高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院

1、一、问答题(将解答输入文本框中，共41道小题) 1. 求下列函数的定义域:(1) y= x 2 4 , (2) y= 1 4 x 2 , (3) 设 f(x) 的定义域是0,1, 求 f(lnx) 的定义域.本题2分 参考答案： 解: (1) D=(,22,+) , (2) D=(2,2) , (3) 由 lnx0,1 可得其定义域为 1,e . 2. 若 f(t)=2 t 2 + 2 t 2 + 5 t +5t , 证明 f(t)=f( 1 t ) . 本题2分 参考答案： 证明: f( 1 t )=2 1 t 2 +2 t 2 +5t+5 1 t =f(t) . 3. 设 f(x)=2 x

2、 2 +6x3 , 求 (x)= 1 2 f(x)+f(x) 及 (x)= 1 2 f(x)f(x) , 并指出 (x) 及 (x) 中哪个是奇函数哪个是偶函数? 本题2分 参考答案： 解: (x)= 1 2 f(x)+f(x)=2 x 2 3 是偶函数, (x)= 1 2 f(x)f(x)=6x 是奇函数. 4. 求下列极限:(1) lim x1 x 2 2x+1 x 2 1 ; (2) lim h0 (x+h) 2 x 2 h ; (3) lim x x 2 1 2 x 2 x1 ; (4) lim x x 2 +x x 4 3 x 2 +1 ; (5) lim x4 x 2 6x+8 x

3、 2 5x+4 ; (6) lim n 1+2+3+(n1) n 2 ; (7) lim n (n+1)(n+2)(n+3) 5 n 3 ; (8) lim x1 ( 1 1x 3 1 x 3 ) 参考答案： 解:(1) lim x1 x 2 2x+1 x 2 1 = lim x1 (x1) 2 (x1)(x+1) = lim x1 x1 x+1 =0 . (2) lim h0 (x+h) 2 x 2 h = lim h0 (2x+h)=2x . (3) lim x x 2 1 2 x 2 x1 = lim x 1 1 x 2 2 1 x 1 x 2 = 1 2 . (4) lim x x 2

4、 +x x 4 3 x 2 +1 = lim x 1 x 2 + 1 x 3 1 3 x 2 + 1 x 4 =0 . (5) lim x4 x 2 6x+8 x 2 5x+4 = lim x4 (x2)(x4) (x1)(x4) = lim x4 x2 x1 = 2 3 . (6) lim n 1+2+3+(n1) n 2 = lim n n(n1) 2 n 2 = lim n 1 2 (1 1 n )= 1 2 . (7) lim n (n+1)(n+2)(n+3) 5 n 3 = lim n 1 5 (1+ 1 n )(1+ 2 n )(1+ 3 n )= 1 5 . (8) lim x

5、1 ( 1 1x 3 1 x 3 )= lim x1 x 2 +x2 (1x)( x 2 +x+1) = lim x1 (x1)(x+2) (1x)( x 2 +x+1) =1 5. 计算下列极限:(1) lim x0 sinx x ; (2) lim x0 tan3x x ; (3) lim x0 sin2x sin5x ; (4) lim x0 xcotx ; (5) lim x0 1cos2x xsinx ; (6) lim x+ x( x 2 +1 x) 本题2分 参考答案： 解:(1)根据重要极限可得 lim x0 sinx x = . (2) lim x0 tan3x x = li

6、m x0 sin3x x 1 cos3x =3 . (3) lim x0 sin2x sin5x = lim x0 sin2x x x sin5x = 2 5 . (4) lim x0 xcotx= lim x0 x sinx cosx=1 . (5) lim x0 1cos2x xsinx = lim x0 1cos2x x 2 x sinx = lim x0 sin2x x 2 2 1 1+cos2x =2 . (6) lim x+ x( x 2 +1 x)= lim x+ x x 2 +1 +x = lim x+ 1 1+ 1 x 2 +1 = 1 2 6. 利用夹逼准则证明:(1) l

7、im n ( n n 2 + + n n 2 +2 + n n 2 +n )=1 ;(2) lim x ( 1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 + 1 n 2 +n )=1 参考答案： 证明:(1)因为 n 2 n 2 +n n n 2 + + n n 2 +2 + n n 2 +n n 2 n 2 + , 而 lim n n 2 n 2 + = lim n n 2 n 2 +n =1 , 所以 lim n ( n n 2 + + n n 2 +2 + n n 2 +n )=1 . (2)因为 n n 2 +n 1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 + 1 n 2 +n n n 2 +1

8、 , 而 lim n n n 2 +1 = lim n n n 2 +n =1 , 所以 lim x ( 1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 + 1 n 2 +n )=1 . 7. 研究下列函数的连续性:(1) f(x)= x 2 ,0x1, 2x,1<x2; (2) f(x)= x, 1x1, 1, x<1或x>1. 本题2分 参考答案： 证明:(1)仅需要讨论在 x=1 点的连续性.因为 lim x 1 f(x)= lim x 1 x 2 =1 , lim x 1 + f(x)= lim x 1 (2x)=1 , 所以 f(x) 在 x=1 点连续. (2)仅需要讨论

9、在 x=±1 点的连续性. 因为 lim x 1 f(x)= lim x 1 x=1 , lim x 1 + f(x)= lim x 1 1=1 , 所以 f(x) 在 x=1 点连续. 同理 lim x 1 f(x)= lim x 1 1=1 , lim x 1 + f(x)= lim x 1 x=1 , 所以 f(x) 在 x=1 点不连续. 8. 证明方程 x 5 3x=1 至少有一个根介于1和2之间.本题2分 参考答案： 证明: 设 f(x)= x 5 3x1 , 显然是连续的, 又 f(1)=131=3<0 , f(2)= 2 5 61=25>0 , 由零点定理

10、知存在 c(1,2) , 使得 f(c)= c 5 3c1=0 , 即方程 x 5 3x=1 至少有一个根介于1和2之间. 9. 求下列函数的导数:(1) y= x 4 ; (2) y= x 2 3 ; (3) y= x 1.6 ; (4) y= 1 x ; (5) y= 1 x 2 ; (6) y= x 3 x 5 本题2分 参考答案： 解:(1) y =4 x 3 , (2) y = 2 3 x 1/3 , (3) y =1.6 x 0.6 , (4) y = 1 2x x , (5) y = 2 x 3 , (6) y = 16 5 x 11/5 10. 求曲线 y=cosx 上点 (

11、3 , 1 2 ) 处的切线方程和法线方程.本题2分 参考答案： 解: k=sinx | x=/3 = 3 2 , 所以切线方程和法线方程分别为: y 1 2 = 3 2 (x 2 ) , y 1 2 = 2 3 (x 2 ) 11. 求曲线 y= e x 在点(0,1)处的切线方程. 本题2分 参考答案： 解: k= e x | x=0 =1 , 所以切线方程和法线方程分别为: y1=x , y1=x . 12. 设函数 f(x)= x 2 , x1, ax+b, x>1. 为了使函数 f(x) 在 x=1 处连续且可导, a、b应取什么值?本题2分 参考答案： 解: 由连续性可知 1

12、= lim x 1 + f(x)=a+b , 由可导知 2=(ax+b ) | x=1 =a 所以 a=2,b=1 . 13. 求下列函数的导数:(1) y=5 x 2 2 x +3 e x ; (2) y=2tanx+secx1 ; (3) y=sinxcosx ; (4) y= x 2 lnx 本题2分 参考答案： 解:(1) y =10x 2 x ln2+3 e x , (2) y =2 sec 2 x+secxtanx , (3) y = cos 2 x sin 2 x=cos2x , (4) y =2xlnx+x 14. 写出曲线 y=x 1 x 与x轴交点处的切线方程. 本题2分

13、参考答案： 解: 交点为 (±1,0) , 斜率为 k= y =(1+ 1 x 2 ) | x=±1 =2 , 所以切线方程为: y=2(x±1) 15. 求下列函数的导数:(1) y= (2x+5) 4 ; (2) y=cos(43x) ; (3) y=ln(1+ x 2 ) ; (4) y= sin 2 x ; (5) y= sin2x x ; (6) y=ln(x+ a 2 + x 2 ) 本题2分 参考答案： 解:(1) y =8 (2x+5) 3 , (2) y =3sin(43x) , (3) y =2x/(1+ x 2 ) , (4) y =sin2

14、x , (5) y = 2xcos2xsin2x x 2 , (6) y = (x+ a 2 + x 2 ) 1 (1+ x a 2 + x 2 )= 1 a 2 + x 2 16. 求下列函数的二阶导数:(1) y=2 x 2 +lnx ; (2) y= e 2x1 ; (3) y=xcosx 本题2分 参考答案： 解:(1) y =4x+ 1 x , y =4 1 x 2 , (2) y =2 e 2x1 , y =4 e 2x1 , (3) y =cosxxsinx , y =2sinxxcosx 17. 设 f(x)= (x+10) 6 , 求 f (2)=? 本题2分 参考答案： 解

15、: f (x)=6 (x+10) 5 , f (x)=30 (x+10) 4 , f (x)=120 (x+10) 3 , 所以 f (2)=120 (12) 3 18. 验证函数 y= e x sinx 满足关系式: y 2 y +2y=0 .本题2分 参考答案： 解: y = e x (sinx+cosx) , y =2 e x cosx , 所以 y 2 y +2y=0 . 19. 用对数求导数法求下列函数的导数:(1) y= ( x 1+x ) x ; (2) y= x5 x 2 +2 5 5 本题2分 参考答案： 解:(1) lny=xlnxxln(1+x) , 所以 y =ylnx

16、ln(1+x)+ 1 1+x . (2) lny= 1 5 ln(x5) 1 5 ln( x 2 +2) , 所以 y = y 25 ( 5 x5 2x x 2 +2 ) 20. 不用求函数 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4) 的导数, 说明方程 f (x)=0 有几个实根, 并指出它们所在区间. 本题2分 参考答案： 解: 由罗尔定理知 f (x)=0 有三个不同的实根, 分布在(1,2), (2,3), (3,4). 21. 设 a>b>0 , n>1 , 证明: n b n1 (ab)< a n b n <n a n1 (ab) . 本题2分 参考答

17、案： 证明: 设 f(x)= x n , 在 b,a 区间上使用中值定理得: a n b n =n n1 (ab) , 其中 a>>b>0 , 所以 a n1 > n1 > b n1 , 故不等式 n b n1 (ab)< a n b n <n a n1 (ab) 成立. 22. 证明方程 x 5 +x1=0 只有一个正根.本题2分 参考答案： 证明: 设 f(x)= x 5 +x1 , 则 f(0)=1<0,f(1)=1>0 , 由零点定理知方程 x 5 +x1=0 在0和1之间有一个(正)根. 若方程 x 5 +x1=0 有两个正根 a

18、,b,a>b>0 , 则由罗尔定理知存在 :a>>b>0 , 使得 5 4 +1=0 , 但这显然是不可能的, 所以方程 x 5 +x1=0 只有一个正根. 23. 用洛必达法则求下列极限:(1) lim x0 ln(1+x) x ; (2) lim x0 e x e x sinx ; (3) lim x sin3x tan5x ; (4) lim x0 xcot2x 本题2分 参考答案： 解:(1) lim x0 ln(1+x) x = lim x0 1 1+x =1 , (2) lim x0 e x e x sinx = lim x0 e x + e x co

19、sx =2 , (3) lim x sin3x tan5x = lim x sin3x sin5x = lim x 3cos3x 5cos5x = 3 5 , (4) lim x0 xcot2x= lim x0 x tan2x = 1 2 24. 确定下列函数的单调区间:(1) y=2 x 3 6 x 2 18x7 ; (2) y=2x+ 8 x (x>0) ; (3) y= x n e x (n>0,x0) 本题2分 参考答案： 解:(1) y =6 x 2 12x18=6(x1)(x2) , 所以单增区间: (,1),(2,+) , 单减区间: (1,2) . (2) y =2

20、 8 x 2 =2 (x-2)(x+2) x 2 , 所以单增区间: (2,+) , 单减区间: (0,2) . (3) y = x n1 (n-x )e x , 所以单增区间: 0,n , 单减区间: (n,+) 25. 证明不等式: 当 x>0 时, 1+ 1 2 x> 1+x 本题2分 参考答案： 证明: 设 f(x)=1+ 1 2 x 1+x , 则 f (x)= 1 2 1 2 1+x >0,(x>0) , 所以 f(x) 在 0,+) 上单增, 从而当 x>0 时, 有 f(x)=1+ 1 2 x 1+x >f(0)=0 , 即 1+ 1 2 x

21、> 1+x . 26. 试证方程 sinx=x 只有一个实根.本题2分 参考答案： 证明: 设 f(x)=xsinx , 显然0是一个根, 下证唯一性. f (x)=1cosx>0 ,( 2 <x< 2 ), 而在区间 2 <x< 2 之外显然没根(为什么?), 所以 f(x) 在 2 <x< 2 上单增, 从而有唯一根. 27. 求下列函数的极值:(1) y= x 2 2x+3 ; (2) y=2 x 3 3 x 2 ; (3) y=2 x 3 6 x 2 18x+7 ; (4) y=xln(1+x) 本题2分 参考答案： 解:(1)由 y =

22、2x2=0 得 x=1 , 且 y =2>0 , 所以 x=1 是极小值点, 极小值为: 2. (2)由 y =6( x 2 x)=0 得 x=0,1 , 且 y =12x6 , 所以 x=0 是极大值点, 极大值为: 0, x=1 是极小值点, 极小值为: 1 . (3)由 y =6( x 2 2x3)=6(x+1)(x3)=0 得 x=1,3 , 容易从单调性可知: x=1 是极大值点, 极大值为: 17, x=3 是极小值点, 极小值为: 47 . (4)由 y =1 1 1+x =0 得 x=0 , 且 y = 1 (1+x) 2 >0 , 所以 x=0 是极小值点, 极小

23、值为: 0 28. 试问a何值时, 函数 f(x)=asinx+ 1 3 sin3x 在 x= 3 处取得极值? 它是极大值还是极小值?本题2分 参考答案： 解: 由极值的必要条件知 f (/3)=(acosx+cos3x) | /3 =0 得 a=2 . 又 f (/3)=(2sinx3sin3x) | /3 = 3 <0 , 此为极大值. 29. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y=2 x 3 3 x 2 , 1x4 ; (2) y= x 4 8 x 2 +2 , 1x3 本题2分 参考答案： 解:(1) 由 y =6( x 2 x)=0 , 得 x=0,1 , 且 y(1)=5

24、 , y(0)=0 , y(1)=1 , y(4)=80 . 所以函数 y=2 x 3 3 x 2 在区间 1x4 上的最大值为: 80, 最大值为: 5 . (2) 由 y =4( x 3 4x)=0 得 x=0,±2 , 且 y(1)=5 , y(0)=2 , y(±2)=14 , y(3)=11 , 所以函数 y= x 4 8 x 2 +2 在区间 1x3 上的最大值为: 11, 最大值为: 14 30. 判定下列曲线的凹凸性:(1) y=4x x 2 ; (2) y=x+ 1 x (x>0) 本题2分 参考答案： 解:(1)由 y =42x, y =2<

25、0 , 所以函数 y=4x x 2 在定义域内是凸的. (2) 由 y =1 1 x 2 , y = 1 x 3 >0, (x>0) , 所以函数 y=x+ 1 x 在 (0,+) 上是凹的. 31. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1) y= x 3 5 x 2 +3x+5 ; (2) y=x e x 本题2分 参考答案： 解:(1)由 y =3 x 2 10x+3, y =6x10 知函数 y= x 3 5 x 2 +3x+5 在 (, 5 3 ) 上是凸的, 在 ( 5 3 ,+) 上是凹的. (2)由 y =(1x) e x , y =(x2) e x 知函数 y=x

26、 e x 在 (,2) 上是凸的, 在 (2,+) 上是凹的. 32. 求下列不定积分:(1) dx x 2 ; (2) x x dx ; (3) (x2) 2 dx ; (4) dx x 2 x ; (5) ( x 2 3x+2)dx ; (6) cos 2 x 2 dx ; (7) ( 2 e x + 3 x )dx 本题2分 参考答案： 解:(1) dx x 2 = 1 x +C , (2) x x dx = 2 5 x 2 x +C , (3) (x2) 2 dx = 1 3 (x2) 2 +C , (4) dx x 2 x = 2 3 1 x x +C , (5) ( x 2 3x+

27、2)dx = 1 3 x 3 3 2 x 2 +2x+C , (6) cos 2 x 2 dx = 1 2 (1+cosx)dx= 1 2 (x+sinx)+C , (7) ( 2 e x + 3 x )dx =2 e x +3ln|x|+C 33. 求下列不定积分(其中 a、b、 均为常数):(1) e 5t dt ; (2) dx 23x 3 ; (3) sin t t dt ; (4) x e x 2 dx ; (5) sinx cos 3 x dx ; (6) dx (x+1)(x2) ; (7) dx 1+ 2x 本题2分 参考答案： 解:(1) e 5t dt = 1 5 e 5t

28、 +C ; (2) dx 23x 3 = 1 2 (23x) 2 3 +C ; (3) sin t t dt =2cos t +C ; (4) x e x 2 dx = 1 2 e x 2 +C ; (5) sinx cos 3 x dx = tanx sec 2 x dx= 1 2 tan 2 x+C ; (6) dx (x+1)(x2) = 1 3 ( 1 x2 1 x+1 )dx= 1 3 (ln|x2|ln|x+1|+C ; (7) dx 1+ 2x = t 1+t dt=tln(1+t)+C= 2x ln(1+ 2x )+C 34. 求下列不定积分:(1) xsinxdx ; (2) lnxdx ; (3) x e x dx ; (4) x 2 lnxdx ; (5) xcos x 2 dx ; (6) e x 3 dx 本题2分 参考答案： 解:(1) xsinxdx =xcosx+ cosxdx=xcosx+sinx+C ; (2) lnxdx =xlnxx+C ; (3) x