxd211arcsin dxxxd211arccosdxxxd211arctan dxxxdarc211cot第51页/共59页运算法则设函数 都可微， 是常数，则)(),(xvxucdvduvud )(udvvduuvd)(cducud)()0(2vvudvvduvud第52页/共59页微分形式不变性若函数 和 均为可微函数，由微分定义和复合 )(ufy )(xu 函数求导法则，有 dxxufdy)()( ，而 dxxdu)( ，所以 duufdy )(无论u是自变量还是中间变量， 函数)(uf的微分 形式是 不变 的。这一性质称为微分形式的不变性。 第53页/共59页例求函数 的微分 .解: 方法1 xeyxcos dy先求y ，再求dy. 由于 xexexeyxxxsincos)cos( 所以 dx