曲线运动大学物理王纪龙

1、太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春一、抛体运动一、抛体运动1.1.直角坐标描述直角坐标描述 选地面为参考系，水平方向为选地面为参考系，水平方向为x轴，竖直方向为轴，竖直方向为y轴，出手点为坐标原点。轴，出手点为坐标原点。0 xy0vx0vy0vg已知已知0 xyaag 1-2 1-2 曲线运动曲线运动抛体运动可以看作是抛体运动可以看作是x方向的匀速直线运方向的匀速直线运动和动和y方向的匀变速方向的匀变速直线运动的直线运动的叠加。叠加。太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春积分得积分得0cosxtv201sin2ytgt v矢量形式为矢量形式为2012tgtv任意

2、时刻速度分量为任意时刻速度分量为cos0vv xgtysin0vvri tcos0vjgtt)21sin(20vicos(0vjgttj2021)sinv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春抛体运动还可以看作是初速度方向的匀速直线抛体运动还可以看作是初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。叠加。太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春2 .自然坐标自然坐标 做平面运动的质点，当做平面运动的质点，当运动轨迹运动轨迹已知时，采用已知时，采用自然坐标系自然坐标系描述。描述。 在轨道曲线上取定一点在轨道曲线上取定一点o o作为坐

3、标原点，以质作为坐标原点，以质点与原点间的轨道长度点与原点间的轨道长度s s来确定质点的位置，称来确定质点的位置，称s s为为自然坐标。自然坐标。质点运动时，位置质点运动时，位置)(tss 在在t到到t+ t时间内的路程时间内的路程)()(tsttsso)(ts)(tts就是自然坐标之差。就是自然坐标之差。太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春tevv 任意时刻，在质点所在处取相互垂直的单位任意时刻，在质点所在处取相互垂直的单位矢量矢量 和和 ， 沿轨道切向，指向质点运动的方沿轨道切向，指向质点运动的方向，向， 沿轨道法线方向，指向轨道的凹侧。沿轨道法线方向，指向轨道的凹侧。te

4、neneteteneo)(ts 和和 构成构成自然坐标系自然坐标系tene在自然坐标系中在自然坐标系中速度表示为速度表示为由加速度定义由加速度定义()tdedtvdtdav=ttdededtdtvv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春曲线上各点的自然坐标曲线上各点的自然坐标轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。yzo太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春可以证明可以证明2 tndaeedtvv总加速度总是指向运动轨道凹的一侧。总加速度总是指向运动轨道凹的一侧。0dtedtte的方向随时间变化，故的方向随时间变化，故dted

5、edtdattvvtenetanaa自然坐标系中加速度为自然坐标系中加速度为ntedtedv 为轨道在该点的曲率半径为轨道在该点的曲率半径dtdatv2vna太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春(1) at 等于等于0, an等于等于0, 质点做什么运动？质点做什么运动？(2) at 等于等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？(3) at 不等于不等于0, an等于等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？(4) at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？ 思考思考 讨论下列情况时，质点各作什么运动：讨论下列情

6、况时，质点各作什么运动：匀速直线运动匀速直线运动速率恒定的曲线运动速率恒定的曲线运动变速直线运动变速直线运动变速率曲线运动变速率曲线运动太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1） 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。（2） 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。(4) 运动物体的速率不变时，速度可以变化。运动物体的速率不变时，速度可以变化。（3） 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以不论加速度如何，平均速率的表达式总可以2/ )(21vvvv1是初速度，是初速度， v2

7、是末速度。是末速度。思考思考不正确，如抛体运动不正确，如抛体运动不正确不正确写成写成不正确不正确正确，速率恒定的曲线运动正确，速率恒定的曲线运动太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春tevv1.1.自然坐标描述自然坐标描述二、圆周运动二、圆周运动tdaedtvttdededtdtvvdtedt其中其中计算较为复杂，故分匀速率圆周运动计算较为复杂，故分匀速率圆周运动和变速圆周运动来讨论。和变速圆周运动来讨论。（1 1）匀速率圆周运动匀速率圆周运动匀速率圆周运动每一时刻的速率都相等。匀速率圆周运动每一时刻的速率都相等。太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春R0AvABv

8、BlvAvBv0 A B质点圆周运动的半径为质点圆周运动的半径为R，t时时刻在位置刻在位置A，t+t时刻在位置时刻在位置B， t时间内速度的增量为时间内速度的增量为AvvvB加速度加速度tatv0lim由于由于 与与 相似相似OABBAORlvv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春tvtvlR所以所以加速度的大小为加速度的大小为tv0tlima方向指向方向指向 的极限方向，即指向圆心。的极限方向，即指向圆心。 v 这个加速度反映了速度方向的改变，称为这个加速度反映了速度方向的改变，称为法向加速度。法向加速度。tv0tlRlimtv0tsRlimR2vR0AvABvBl太原理工大

9、学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春（2 2）变速圆周运动变速圆周运动变速圆周运动每一时刻的速率都在变化。变速圆周运动每一时刻的速率都在变化。质点质点t时刻、时刻、t+t时刻的位置分时刻的位置分别在别在A、B， t时间内速度的时间内速度的增量为增量为AvvvBR0BvBAvA将将 分解为分解为 和和 vnvtvtvvvnvAvBvCDEFnvtv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春ttttvvvn两边同除以两边同除以t两边取极限两边取极限tttattttvvvn000limlimlim加速度表达式中的第一项反映了速度方向的改加速度表达式中的第一项反映了速度方向的改变，即变

10、，即法向加速度；法向加速度；第二项反映了速度大小的第二项反映了速度大小的改变，方向就是速度的方向，称改变，方向就是速度的方向，称切向加速度切向加速度。切向加速度，沿轨道切线切向加速度，沿轨道切线ttedtdavnneRa2v法向加速度，指向圆心法向加速度，指向圆心太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春R0tanaantaaa大小大小22ntaaantaaarctg222Rdtdvv方向方向-与法向的夹角与法向的夹角太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春2.2.圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此做圆周运动的质点与圆心的距离不变

11、，因此可用一个角度来确定其位置，称为可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。角量描述法。 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、作半径为点、作半径为R的圆周运动，的圆周运动，以以ox轴为参考方向。轴为参考方向。 t时刻矢径与时刻矢径与ox轴的夹轴的夹角角，称称角位置。角位置。 t时间内质点转过的角度时间内质点转过的角度 称称角位移角位移， 规规定逆时针方向为正方向。定逆时针方向为正方向。 yox)(tA)(ttB + 太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春角速度为角速度为tt0limtdd角加速度角加速度为为讨论：讨论： 1) 角加速度角加速度 对对运动的影响：运动的影响

12、： 等于零，质点作匀速率圆周运动；等于零，质点作匀速率圆周运动； 等于常量，质点作匀变速圆周运动；等于常量，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。tt0limdtd22dtd太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春 2) 匀变速圆周运动匀变速圆周运动的基本公式的基本公式 设质点做半径为设质点做半径为R的匀变速圆周运动，已知的匀变速圆周运动，已知角加速度为角加速度为 ，且，且t=0=0时，时， = 0 0， = 0 0 由由 得得dtddtd两边积分两边积分00tdtdt0得角速度方程得角速度方程at0vv与与相对应相对应再由再由

13、dtd得得dtd太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春两边积分两边积分00tt)dtd0(得角运动方程得角运动方程20021tt20021attxvx与与相对应相对应结论结论：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明说明用角量描述用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式可把平面圆周运动转化为一维运动形式。)(20 xxa-202vv)(20202对应于对应于太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春ROx3.3.线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 + (t+ t)B(t)A在在 t 时间内，质点的时间内，质点的角位移为角位移为 ，走过的，走过的弧长弧长

14、得到速度大小与角速度之间的关系：得到速度大小与角速度之间的关系：RvRs两边同除以两边同除以 t并取极限并取极限tRtstt00limlim太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春两端对时间求导两端对时间求导Rat法向加速度与角速度之间的关系：法向加速度与角速度之间的关系：Ran2v2RRv切向加速度与角加速度之间的关系：切向加速度与角加速度之间的关系：dtdRdtdv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春例例1 1 质点沿半径为质点沿半径为R的圆运动，运动方程为的圆运动，运动方程为 = 3 + +2 t 2（SI），），求求（1）t 时刻质点的法向加速度时刻质点的法

15、向加速度 an 。所以所以2nm/s2216RtRarad/stdtd4解：解：已知质点的运动方程已知质点的运动方程t t 时刻质点的角速度时刻质点的角速度 由由tdd太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春2rad/s422dtdt 时刻质点的角加速度时刻质点的角加速度（2） t 时刻质点的角加速度时刻质点的角加速度 22ddddtt太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春例例2 一质点从静止出发沿半径为一质点从静止出发沿半径为R=1m的圆周运动，的圆周运动，其加速度随其加速度随t的变化关系为的变化关系为=6=6t（SISI）求：（求：（1）质点的角速度）质点的角速度 （2）切线加速度）切线加速度at解：解：已知已知dtd及初始条件：及初始条件：t=0时，时， 0=000ddttrad/s32t=2m/s