高一数学必修一易错题集锦答案

1、高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，则MN=（ ）解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的2 .已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求实数a组成的集合C解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或C=0，1，2 3 。已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：m+n (填A,

2、B,C中的一个)解：mA, 设m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB。 4 已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求实数p的取值范围解：当B时，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3当B=时，即p1>2p1p2.由、得：p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要

3、有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 解：分两种情况进行讨论 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.6 设A是实数集，满足若aA，则A，且1ÏA.若2A，则A中至少还有

4、几个元素？求出这几个元素A能否为单元素集合？请说明理由.若aA，证明：1A.求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：2A Þ 1A Þ A Þ 2A A中至少还有两个元素：1和如果A为单元素集合，则a即0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集aA Þ A Þ AÞA，即1A由知aA时，A， 1A .现在证明a,1, 三数互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程无解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程无解1.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数

5、互不相等，否则证明欠严谨. 7 设Ma，b，c，N2,0,2,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足 (a)>(b)f(c),试确定这样的映射的种数.解：（1）由于Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个8.已知函数的定义域为0，1，求函数的定义域解：由于函数的定义域为0，1，即满足，的定义域是1，0 9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设由于得，又由，即因此：(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设（）（3）

6、由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列可消去得：.点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.10 已知，试求的最大值.分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 得又当时，有最大值，最大值为点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 得 当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中

7、发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.11设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以解法二：令，得即又将用代换到上式中得点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数的奇偶性.解：有意义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断的奇偶性.正解：方法一：是奇函数方法二：是奇函数14函数y=的单调增区间是_

8、.解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是15已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)<0,求x的取值范围.解：由,故0<x<,又f(x)是奇函数，f(x3)<f(x23)=f(3x2),又f(x)在(3，3)上是减函数，x3>3x2,即x2+x6>0,解得x>2或x<3,综上得2<x<,即A=x|2<x<,16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还

9、应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时，所以这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x1时，lgx0，y=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 在区间（2，）上是增函数

10、，求a的取值范围解：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得 a 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证

11、f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0x2x1<1x2x1,0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能

12、力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.19已知求解： 20知在0，1上是的减函数，则的取值范围是解：是由，复合而成，又0在0，1上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，1又由于 在0，1上时 有意义，又是减函数，1时，取最小值是0即可，2综上可知所求的取值范围是1221已知函数.（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.（2）是否存在这样的实数使得函数在区间1，2上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函

13、数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，0，对一切恒成立，显然，函数g(x)= 在0，2上为减函数，从而g(2)0得到的取值范围是（0，1）（1，）(2)假设存在这样的实数，由题设知，即1此时当时，没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.22已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x(, 1时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.分析：参数深含在一个复

14、杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：>0, 且a2a+1=(a)2+>0, 1+2x+4x·a>0, a>,当x(, 1时, y=与y=都是减函数， y=在(, 1上是增函数，max=, a>, 故a的取值范围是(, +). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用

15、新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 23若，试求的取值范围.解：幂函数有两个单调区间，根据和的正、负情况，有以下关系解三个不等式组：得，无解，1的取值范围是（，1）（，）点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.24 已知a>0 且a1 ,f (log a x ) = (x ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x (1 , 1)时 , 有f( 1m ) +f (1 m2 ) < 0 ,求m的集合M .分析：先用换元法求出f(x)的表达式；

16、再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=logax(tR)，则f(x)在R上都是增函数.点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.25已知函数若时，0恒成立，求的取值范围.解：设的最小值为（1）当即4时，730，得故此时不存在；(2) 当即44时，30，得62又44，故42；（3）即4时，70，得7，又4故74综上，得7226已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.解：设，（1）当0时方程的根为1，不满足条件.（2）当0有且只有一根在区间（0,1）内又10有两种可能

17、情形得2或者得不存在综上所得，2 27.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程2+（2k3）（3k1）0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令那么由条件得到即即此不等式无解即不存在满足条件的k值.28已知二次函数对于1、2R，且12时，求证：方程有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.解：设F（），则方程与方程F（）0等价F（1）F（2）F（1）·F（2），又F（1）·F（2）0故方程必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线yF（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，从而方

18、程有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.点评：本题由于方程是，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.29试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令54912249016482100214230，000220214210， 1648260根据·0，·0，·0可知

19、的零点分别在区间（2，1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（2，1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.所以0有三个根：30设二次函数方程的两个根，满足0.（1）当时，证明；（2）设函数的图像关于直线对称，证明：.分析：（1）用作差比较法证明不等式；（2）函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.证明：（1）依题意，设当时，由于，又>0即0.综合得（2）依题意知，又点评：解决本题的关健有三：

20、一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即31已知函数，且方程有实根. (1)求证：-3<c-1,b0. (2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，1解得，又由于方程有实根，即有实根，故即解得或，由，得0.（2）=，c<m<1（如图）c4<m4<3<c

21、.的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. 32定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数.解：（1）在中，令.得：.因为，所以，.（2）要判断的单调性，可任取，且设.在已知条件中，若取，则已知条件可化为：.由于，所以.为比较的大小，只需考虑的正负即可.在中，令，则得. 时， 当时，.又，所以，综上，可知，对于任意，均有. . 函数在R上单调递减.（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.，即.由，所以

22、，直线与圆面无公共点.所以，.解得 .（4）如.点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.33设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值.解：（1）当时，函数此时，为偶函数当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.若，则函数在上的最小值为，且.（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有，即 可得，当时，函数函数为偶函数.通过可得 化得 此式不管还是都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定