平行四边形中的辅助线

1、平行四边形中辅助线问题知识点一：平行四边形有关的辅助线作法第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如图，在平行四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE二CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC =12，BD=10，AB二m，那么m的取值范围是（）A1 ： m ： 11B 2 ： ： m ： 22C10 ： m ： 12D 5 ： m ： 6第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转

2、化为矩形和直角三角形 问题。例3已知：如图，四边形ABCD为平行四边形。求证：2 2 2 2 2 2AC BD 二 AB BC CD DA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4:已知：如图，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF 交于P点，求证：AP二AB证明：第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三 角形。1第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例5已知：如图，在平行四边形ABCD中，AN二BN ,BE BC , NE交BD于F ,3求 BF:BD综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角

3、线，延长一边中 点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯 形）等图形，为证明解决问题创造条件。知识点二：和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或 性质定定理解决问题例7如图，在 ABC中，/ ACB=90，/ BAC的平分线交BC于点D, E是AB上 一点，且AE=AC EF/BC交AD于点F,求证：四边形 CDEF是菱形.分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一 是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 根据AD是/ BAC的平分线，AE=AC可通过

4、连接CE构造等腰三角形，借助三线 合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.例8如图，四边形ABCD1菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点, 求证EF+BF的最小值等于DE长.分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线 BD,借助 菱形的对角线互相垂直平分得到 DF=BF然后结合三角形两边之和大于第三边解 决问题说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的 不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形 的对角线知识点三：与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助

5、勾股定理解决问题； （2） 证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题 和矩 形有关的试题的辅助线的作法较少例9如图，已知矩形 ABCD内一点，PA=3 PB=4 PC=5求PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形 ABCD可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角， 通过作平行线构造四个小矩形， 然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与 PA PB PC之间的关 系，进而求到PD的长.知识点四：与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关 正方形的试

6、题较多解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解 决正方形问题的常用辅助线例10如图，过正方形 ABCD勺顶点B作BE/AC，且AE=AC 又 CF/AE.求证：丄/ BCF=2 / AEB.分析：由BE/AC, CF/AE,AE=AC可知四边形AEFC是菱形，作AFUBE于H,1根据正方形的性质可知四边形 AHBO是正方形，从AH=OB=AC可算出/ E=ZACF=30，/ BCF=15 .说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形 AHBO进一步得到菱形，借助菱形的性质解决冋 题.知识点五：与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的

7、辅助线的作法是较多的主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的 平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成 三角形；（5）作两腰的平行线等.例 11 已知，如图，在梯形 ABCDK AD/BC，AB=AC / BAC=90，BD=BC BD 交AC于点0.求证：CO=CD.分析：要证明CO=CD可证明/ CODMCDO由于已知/ BAC=90，所以可通过 作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的咼将梯 形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决例 12 如图，在等腰梯形 ABC冲，AD/BC，ACL BD AD+BC=10 DEL BC于 E.求DE的长.分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边 形和直角三角形，借助勾股定理解决 .说明:当有对角线或垂直成梯形时 , 常作梯形对角线的平行线 , 构造平行四边形 , 等腰三角形或直角三角形来解决 .知识点六：和中位线有关辅助线的作法例13如图，在四边形 ABCD中, AC于BD交于点0, AC=BD E、F分别是AB C