高三圆锥曲线练习题

1、1.在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足（）求点P的轨迹的方程；（）若Q 是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由2.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为。（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点。若线段中点的横坐标为，求斜率的值；已知点，求证：为定值。3. 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）. （）求椭圆的方程；（）当时，求m的值

2、.4. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）。（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。5. 已知圆的方程为，定直线l的方程为动圆C与圆外切，且与直线相切（）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II）斜率为k的直线与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为POQ（O为坐标原点）的面积，求S的值6. 在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，记点P的轨迹为曲线E （I）求曲线E

3、的方程； （ II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积7. 已知椭圆C：的离心率，左右焦点分别为，点P，点在线段的中垂线上.（1） 求椭圆C的方程；（2） 设直线:与椭圆C交于M，N两点，直线的倾斜角分别为，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.8. 已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为()求椭圆C的标准方程;()若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.9. .已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点任意作直

4、线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点若，证明：为定值10. 如图，已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.（）求椭圆的方程；（）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 11. 设椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：（1）求曲线，的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点、，且，请问是否存在直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.12. 已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）设，点、在曲线上，且直线与

5、直线的斜率之积为，求的面积的最大值1.解析：（）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，2分整理得轨迹的方程为（且），4分（）设，由可知直线，则，故，即，6分由三点共线可知，与共线，由（）知，故，8分同理，由与共线，即，由（）知，故，10分将，代入上式得，整理得，由得，即点M的横坐标为定值12分（方法二）设由可知直线，则，故，即， 6分直线OP方程为： ； 8分直线QA的斜率为：， 直线QA方程为：，即 ；10分联立，得，点M的横坐标为定值 12分2. 解析：（）因为满足， ，2分。解得，则椭圆方程为 4分（）（1）将代入中得6分，7分因为中点的横坐标为，所以，解得9分（2）由（1）知，所以 11

6、分4分3. 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）. （）求椭圆的方程；（）当时，求m的值.解：（）设椭圆方程为，则椭圆方程为6分（）依题意，7分可设直线的方程为：，、，则，8分 而 代入得： 由消并整理化简得：，此方程有两解 解得：10分由韦达定理得：，代入得： 解：或12分点异于，13分4. （1）x2=4y（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则抛物线C在点P处的切线方程是直线PQ的方程是将其代入抛物线C得，x1+x2=，x1x2=-8-4y1

7、，x2=-x1，y2=+y1+4而=（x1，y1-1），=（x2，y2-1），=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2-（g1+y2）+1=-4（2+y1）+y1（+y1+4）-（+2y1+4）+1=y12-2y1-7=4（y12+2y1+1）-4（+y1+2）=（y1+1）2-=0故y1=4，P（±4，4）经检验，符合题意 故P（±4，4）5. 解（）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则，且 2分 可得 6. 解：（）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)由，得(xm，y)(x，ny)，得2分由|1，得m2n2(1)2，(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E

8、的方程为x215分（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)设直线l的方程为ykx1，代入曲线E方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2，7分y1y2k(x1x2)2，由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k229分这时|AB|x1x2|，原点到直线l的距离d，平行四边形OAMB的面积S|AB|·d12分7. 解：（1）点，又得 化简得 -3分 所以椭圆的方程为 -6分（2）由 消去y得 - 8分 由得 设由根与系数的关系有： -9分 由（1）知，所以 由 得 -11分代入（1）式得 代入直线方程得 -12分所以直线过定点

9、（2，0）-13分8. 【解】()由题意可设椭圆的标准方程为1分则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=22分又,所以,3分又由于4分所求椭圆C的标准方程为5分()假设存在这样的直线,设,的中点为 因为所以所以(i)其中若时,则,显然直线符合题意;(ii)下面仅考虑情形:由,得,得 7分则8分代入式得,即,解得11分代入式得,得综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率的取值范围是13分9. 解：（1）设， 是线段的中点， 分别是直线和上的点，和又， ，动点的轨迹的方程为 （2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为设、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得， ，即与轴不垂直，同理将代入上

10、式可得 10. （）将圆的一般方程化为标准方程 ，圆的圆心为,半径. 由,得直线,即, 由直线与圆相切,得, 或(舍去). -2分 当时, , 故椭圆的方程为 -4分11. 解：（1）由题意一定在上. 设为， 则 2分 椭圆上任何点的横坐标 所以也在上，从而的方程为 4分从而，（4，-4）一定在上，设C2的方程为5分 即C2的方程为6分（2）假设直线过C2的焦点F（1，0）.当的斜率不存在时，则此时，与已知矛盾8分当的斜率存在时设为，则的方程为代入C1方程并整理得：设，则10分 ，12分存在符合条件的直线且方程为13分12. 已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线（）