增分点8巧辨“任意性问题”与“存在性问题”

1、增分点 巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 含有参数的方程 (或不等式 )中的“任意性”与“存在性”问题历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的 一个难点破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与 “存在性”问题也是解题的关键技法一 “? x，使得 f(x)>g(x)”与“? x，使得 f(x)>g(x)” 的辨析(1) ? x，使得 f(x)>g(x)，只需 h(x)minf(x)g(x) min>0.如图 .(2) ? x，使得 f(x)>g(x)，只需 h(x)maxf(x)g(x)max>0.如图 .典

2、例 设函数 f(x) ln(1 x) ， g(x) af (x )，其中 f(x)是 f(x)的导函数(1) 若对于任意 x 0，总有 f(x)g(x)，求实数 a 的取值范围；(2) 若存在 x 0，使得 f(x)g(x)，求实数 a 的取值范围方法演示 a解： (1)设 h(x)f(x)g(x)ln(1 x)1x(x0)1 x1设函数 f(x)x3x23.(1) 求 f(x)的单调区间；(2)若函数 yf(x)m在区间 1,2上有三个零点，求实数 m的取值范围； a1(3) 设函数 g(x)xxln x，如果对任意的 x1，x2 2，2 ，都有 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值

3、范围 x2解： (1)f(x)3x22xx(3x 2)2由 f (x)>0，得 x<0 或 x>23；2 2 2由 f(x)<0，得 0<x<23，所以 f(x)的单调递增区间是 (，0)， 23， ，单调递减区间是 0，32 .(2)令 h(x) f(x)m，则 h(x)x3x23m，h (x)3x22xx(3x2)，2 285由 (1)知函数 h(x)在 x0 处取得极大值 h (0) 3m，在 x 处取得极小值 h 3 m.3 327因为函数 yf(x)m在区间 1,2上有三个零点，h 1 5m 0，h 0 3 m>0，所以 2 8585h 23

4、 8275 m<0，解得 2875<m<3，h 2 1 m 0，85所以实数 m 的取值范围是 2875， 3 .1 2 2(3) 由(1)知，函数 f(x)在 12， 23 上单调递减，在 32，2 上单调递增，1 251而 f 1 25，f(2) 1，故 f(x)在区间 1，2 上的最大值为 f(2)1.2 8211因为“对任意的 x1，x2 2，2 ，都有 f(x1)g(x2)成立”等价于 “对任意 x 2，2 ，g(x)f(x)max恒成立 1a即当 x 2， 2 时， g(x) xaxln x 1 恒成立，2x即 axx2ln x 恒成立记 u(x)x x2ln x

5、，则有 au(x)max.u (x)1x2xln x，可知 u(1)0.1当 x 2，1 时， 1x>0,2xln x<0，1则 u(x)>0，u(x)在 12，1 上单调递增；当 x(1,2)时， 1x<0,2xln x>0，则 u(x)<0，u(x)在(1,2)上单调递减1故 u(x)在区间 2， 1 上的最大值为 u(1) 1，所以实数 a的取值范围是 1， )技法若 ? x1D1，? x 2 D 2，使得 f(x1)g(x2)”与“? x1D1，? x 2 D 2，使得 f(x1) g( x2)”的辨析(1)? x1D1，? x2D2，使得 f(x1

6、)g(x2)等价于函数 f(x)在 D1上的值域 A 与 g(x)在 D2上的值域 B 的交集不是 空集，即 A B ?，如图 .其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值(2)? x1D1，? x2D2，使得 f(x1)g(x2)等价于函数 f(x)在 D 1上的值域 A 是 g(x)在 D2上的值域 B 的子集，即A? B，如图 .其等价转化的目标是函数 y f(x)的值域都在函数 yg(x)的值域之中 说明： 图，图中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在 y 轴上的投影21典例 已知函数 f(x)x ax所以 f(x)2x3x2 3x 3x .，a>0，xR，g(x) 23 x 1

7、 x(1)若? x1(， 1， ? x2 ，12 ，使得 f(x1) g(x2)，求实数 a 的取值范围； )，都存在 x2 (1， )，使得 f(x1) g(x2)(2)当 a32时，证明：对任意的 x1 (2，方法演示 2解： (1) f(x) x2 3ax3，f(x)2x2ax22x(1ax)1令 f (x) 0，得 x0 或 x a>0， >0，当 x( ，0)时，a. af(x)<0， f(x)在( ， 1上单调递减，故 f(x)在(， 1上的值域为 123a， .1g(x)x2 11x，g(x) 3x22x3x2x2 x3 2x3 1 x 21当 x< 21

8、时， g(x)>0，g(x)单调递增，g(x)<g 21 83，故 g(x)在 ，1 12 上的值域为，8 .，3 .若? x1( ， 1，? x2 21 ，使得 f(x1) g(x2)，则 123a<83，解得 0<a<25，5故实数 a 的取值范围是 0，52 .3当 x>1 时， f(x)<0，所以 f(x)在(1， )上单调递减，且 f(2) 4. 第 3 页 共 12 页(2)证明：当 a2时， f(x)x2 x3，所以 f(x)在(2， )上的值域为 (， 4)则 g(x) 2 所以 f(x)min f 12 4.又 f(0) 72， f(

9、1) 3，所以 f(x)m ax f(1) 3.故当 x 0,1时， f(x)的值域为 B4，3(2)“对于任意 x1 0,1 ，总存在 x00,1 ，使得 g(x0)f(x1)成立”等价于 “在 x 0,1上，函数 f(x)的值域 B 是函数 g(x)的值域 A 的子集，即 B? A ”因为 a1，当 x (0,1)时， g(x) 3(x2a2)<0，所以 g(x)为减函数，故 g(x )的值域 A1 2a3a2， 2a 1 在(1， )上单调递增，x 1 x f x1所以 g(x) 2 1 在(1， )上的值域为 (，0)x 1 x因为 ( ， 4) ( ，0)，所以对于任意的 x1

10、 (2， )，都存在 x2(1， )，使得 f(x1)g(x2)解题师说 本例第 (1)问等价转化的基本思想是：两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分；第(2) 问等价转化的基本思想是：函数 f(x)的任意一个函数值都与函数 g(x)的某一函数值相等，即 f(x)的值域都在 g(x)的值域中应用体验 4x272已知函数 f(x)， x 0,1 2x(1) 求 f(x)的单调区间和值域；(2)设 a 1，函数 g( x) x3 3a2x 2a， x 0,1 若对于任意 x1 0,1 ，总存在 x00,1，使得 g(x0)f(x1)成 立，求实数 a 的取值范围解： (1)f(x) 4x2

11、16x 72x 1 2x72x2xx 0,1 17令 f(x)0，解得 x21或 x 27(舍去 )当 x 变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表：x00，121212，11f(x)0f(x)724311所以 f(x)的递减区间是 0， 21 ，递增区间是 21， 1 .3 由 B? A，得 12a3a24 且2a3，解得 1 a 2.3技法三 f(x)，g(x)是闭区间 D 上的连续函数，所以实数 a的取值范围为 1， 32 .? x1，x2D，使得 f (x1)> g(x2 )”与 “? x1，x2D，使得 f(x1)>g(x2)”的辨析(1)f(x)，g(x)是在闭区

12、间 D 上的连续函数且 ? 目标是函数 y f(x)的任意一个函数值均大于函数x1，x2 D ，使得 f(x1)>g(x2)，等价于 f(x)min>g(x)max.其等价转化的 y g( x)的任意一个函数值如图 .(2)存在 x1，x2D，使得 f(x 1)> g(x 2)，等价于 f(x)max>g(x)min .其等价转化的目标是函数 yf(x)的某一个函数值 大于函数 y g(x)的某些函数值如图 .典例 已知 f(x)x，g(x)x ln x.(1)若对任意的 x1， x2 1 ， e，都有 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围；(2)若存在 x

13、1， x2 1， e，使得 f(x1)<g(x2)，求实数 a 的取值范围方法演示 解： (1)对任意的 x1，x2 1， e，都有 f (x1) g(x 2)成立，等价于 x1，e时， f(x)ming(x)max.1当 x1，e时， g(x)1x1>0，所以 g(x)在1，e上单调递增，所以 g(x)max g(e) e1.只需证 f(x)e1，即 xax e 1? a2(e1)xx2在1， e上恒成立即可 x令 h(x) (e 1)x x2.当 x1，e时， h(x) (e1)xx2的最大值为 he1e 1222.所以 a2 e2 1 2，即 ae21.e 1故实数 a的取值

14、范围是 e21， .(2)存在 x1，x21，e，使得 f(x1)<g(x2)，等价于x1，e时，f(x)min <g(x)max.1当 x1，e时， g(x)1x1>0，所以 g(x)在1，e上单调递增，所以 g(x)max g(e) e1.a2 又 f (x) 1a2，令 f(x)0，得 xa，xa2故 f(x)xax(a>0)在(0，a)上单调递减，在 (a， )上单调递增当 0<a<1 时， f(x)在1，e上单调递增， f(x)min f(1)1a2<1e，符合题意；当 1ae时， f(x)在1， a上单调递减，在 a，e上单调递增， f(x

15、)minf(a)2a，1 e此时， 2a<1e，解得 1 a< 2 ；当 a>e 时， f(x)在1， e上单调递减，a2f(x)minf(e)e e，此时，eae2<1e，e即 a< e，与 a>e 矛盾，不符合题意综上可知，实数 a 的取值范围为 0，e12解题师说 (1)本例第 (1)问从数的角度看， 问题的本质就是 f(x)min g(x) max .从形的角度看， 问题的本质就是函数 f(x)图象的 最低点也不低于 g(x)图象的最高点(2)本例第 (2)问从形的角度看，问题的本质就是函数f(x)图象的最低点低于 g(x) 图象的最高点应用体验 3

16、已知函数a3f(x) 4ln xax x (a 0)，x(1) 求 f(x)的单调区间； x1(2)当 a1 时，设 g(x) 2ex 4x 2a，若存在 x1，x2 2， 2 ，使 f(x1)>g(x2)，求实数 a 的取值范围4 a 3ax2 4x a 3解： (1)由题意得 f(x)x4aax23 axx2(x>0)x x x令 f (x) 0，即 ax 2 4x a30.4x 3333当 a0时，f(x) x2 .由f(x)>0，得 x>34；由 f(x)<0，得 0<x<43，所以函数 f(x)的单调递增区间为 43， ，x4443 单调递减

17、区间为 0， 34 .当 a>0 时，ax24xa30的判别式 4(a 1)( a 4)若 a1，0，则 f(x)0，所以 f(x)的单调递减区间为 (0， )4 a 3若 0<a<1，则 >0.因为 x1x2a4>0，x1x2aa 3>0，所以 x12 aa1 a4 >0，2 a1 a4x2a >0.由 f (x )>0，得 x1<x<x2；由 f (x )<0，得 x>x2 或 0<x<x1，所以 f(x)的单调递增区间为 (x1，x2)，单调递减区间为 (0， x1)， (x2， ) 33 综上，当

18、 a0 时，函数 f (x)的单调递增区间为 43， ，单调递减区间为 0，43 .当 0<a<1 时，函数 f (x )的单调递增区间为2 a1 a 42 a 1 a 4 ，单调递减区间为 0，2 a 1 a42 a 1 a 4 ， .a当 a1时， f(x)的单调递减区间为 (0， )11(2)“存在 x1，x2 2，2 ，使 f(x1)>g(x2)”等价于 “x 2，2 时， f(x)max>g(x)min”1 1 3由(1)知，当 x 2，2 时， f(x)max f 2 4ln 2 2a 6.由 g(x)2ex40，得 xln 2.1当 x 21， ln 2

19、时， g (x)<0 ， g(x)单调递减；当 x(ln 2,2时， g(x)>0，g(x)单调递增1所以当 x 2，2 时，g(x)ming(ln 2) 4 4ln 22a.3由 f(x)max>g(x)min，得 4ln 22a6>44ln 2 2a，解得 1 a<4，故实数 a 的取值范围为 1,4) 技法四 “? x1D1，? x2D2，使 f(x1)>g(x2)”与“? x1D1，? x2D2，使 f(x1)<g(x2)” 的辨析(1)? x1D1，? x2D2，使 f(x1)>g(x2)，等价于函数 f(x)在 D1 上的最小值大于

20、g(x)在 D2 上的最小值，即 f (x )min > g(x)min (这里假设 f(x)min ，g(x)min 存在 )其等价转化的目标是函数 yf (x )的任意一个函数值大于函数yg(x)的某一个函数值如图 .(2)? x1D1，? x2D2，使 f(x1)<g(x2)，等价于函数f(x)在 D1 上的最大值小于g(x)在 D2 上的最大值，即f(x)max<g(x)max.其等价转化的目标是函数 y f (x )的任意一个函数值小于函数 y g(x)的某一个函数值如图 . 13典例 已知函数 f(x)ln x4x4x1，g(x)x22bx4，若对任意的 x1(0

21、,2)，总存在 x2 1,2 ，使f(x1)g(x2)，求实数 b 的取值范围方法演示 解： 依题意知 f(x)在(0,2)上的最小值不小于 g(x)在 1,2 上的最小值，即 f(x)ming(x)min .3x 1 x34x24x2则当 0<x<1 时， f(x)<0，f(x)单调递减；当 1<x<2 时， f(x)>0，f(x)单调递增，1 所以当 x (0,2)时， f(x)minf(1) 2.又 g(x)x22bx 4， 当 b<1 时，可求得 g(x)min g(1)5 2b.由 52b 12，解得 b 141，这与 b<1 矛盾；

22、当 1b2 时，可求得 g(x)min g(b)4b2.由 4b212，得 b2 92，这与 1 b2 矛盾； 当 b>2 时，可求得 g(x)min g(2)8 4b.1 17由 84b 1 16x12， 0x2，1已知函数 f(x) x3 1 和函数 g(x)asin6xa1(a>0)，若存在 x1，x20,1 ，使得 f(x1) x1x1，2<x1 g(x2)成立，求实数 a 的取值范围解：设函数 f(x)，g(x)在0,1上的值域分别为 A，B，则“存在 x1，x2 0,1 ，使得 f(x1)g(x2)成立”等价于 “AB ?”当 0x21时， f(x)61x112单

23、调递减，得 b17.2817 综合得实数 b 的取值范围是 17， .8解题师说 “对任意 x1(0,2)，总存在 x21,2 ，使 f(x1)g(x2)”等价于“ f (x )在(0,2)上的最小值大于或等于 g(x)在1,2 上的最小值”应用体验 14已知函数 f(x) 3x3x2ax.(1)若 f(x)在区间 1， )上单调递增，求实数 a 的最小值；x 1 1(2)若 g(x)exx，对? x1 2，2 ，? x2 2，2 ，使 f(x1)g(x2)成立，求实数 a的取值范围解： (1)由题设知 f(x)x22xa0 在1，)上恒成立，即 a(x1)21 在1， )上恒成立， 而 y

24、(x 1)2 1在1， )单调递减，则 ymax 3， a 3， a的最小值为 3.1 1 1(2)“对? x1 2，2 ，? x2 2，2 ，使 f(x1)g(x2)成立”等价于 “x 2，2 时，f(x)maxg(x)max”1 f(x)x22xa(x1)2a1 在 2，2 上递增，f (x)maxf(2)8 a.1 x又 g(x)1x x，由 g(x)>0，得 x<1，e由 g (x)<0，得 x>1，g(x)在( ，1)上单调递增，在 (1， )上单调递减11当 x 2，2 时， g(x)max g(1)e.11由 8 a ，得 a 8 ，ee1实数 a 的取值

25、范围为 ，1 8 .e1所以 0 f(x) 1 .1x2 2x 3当2<x1时，f(x) x1 2 >0，x3所以 f(x) xx 1单调递增，11所以 112<f(x) 21；1故 f(x)在 0,1 上的值域 A 0， 2 . 当 x 0,1时，6x 0，6 ，ysin6x 在0,1上单调递增 又 a>0，所以 g(x)asin6xa1 在0,1上单调递增， 其值域 B 1 a， 1 2a .1a 1由 AB?，得 01 a 或 01 ，2 2 21解得 21 a 2.1所以实数 a的取值范围是 21， 2 .12已知函数 f (x) ln xxax.(1)若函数

26、f(x)在1， )上是单调函数，求实数 a 的取值范围；1(2)已知函数 g(x)xx，对于任意 x11，e，总存在 x 2 1， e，使得 f(x1)g(x2)成立，求正实数 a 的取值x范围1 1ax2 x 1解： (1)f(x)x1 12a2，x1， )，x x x函数 f(x)在 1， )上是单调函数，f(x)0 或 f(x)0 对任意 x 1， )恒成立即 ax2x10 或 ax2x10 对任意 x 1 ， )恒成立，1 1 1 1a 2 或 a 2 对任意 x 1， )恒成立x x x x1令 t x1，由于 x 1 ， )，则 t(0,1，x设 h(t)t2t t 12 241，

27、11因此 h(t)0，故 a0或 a ，441实数 a的取值范围为 ，4 0， )(2)由(1)知，当 a>0 时，函数 f(x)在1，e上为增函数，1故 f(1)f(x)f(e)，即 1a f(x)1ae .e1 x2 1g (x)1x2 x2 ，当 x1，e时， g (x ) 0， g(x )单调递增，1 g(1) g(x)g(e)，即 2g(x) e .e 对任意 x1 1， e ，总存在 x21，e， 使得 f(x1) g(x2)成立，11 f(x1) max g(x 2) max ， 即 1 ae e e e， ee1解得 0< a 1 1，e1 故所求正实数 a 的取值

28、范围为 0，1 1 .e223 3已知函数 f(x) x2 3ax 3( a>0) ， x R.(1) 求 f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意的 x1(2， )，都存在 x2(1， )，使得 f(x1)·f(x2)1，求实数 a 的取值范围 解： (1)f(x)2x 2ax2(a>0)，1 令 f (x) 0，得 x0 或 x .a当 x 变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表：x(， 0)00，1a1 a11， af(x)00f(x)0错误!112a 时，f(x)<0.所以 f (x )的单调递增区间是 0，1 ，单调递减区间是 (，0)， 1， a

29、a f(x)的极小值为 f(0) 0，极大值为 f a 3a2.(2)由 f(0)f 23a 0 及(1)知，当 x 0， 3 时， f(x)>0 ；2a设集合 Af(x)|x(2， )，1B f x x 1， ， f x 0 . fx则“对任意的 x1(2， )，都存在 x2(1， )，使得 f(x1) ·f(x2)1”等价于 A? B，显然 0?B. 下面分三种情况讨论： 当23a>2，即 0<a<34时，由 f 23a 0 知， 0 A，而 0?B，所以 A 不是 B 的子集3 33 当 1 3 2，即 3a 3时，有 f(2)0，且此时 f (x )在

30、(2， )上单调递减， 2a42故 A(，f(2)，因而 A? (， 0)；由 f(1)0，有 f(x)在(1， )上的取值范围包含 (，0)，则(，0)? B，所以 A? B.3 3 1 当 3 <1，即 a>3时，有 f(1)<0 ，且此时 f(x)在(1， )上单调递减，故 B，0 ，A(，f(2)，A2a 2 f 1不是 B 的子集33综上，实数 a的取值范围是 34，32 .1(m0)，g(x)x2eax(aR)mx4 (理 )已知函数 f(x) x2 1(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 m>0 时，若对任意 x1， x2 0,2 ， f(x 1)

31、g(x2)恒成立，求实数 a 的取值范围m 1 x()当a<0，即 a>0 时，显然在 0,2上， g(x)0，g(x)单调递增，于是 g(x)maxg(2)4e2a，此时不满足 a1 g(x)max.综上，实数 a 的取值范围是 (， ln 2 m 1 x 1 xx2 1 2解：(1)f(x) x21 2当 m>0 时，由 f (x)>0，得 1<x<1；由 f (x)<0，得 x>1 或 x< 1，所以 f(x)的单调递增区间是 ( 1,1)，单调 递减区间是 ( ， 1)，(1， )当 m<0 时，由 f(x)>0，得 x

32、>1 或 x<1；由 f(x)<0，得 1<x<1，所以 f(x)的单调递增区间是 (，1)， (1， )，单调递减区间是 ( 1,1)(2)依题意， 当 m>0 时，“对任意 x1，x20,2，f(x1)g(x2)恒成立 ”等价于 “对任意 x 0,2 ，f(x)ming(x)max 成立 ”当 m>0 时，由 (1)知，函数 f (x)在0,1上单调递增，在 1,2 上单调递减，因为 f(0)1，f(2) 5 1>1，所以 f(x)min f(0)1.故应满足 1 g(x )max .因为 g(x)x2eax，所以 g (x) (ax2 2x

33、)eax.当 a0时， g(x)x2，对任意 x0,2，g(x)maxg(2)4，不满足 1 g(x) max 2当 a0时，令 g (x) 0，得 x0 或 x2.a2()当 2，即 1a<0 时，在 0,2上，g(x)0，所以 g(x )在0,2上单调递增， g(x)maxg(2)4e2a. a由 1 4e2a，得 aln 2，所以 1aln 2.222()当 0<2<2，即 a<1 时，在 0， 上， g(x)0，g(x)单调递增；在 ，2 上， g(x)<0，g(x)单调 aaa24递减 g(x)max g 2 2.a a e由 1 24 2，得 a 2，所以 a< 1.a2e2e4 (文 )已知函数 f(x) (1 b)x2a2xaln x(a> 0)在 x 2a 处取得极值(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 g(x)x22cx4ln 2，当 a1 时，若对任意的 x1，x21，e都有 f(x1)g(x2)，求实数 c的取值范围解：(1)由 f(x)(1b)x2