解排列组合应用题的策略

1、解排列组合应用题的策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1. 五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有A60种 B48种 C36种 D24种【答案】D【解析】把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种. 【变式1】7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体

2、并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.【变式2】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 【解析】没命中的4枪有5个空，连续的命中的3枪捆绑到一起，和单独命中的一枪插空，共有种方法.【解析2】用列举法列举出来1231231231231231232. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排

3、列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A1440种 B3600种 C4820种 D4800种【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.【变式1】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又

4、增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30。【解析】3. 定序问题缩倍（空位插入）法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3. 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是A24种 B60种 C90种 D120种【解析】在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.【变式1】7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之

5、间的全排列数,则共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗？ （插入法)先排甲乙丙三个人,共有种排法,再把其余4四人依次插入共有种方法，所以共有种排法.定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理【变式2】10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？【答案】（10人中选5人，排到前排，选出来之后身高确定，因此位置确定，后排的5人位置也就确定了）4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素

6、，如此继续下去，依次即可完成.例4. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A6种 B9种 C11种 D23种【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5. 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A1260种 B2025种 C2

7、520种 D5040种【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.【解析2】【变式1】12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A种 B种 C种 D种【答案】A6. 全员分配问题分组法:例6. 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？【解析】把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【变式1】5本不同的书，全部分给4个学生，

8、每个学生至少一本，不同的分法种数为 A480种 B240种 C120种 D96种【答案】B【解析】（5人分3组较难，后期有试题加入）7. 名额分配问题隔板法:例7. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为8. 限制条件的分配问题分类法:例8

9、. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种. 【分解】甲乙都不选甲乙都选，第一步（其他8人选2人）第二步甲去西宁：，甲不去西宁所以甲参加乙不参加乙参加甲不参加所以不同派遣方法总

10、数为1680+392+1008+1008=40889. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A210种 B300种 C464种 D600种【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.【变式1】从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？【解析】被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集

11、合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.【变式2】从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？【解析】将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.10. 定位问题优先法：某个

12、或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例10. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.11. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例11. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A36种 B120种 C720种 D1440种【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选C.【变式1】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法【解析

13、】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 【变式2】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 【解析】两人都在后排：（空座位10人，11个空，两人坐椅子插入空位）都在前排：都在左或者都在右一左一右：前后两排：所以不同排法的种数是110+12+32+192=34612. 圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列

14、，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.例12. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有【变式1】6颗颜色不同的钻石，可穿成

15、几种钻石圈 【解析】【变式2】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？【解析】首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A140种 B80种 C70种 D35种【解析1】逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选. 【解析2】至少要甲型和乙

16、型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14. 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.【变式1】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？【解析】先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一

17、部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15. 以正方体的顶点为顶点的四面体共有A70种 B64种 C58种 D52种【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.【变式1】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A150种 B147种 C144种 D141种【解析】10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不

18、共面的情况的种数是种.16. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例16. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【变式1】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 【变式2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自

19、的一层下电梯,下电梯的方法17. 复杂排列组合问题构造模型法:例17. 马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.【说明】一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决【变式1】某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么

20、不同的坐法有多少种？（120）18. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例18. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.3号盒 4号盒 5号盒 对于条件

21、比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果19. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例19. 30030能被多少个不同偶数整除？【解析】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.【变式1】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？【解析】因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个

22、顶点可连成的异面直线有3×58=174对.20. 利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例20. 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？【解析】因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.【变式1】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？【解析】可将图中矩形的一边叫一小段，从到

23、最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.【变式2】25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？【解析】将这个问题退化成9人排成3×3方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少选法这样每行必有1人，从其中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5

24、15;5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题21. 平均分组问题除法策略例21. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？【解析】分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种

25、分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。【变式1】将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）【变式2】10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）【变式3】某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_（）22. 合理分类与分步策略例22. 在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。23. 数字排序问题查字典策略例23. 由0，1，2，3，4，