位移分析和刚度设计

1、工程力学工程力学第九章第九章 位移分析与刚度设计位移分析与刚度设计 在工程实践中，对某些构件，除要求在工程实践中，对某些构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的大，即要求构件有足够的刚度刚度，以保证，以保证结构或机器正常工作。结构或机器正常工作。前言 工程实践中的变形问题刚度刚度: :构件抵抗变形（弹性变形）的能力构件抵抗变形（弹性变形）的能力 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小则会使小车行走困难，出现爬坡现象。车行走困难，出现爬坡现象。轧机的轧辊如果变形过大，就会影响轧机的轧辊如果变形过大，就会影响轧制

2、工件的质量，甚至会出现废品。轧制工件的质量，甚至会出现废品。9 91 1 杆件的拉压变形杆件的拉压变形9-4 9-4 简单超静定问题简单超静定问题 9 92 2 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形 9 93 3 梁的弯曲变形梁的弯曲变形第九章第九章 位移分析与刚度设计位移分析与刚度设计一、变形特点一、变形特点杆件在轴向拉压时：杆件在轴向拉压时： 沿轴线方向产生伸长或缩短沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形纵向变形 横向尺寸也相应地缩小或增大横向尺寸也相应地缩小或增大横向变形横向变形91 91 杆件的拉压变形杆件的拉压变形L1L1aa1bbLL 1 1、纵纵向变形向变形：（1 1）轴向线应变：）轴向线应变

3、：（2 2）胡克定律）胡克定律: :L1L E AN ll L= L1 - L ，)( p时时当当二、线应变二、线应变EANLL EAEA抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度 l伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负L1L1aa1bb2 2、横向变形：、横向变形：bbb1横向线应变：横向线应变： ,1aaa在弹性范围内：在弹性范围内：aa 三、泊松比三、泊松比四、拉压杆的变形计算四、拉压杆的变形计算1 1、简单载荷、简单载荷EANll 2 2、复杂载荷、复杂载荷分段计算各段的变形，各段变形的分段计算各段的变形，各段变形的代数和代数和即为即为杆的总伸长量。杆的总伸长量。泊松比：泊松比： 是和材料有关的弹性

4、常数，无量是和材料有关的弹性常数，无量纲，纲， 一般一般 0 0 0.5 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) 0ZEIMdxyd 22 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线近似挠曲线近似微分方程为微分方程为：zMyEI 由上式进行积分，求出梁横截面的转角和挠度。由上式进行积分，求出梁横截面的转角和挠度。对于等截面直梁，可写成如下形式：对于等截面直梁，可写成如下形式：zEI yM 1 1、挠曲线的近似微分方程（设、挠曲线的近似微分方程（设 EI E

5、I 为常数为常数) )()EIyMEIyMdxCEIyMdx dxCxD C C、D D是由是由和和决决定的积分常数的积分常数三、积分法求弯曲变形三、积分法求弯曲变形0Dy0D固定端固定端PD0Ay0By铰支座铰支座AB2 2、梁的位移边界条件、梁的位移边界条件活动铰支座活动铰支座3 3、光滑连续性条件光滑连续性条件cc ccyyPCABABCABC111111111)()()(DxCxMEIyCxMyEIxMyEI AC段222222222)()()(DxCxMEIyCxMyEIxMyEI CB段 积分法求梁变形的基本步骤：积分法求梁变形的基本步骤：写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出要分

6、段写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出要分段写出写出 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数利用边界条件、光滑连续条件确定积分常数利用边界条件、光滑连续条件确定积分常数zMyEI 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EIEI。试求图示简支梁。试求图示简支梁在均布载荷在均布载荷q q作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定maxmax和和y ymaxmax。xylq例题例题5:5:解：解：222)(xqxqlxM 2 22xqxqlEIy CxqxqlEIy 3264DCxxqxqlEIy 432412xqlxyAB

7、由边界条件：由边界条件：000 ylxyx时，时，时，时，得：得：0,243DqlC梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)(3324624lxlxEIq )2(24332lxlxEIqxy 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIqlBA243maxEIqlyylx384542max xqlxyABAB 小变形小变形 力与位移之间的线性关系力与位移之间的线性关系 基本荷载作用、各种支承形式的位移结果基本荷载作用、各种支承形式的位移结果 当梁上同时作用几个载荷当梁上同时作用几个载荷 各个载荷所引起的变形是各自独立的各个载荷所引起的变形是各自独立的 分别

8、计算各个载荷单独作用下的变形分别计算各个载荷单独作用下的变形 然后叠加然后叠加( (求代数和求代数和) )。四、用四、用叠加叠加法求梁的变形法求梁的变形：q、l 、EI求求：wC , B例题例题6:6:EIqlEIqlwBC2438453141 ;EIqlEIqlwBC3163242 ;EIqlEIqlwBC48483343 ;EIqlEIqlwwwwBBBBCCCC48133841133214321 五、梁的刚度条件：五、梁的刚度条件：maxmax yyyy、分别是构件的许可挠度和转角分别是构件的许可挠度和转角 ABC12PA1NF2NFP一、超静定问题概述一、超静定问题概述9-4 9-4

9、简单的超静定问题简单的超静定问题1 1、静定：结构或杆件的、静定：结构或杆件的未知力未知力数目数目等于等于有效静力方程有效静力方程的数的数目目 利用静力平衡方程就可求出所有的未知力利用静力平衡方程就可求出所有的未知力静定问题静定问题 2 2、超静定：结构或杆件的、超静定：结构或杆件的未知力数未知力数目目多于多于有效静力方程有效静力方程的数的数目目 ABC12PD3A1NF2NFP3NF多余约束多余约束只利用静力方程不能求出所有的未知力只利用静力方程不能求出所有的未知力超静定问题超静定问题5 5、多余约束力、多余约束力：多余约束对应的约束力。多余约束对应的约束力。未知力数未知力数目目- -静力平

10、衡方程数静力平衡方程数目目。 4 4、多余约束、多余约束：对于维持结构几何不变性而言多余的杆或支座。对于维持结构几何不变性而言多余的杆或支座。 3 3、超静定的次数：、超静定的次数：二、二、超静定的求解超静定的求解步骤：步骤：2 2、根据变形协调条件列出、根据变形协调条件列出变形几何方程。变形几何方程。3 3、根据、根据物理关系物理关系写出补充方程。写出补充方程。4 4、联立静力平衡方程与补充方程求出所有的未知力。、联立静力平衡方程与补充方程求出所有的未知力。1 1、根据平衡条件列、根据平衡条件列平衡方程平衡方程（确定超静定的次数）。（确定超静定的次数）。例题例题7:7: 两端固定的等直杆两端

11、固定的等直杆ABAB横截面积为横截面积为A A，弹，弹性模量为性模量为E E，在，在C C点处承受轴力点处承受轴力P P的作用，如图的作用，如图 所示。计算所示。计算A A、B B处的处的约束力。约束力。RByPBRAAC这是一次超静定问题这是一次超静定问题静力平衡方程为：静力平衡方程为：PRRBA BAC变形协调条件：杆的总长度保持不变变形协调条件：杆的总长度保持不变RByPBRAAC变形几何方程为：变形几何方程为：EAaRlAAC EAbRlBCB 0 lllCBAC物理关系：物理关系：补充方程：补充方程：0 EAbEAaRRBA静力平衡方程：静力平衡方程：PRRBA lPbRA lPaR

12、B RByPBRAACPblBAC例题例题8 8：设梁的抗弯刚度为设梁的抗弯刚度为EIEI，求图示，求图示 超静定梁支座的约束力。超静定梁支座的约束力。相当静定系统相当静定系统但必须保证与原结构的但必须保证与原结构的受力受力与与变形变形相同。相同。确定超静定次数，确定超静定次数，是找出是找出。把把“超静定结构超静定结构”转化为转化为“等效的静定结构等效的静定结构”静定基多余约束力B B点的位点的位移为移为0 0 解：将支座解：将支座B B看成多余约束，变形协调条件为：看成多余约束，变形协调条件为：0 By即R lEIqlEIB34380RqlB38由叠加法求由叠加法求B B点的挠度：点的挠度：