高考上海文科数学试题及答案(高清版)

1、2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分1计算：_(i为虚数单位)2若集合Ax|2x10，Bx|x|1，则AB_.3函数的最小正周期是_4若d(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)5一个高为2的圆柱，底面周长为2.该圆柱的表面积为_6方程4x2x130的解是_7有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，Vn，则_.8在(x)6的二项展开式中，常数项等于_9已知yf(x)是奇

2、函数，若g(x)f(x)2且g(1)1，则g(1)_.10满足约束条件|x|2|y|2的目标函数zyx的最小值是_11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)12在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_13已知函数yf(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(，1)，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为_14已知，各项均为正数的数列an满足a11，an2f(an)若a2 010a2 012，则a20a1

3、1的值是_二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15若是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c116对于常数m，n，“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件17在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定18若(nN*)，则在S1，S2，S100中，正数的个数是()A16 B72 C86 D100三、解答题(本大题共有5

4、题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤19如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知，AB2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20已知函数f(x)lg(x1)(1)若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)(x1,2)的反函数21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图现假设：失事船

5、的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ.23对于项数为m的有穷数列an，记bkmaxa1，a

6、2，ak(k1,2，m)，即bk为a1，a2，ak中的最大值，并称数列bn是an的控制数列如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列an的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的an；(2)设bn是an的控制数列，满足akbmk1C(C为常数，k1,2，m)，求证：bkak(k1,2，m)；(3)设m100，常数a(，1)，若，bn是an的控制数列，求(b1a1)(b2a2)(b100a100)1答案：12i解析：.2答案：x|x1解析：由Ax|x，Bx|1x1，则ABx|x13答案：解析：f(x)sinxcosx2sin2x2，所以T.4答案：解析：设直

7、线l的倾斜角为，则，所以.5答案：6解析：由底面周长为2可得底面半径为1.S底2r22，S侧2r·h4，所以S表S底S侧6.6答案：log23解析：原方程可化为(2x)22×2x3(2x3)(2x1)0，所以2x3，xlog23.7答案：解析：棱长是以1为首项、为公比的等比数列，则体积V1，V2，Vn是以1为首项、为公比的等比数列，所以V1V2Vn，.8答案：20解析：展开式的通项为Tr1x6r·()r，令6rr，可得r3所以T4x3×()320.9答案：3解析：由g(1)f(1)21，得f(1)1.由f(x)为奇函数得f(1)1.所以g(1)f(1)2

8、123.10答案：2解析：约束条件可化为不等式组求z=yx最小值，即为求y=x+z在y轴上截距的最小值由图可知(2,0)为最优解，所以zmin=02=2.11答案：解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法种，而有两人选择的项目完全相同的选法有种，故填.12答案：1,4解析：以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的坐标系设BM长为x，由题意得，则CN=2x，所以点M的坐标为(2，x)，点N的坐标为(22x,1)所以·44xx43x，x0,1所以·的取值范围为1,413答案：解析：由题意知则设所求面积为S，则S如图中阴影部分所示所以，.14答案：解

9、析：由an2f(an)，a11，可得，.由a2 012a2 010，可得a2 010a2 012，则a2a4a20a2na2 010a2 012.所以a20a11.15 B由x11i，知x21i.则x1x22b，即b2；x1x2(1i)(1i)12i23c.16Bmx2ny21表示椭圆的充要条件为m0，n0，mn，显然m0，n0且mnmn0.而mn0m0，n0且mn.所以应为必要不充分条件17 C由正弦定理可知a2b2c2，从而，C为钝角，故该三角形为钝角三角形18 C由，所以S13S140.同理S27S28S41S42S55S56S69S70S83S84S97S980，所以在S1，S2，S1

10、00中，其余各项均大于0.故选C项19解：(1)，三棱锥PABC的体积为.(2)取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AD2，所以.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是.20解：(1)由得1x1.由0lg(22x)lg(x1)1，得110.因为x10，所以x122x10x10，.由得.(2)当x1,2时，2x0,1，因此yg(x)g(x2)g(2x)f(2x)lg(3x)由单调性可得y0，lg 2因为x310y，所以所求反函数是y310x ，x0，lg 221解：(1)t0.5时，P的横坐标xP7t，代入抛物线方程

11、，得P的纵坐标yP3.由，得救援船速度的大小为海里/时由tanOAP，得OAP，故救援船速度的方向为北偏东弧度(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)由，整理得v2144(t2)337.因为t22，当且仅当t1时等号成立所以v2144×2337252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船22解： (1)双曲线C：，左焦点F(，0)，设M(x，y)，则|MF|2(x)2y2，由M点是右支上一点，知，所以，得.所以M(，) (2)左顶点A(，0)，渐近线方程：.过点A与渐近线平行的直线方程为，即.解方程组得所求平行四边形的面积为

12、S|OA|y|. (3)设直线PQ的方程是ykxb.因直线PQ与已知圆相切，故，即b2k21.(*)由得(2k2)x22kbxb210.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则又y1y2(kx1b)(kx2b)，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2.由(*)知，所以OPOQ.23解：(1)数列an为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)因为bkmaxa1，a2，ak，bk1maxa1，a2，ak，ak1，所以bk1bk.因为akbmk1C，ak1bmkC，所以ak1akbmk1bmk0，即ak1ak.因此，bkak.(3)对k1,2，25，a4k3a(4k3)2(4k3)；a4k2a(4k2)2(4k2)；a4k1a(4k1)2(4k1)；a4ka(4k)2(4k)比较大小，可得a4k2a4k3.因为