常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

1、编辑课件1拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /编辑课件2拉普拉斯变换拉普拉斯变换n含义：q简称拉氏变换q从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换 n用途与优点q对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。n应用：q求解线性微分方程q在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合编辑课件3拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： 对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解再反变换获取原

2、方程的解再反变换获取原方程的解问题：问题：1. 什么是拉氏变换什么是拉氏变换2. 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质3. 什么是拉氏逆变换什么是拉氏逆变换4. 如何用拉氏变换求解微分方程如何用拉氏变换求解微分方程编辑课件4若若0dttfest）（）（sF0stef tdt（）)( tf), 0)(tf)()(sFtfL1拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换简称拉氏变换)对于在对于在上有定义的函数上有定义的函数对于已给的对于已给的S（一般为复数）存在，则称（一般为复数）存在，则称为函数为函数的拉普拉斯变换，记为的拉普拉斯变换，记为TstTdttfe0）（limf (t)称为称为Lap

3、lace Transform 的原函数，的原函数，F(s)称为称为f (t)的的象象函数函数. Res编辑课件5拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法存在性存在性是分段连续的是分段连续的, 并且并且 常数常数)(tf0t0M00ttMetf )(sRe)(tf假若函数假若函数在在的每一个有限区间上的每一个有限区间上使对于所有的使对于所有的都有都有成立成立则当则当时时,的的Laplace Transform是存在的。是存在的。编辑课件61)(tf)(0 t01dtest 例例1 limsessTT11s10sRe)(Re0 11ssL当当即即limTstTes01拉普拉斯变换实例拉普拉斯变换实例编辑课件7

4、例例2 ( 是给定的实数或复数是给定的实数或复数 ) ztetf)(zzteL0dteeztst)0)(Re( zs)Re(Rezs 0dtetzs)(zs1zteLzs1编辑课件8n常用函数拉氏变换表n利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得结果编辑课件92 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)(),(tgtf)()()()(tgLtfLtgtfL1 线性性质线性性质如果如果是原函数是原函数,和和是任意两个常数是任意两个常数(可以是复数可以是复数)，则有，则有编辑课件102 原函数的原函数的微分性质微分性质)(,),(),()(tftftfn )(tfL)()(0ftfsL)()(

5、tfLn)(tfLsn)(01fsn)()()(0012nnffs如果如果都是原函数，则有都是原函数，则有或或编辑课件113 象函数的微分性质象函数的微分性质)()(tfLsF0)()(dttftesFst0)()() 1()(dttfetsFstnnn( )( )( 1)( )nnnFsL t f t 编辑课件123 3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换已知象函数，求原函数已知象函数，求原函数)()(tfsFL1也具有线性性质也具有线性性质)()(sFcsFcL22111)()(sFLcsFLc212111编辑课件13)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由线性性质可得由线性性质可得如果如

6、果的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换可分解为可分解为并假定并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即的拉普拉斯变换容易求得，即)(sFi)(sFi)(tfLi则则)()()(sFLsFLsFLn1111)()(tftfn1编辑课件14例例3 求求 的的Laplace 反变换反变换233)(2ssssF)()(2112111sLsLsFLtfttee220t解解)()(2132332sssssssF2112ss拉普拉斯逆变换实例拉普拉斯逆变换实例编辑课件15例例4 求求22)2)(1(5)(ssssssF的的Laplace 反变换反变换解解2)2(111)(sssF)()(2112111sLsLtf)(0 2

7、tteett编辑课件164 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解求非齐次线性方程的特解 )步骤：步骤：编辑课件174 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解求非齐次线性方程的特解 )( )(1)11( ) nnnnxaxa xa xf t)()()(,)(,)(,)(1010000000 nnxxxxxxxxia为常数为常数令令 )()(txLsX0)( dttxest0 xssXtxL)()()()()()()(10200201nnnnnnxsxxsxssXstxL编辑课件18)()()()(sBsFsXasasasnnnn111)()()()(sAsBsFsX

8、)()()()()(sAsBsFLsXLtx11给给(4.32)两端施行两端施行Laplace Transform)()()()()()()()(sFsXaxssXaxxsxssXsaxsxxsxssXsnnnnnnnnnnn012003021110200201( )(1)11( ) nnnnxaxa xa xf t编辑课件19解解 令令)()(sXtxL)(teLxLdtdxL2210ssXxssX)()()(1121211sssssX)()(tteesLsLsXLtx21111121)()(例例5texdtdx20)0(x满足初始条件满足初始条件 求求的特解的特解 用拉氏变换求微分方程实例用拉氏变换求微分方程实例编辑课件20令令 1 tddxdtdx2222dxddtxd1eeet010)(x010)(x)()(sXxL例例 6 求求 texxx 20) 1 () 1 ( xx满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解解编辑课件21eex221)(ttetetetx212121121)()()()(essXss111122)()(2112121132)(!)()(sesssesXessXxssXxsxsXs11102002)()()()()()(编辑课件22133 xxxx0)0()0()0( xxx)()(txLsXssXssXsXssXs133