平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习

1、平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1. 向量：既有大小有方向的量叫做向量只有大小没有方向的量称为数量AB的长度（或称模），记做|AB|.2. 几何表示：向量可以用有向线段表示长度：向量AB的大小，也就是向量向量也可用字母a, b,c（印刷用黑体a，手写用a）或用表示向量的有向线段的起点T和终点表示.例如，AB，CD .零向量：长度为0的向量记做0 单位向量：长度为1的向量平行向量：方向相同或相反的向量.记作a / /b规定：零向量与任一向量平行3. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量记做a = b注意：向量相等与有向线段的起点无关共线向量：任一

2、组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量二、平面向量的线性运算（向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算）1向量加法的三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作 AB 二 a，BC二b，则向量AC叫做a和b的和，记做a + b，即a + b 二 AB BC求两个向量和的运算，叫做 向量的加法这种方法称为向量加法的三角形法则2向量加法的平行四边形法则以同一个点 0为起点的两个已知向量 a、b为邻边作OACB,则以0为起点的对角线TT T T0C是a与b的和，即a+ b = OA OOC此法叫做向量加法的平行四边形法则规定：对零向量与任一向量 a， a + 0= 0

3、+a = a3.小结论对任意向量a、b，有|a+b|_|a|+|b| ；当 a、b 同向时,|a + b|=|a|+ |b| ；当 a、b 反向是，|a + b|=|a| -|b| (或 |b| -|a |)4.向量加法 交换律：a + b = b+ a ；向量加法 结合律:（a + b）+ c = a + （b+ c）5. 与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量6. 向量减法的几何意义：a - b可以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量.7. 向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数 乘，记作 a，它的长度与方

4、向规定如下：(1)a 円|a 1 ；(2)当1、.、0时，a的方向与a的方向相同；当/. :, 0时，二a的方向与a的方向相同.8. 数乘的运算律：(1)(a)=(i )a ; (2)()a - a a ; (3) (a b) - a ：. ；，.b.9. 向量共线充要条件：向量a(a = 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数，使 a .三、平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理 如果e,、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一个实数、 2，使得a ' 1 e,. 2 e2把不共线的向量e,、e2叫做这一平面内所有向量的基底.2. 向量

5、的夹角 已知两个非零向量 a和b，作OA二a，= b，则.AOB-班0：180) 叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是90，称a与b垂直，记作a _ b.当v -0：时，a与b同向；当v -180时，a与b反向.3. 正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4. 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量 a，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a = x i yj这样，平面内的任一向量 a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a = (x, y).其中

6、x， y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示5. 平面向量的坐标运算(1) 若 a= (X1,yJ，b=(X2,y2)，则 ab=(为 _ X2, % - y?)；(2) 若 a = (x, y), R ,则 a = ( x, y)； 若 A(X1,yJ, B(X2, y2)，则 AB = (x? -为，y? - ).6. 平面向量共线的坐标表示设a =(为，), b = (x?,y2)(b = 0),则向量a、b(b = 0)共线的充要条件为x2 -x?% =0.7.设 R（X1,yJ, P2（X2,y2）.（1）若 P 是 RP

7、2 的中点，则 P =（学，学）；若pP"PF2，则卩=（诗,璽）.前三部分总结1. 向量相等（长度和方向）.2. 加法的三角形法则（首尾相连）、四边形法则（起点相同）及其几何意义 注意与平面几何相结合小结论：（1） G为 ABC的重心（中线的交点）二 Ga+GB+Gc G 2XL_3 ,y1 y2 y3 G为二ABC的外心二 GA 二 GB 二 GC3.共线（平行）向量. a （论，yj ,b（X2, y2）（b =0） a /b：= a = b：= x°2 -X2yi =0 ； A,B,C三点共线二AB/AC.4.平面向量基本定理a = e 2e2（e1,仝不共线）四、

8、平面向量的数量积: 1、向量的夹角概念:，那么射线OA,OB的夹IT 彳T对于两个非零向量 a,b，如果以O为起点，作OA二a,OB二角v叫做向量a与向量b的夹角，其中o _二“：二2、向量的数量积概念及其运算:（1）定义：如果两个非零向量 a,b的夹角为二，那么我们把|a|b|cosr叫做向量a与向量b的数量积，记做ab即：a Lb = a b cos 日.（2）投影：b在a上的投影是一个数量 bcos日，它可以为正，可以为负，也可以为4、向量的模长:3、向量的夹角公式:（3 ）坐标计算公式:=沁y20A . A、B、DB . A、B、CC. B、C、DD. A、C、D5、平面向量的平行与垂

9、直问题：（1）若a二（片，比），b二&22），a/b，则xy?細1二0=Q= x1x2y1y 0（2 ）若 2 =（石，），b = （X2，y2），a _ b，则 Ob 例:、平面向量的数量积的应用: 1、向量数量积定义的应用d例1（1）已知=1,b =2,向量 a,b 的夹角为 § ,求（a 2bL（2a -b）（2）已知= （2,1）,b =（3, 一4）,求：（a bL（a -3b）;若二-1, b_c 二 9，求C的坐标2、向量的夹角问题例2（1）已知向量a、b都是非零向量，且向量a 3b与向量7a-5b垂直，向量ffT T* fa -4b与向量7a - 2 b垂直，

10、求向量a与b的夹角。（2）若向量a = x,2x ， b=：；：-3x,2，且a， b的夹角为钝角，求 x的取值范围基础练习：一、选择题1. 下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A . & =（0,0）, e2 =（1，一 2） ；B . e1=（-1,2）, ©2 =（5,7）;1 3C. e1 =（3,5）, 62 =（6,10）;D. e1 =（2,-3） , e2 = （,_）2 4Tf2. 已知向量 a、b,且AB=a+2b , BC = -5a+6b ,CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）3. 如果ei、 e2是平面a内两个不共线的向

11、量，那么在下列各说法中错误的有 ？+血2(入吐R)可以表示平面 a内的所有向量； 对于平面a中的任一向量a,使a=?ei+的入有无数多对；k,使 ?2ei+(_2e2=k(Xiei+ pie2); 若向量 恥什e2与 g+阳代共线，则有且只有一个实数 若实数 入使 &+叵=0，则启尸0.A .B .C.D .仅5.若向量 a=(1,1), b= (1,-1) , c=(-2,4),则 c=A . - a+3b3 a-bC. a-3 bD . -3a + b6 .平面直角坐标系中, I I OC = aOA + BOB ,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点 C(x,

12、 y)满足其中A . 3x+2y-11=0填空题a R且a+ B=1，则x, y所满足的关系式为2 2(x-1) +(y-2) =5 C . 2x-y=0D . x+2y-5=07. 作用于原点的两力F 1 =(1,1) , F2 =(2,3),为使得它们平衡，需加力F3=TI8 若 A(2,3), B(x, 4),C(3,y),且 AB=2AC,则 x=, y=;1下 打9.已知 A(2,3),B(1,4)且 AB=(sin acos®, a 氏(-,-),则 a+ B=10 .已知a=(1,2) , b=(-3,2),若ka+ b与a-3b平行，则实数 k的值为11、 若a b

13、0，则a与b的夹角的取值范围是。12、 |a10,| bH36,a b = -180 , a 与 b 的夹角是 。13、已知a =(m,2),b=(-3,5),若a与b的夹角为钝角，实数 m的取值范围为 14、已知 |a|=1,|b|= -、2,(a -b) _ a，则 a 与 b 的夹角是三、解答题15. 已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26，求b16 .如果向量AB = i-2j , BC = i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定 实数m的值使A、B、C三点共线。17.已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),33求证：EF/AB18.已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若 AP=AB ACG.WR)，试求入为何值时，点P在第三象限内？19、已知a =(2,-1),b =(m,m -1),若a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围。20、已知a、b都是非零向量，且 a 3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直,44求a与b的夹角。21、从BC 中，A