环流、涡度与涡度方程PPT课件

1、Chapter 4：环流、涡度与涡度方程环流、涡度与涡度方程郑建秋郑建秋2目 录4.1 涡度4.2 环流4.3 正压和斜压4.4 力管4.5 环流理论4.6 开尔文定理4.7 涡度方程4.8 涡度方程的简化4.9 浅水模型中的涡度方程4.10 位势涡度及位势涡度方程3前 言 大气中存在许多涡旋运动，例如台风、气旋、反气旋等等。环流和涡度是研究流体旋转的两个主要物理量。环流环流是描述流体某一个有限面积旋转的总趋势，是一个宏观量，而涡度涡度是描述流体个别质点旋转的微观量。44.1 涡度 定义：涡度是一个矢量，即速度场的旋度，以示之。由于大气运动主要是水平的，在气象上，一般只考虑涡度的垂直分量，以示

2、之。rotVV wvuwvuijkyzzxxyvuxy5可见垂直涡度等于相应角速度的两倍垂直涡度等于相应角速度的两倍。注意：注意：这个结论对于固体是成立的。对于流体，由于整体角速度不一样，故此处角速度是指面元无限趋于中心的极限值。设一个流体面元在水平面上绕着通过中心O点的垂直轴z旋转，由于面元足够小，角速度可以看成到处相同，其值为，则线速度V在x，y方向上的分量是sinsincoscos2uVarayvVaraxvuxy 4.1 涡度垂直涡度与角速度垂直涡度与角速度6地球自转产生的涡度叫做地转涡度，在北半球纬度为处，因地球自转得到在垂直方向上的角速度为z=sin ，与其对应的垂直方向上的涡度为

3、 2z=2sin f可见地转涡度恰好等于地转参数（科氏参数）地转涡度恰好等于地转参数（科氏参数）。地转涡度地转涡度4.1 涡度7绝对涡度：绝对涡度：11()2222cos2sinaaaaarjkf jf kff 在标准坐标下，绝对涡度的分量形式可以写成在惯性坐标系里的涡度称为绝对涡度。4.1 涡度()2r 作业：推导8af地球大气流体元在垂直方向上的绝对涡度等于垂直相对涡度与垂直方向上地转涡度分量f之和。这两种涡度的相对大小可以作初步估计如下：VL0VRffL因此其中R0为局地罗斯贝数。在赤道附近以外的地区sin数量级为O(1)。小罗斯贝数的运动其相对涡度远小于地转涡度。在大尺度运动中，罗斯贝

4、数R010-1，这可以看出大尺度运动几乎总存在地转涡度，并且地转涡度大尺度运动几乎总存在地转涡度，并且地转涡度占有很大比重。占有很大比重。显然，涡度矢量场是无辐散的涡度矢量场是无辐散的，因为0V 4.1 涡度94.1 涡度注意：存在涡度，其流场并不一定具有弯曲的流线，这一点在自然坐标系中看得很清楚，在自然坐标系中，垂直涡度可以写成hhkVksnV ssn hhhhVVssksssVnsn Vssnn将11snsnsRsnnR代入上式，有 hhsVVRn这就是自然坐标系中的垂直涡度表达形式。 104.1 涡度hhsVVRn称为切变涡度，其正负决定于风速沿流线的左法线方向上变化率。sR为流线的曲率

5、半径。称为曲率涡度，它是由于流线的弯曲而引起的。如果空气的运动是反时针旋转的，则曲率涡度为正，反之亦然。其中：hsVRhVn若0，正环流；C 0,(dC/dt)/dt 0,(dC/dt)A A 0, 0,即面积即面积n n增大时，使相对环流减小。增大时，使相对环流减小。当当d dn n/dt 0,(dC/dt)/dt 0, 0,即面积即面积n n减小时，使相对环流增大。减小时，使相对环流增大。举例说明：选某一纬圈为闭合曲线，当此闭合曲线向南运动时，面积n增大，dn/dt0，相应地有指向圆外的法向分速度，在北半球，由于科氏力的作用便产生顺时针的环流，即产生负环流，(dC/dt)A0；反之亦然。注

6、意注意：一般情况下，曲线L并不与纬圈重合，且在运动过程中也不是整体一致南北移动，故这一项影响环流变化一般有三种方式： (1)由于水平辐散辐合而引起投影面积n的改变称为“散度作用散度作用”； (2)由于所在纬度的改变而引起n的改变称为“纬度作用纬度作用”； (3)由于环流面积n发生偏转，也可使其所在赤道的投影面积n发生改变称为“倾斜作用倾斜作用”；科氏力的作用只能使已存在的环流有所改变，而不能生成环流。4.5 环流理论2nAddCdtdt 25B项：项：应用Stokes定理：N是三维力管矢量，上式积分表示在回线所包围的开曲面上的力管通量。此面上的力管通量愈大，斜压性愈强，此项称斜压项或力管项。4

7、.5 环流理论LBdCprdt 21BBdCpnddtpppNdCp ndN nddt 2LLLdCpVrrFrdt 26举例说明：如右图，沿2341回线，计算B项的值。在12，34段，dp0，积分无贡献。在23段，dp0，积分值为负。但23段大气的平均密度比41段小，所以正贡献大于负贡献。故此时整个积分为正，对dC/dt的贡献为正，说明反时针的正环流得以加强或产生。在这个旋转运动中，密度小的空气在这个旋转运动中，密度小的空气上升，密度大的下沉。上升，密度大的下沉。4.5 环流理论=LLBdCprdpdt 大气的斜压性是由大气中非均匀加热所产生。以海陆风海陆风为例说明直接热力环流的产生过程。作

8、业：利用环流定理解释海陆风的形成。作业：利用环流定理解释海陆风的形成。27C项：项：所以若初始C0 0，摩擦力使之减小；若C0 0，相对涡度减少。4.8 涡度方程的简化若散度等于0，涡度方程简化为即正压、无辐散、无摩擦下，空气质点的绝对涡度守恒。此时若空气向北(南)移动，f加大(小)，必须减小(增大)。()0()d ffconstdtddfvvdtdy 或对比对比 开尔文定理开尔文定理：正压、无摩擦条件下，绝对环流守恒正压、无摩擦条件下，绝对环流守恒。=C 41现在介绍一下气象中常用的理论模型浅水模型浅水模型：假定大气满足静力平衡，且均匀不可压缩，下界面在 z = 0 是理想的刚体（平坦地面）

9、，上界是自由表面 z = h (x, y, t)00zz hz hhwdhhhhwuvdttxyPPconst4.9 浅水模型中的涡度方程运动方程组下面利用上述条件对此方程组进行变化。0uuuuhuvwfvgtxyzxvvvvhuvwfugtxyzypgzuvwxyz 42表明：正压模型中水平气压梯度力可以用自由面的重力位势gh的梯度表示。4.9 浅水模型中的涡度方程( )1,hhzzhhhpdzgdzzp zpg hzphphggpghxxyy 0uvzz( , , ),hhhh x y txy利用静力平衡方程，任一高度z到自由面h (x, y, t) 积分与z无关，必有uuuhuvfvgt

10、xyxvvvhuvfugtxyy 434.9 浅水模型中的涡度方程如此表明：正压模式中，水平运动的散度完全决定于自由面高度的变化。对连续方程，从地面(z=0, w=0)积分到自由表面z=h，可以得到0dhuvhdtxy或表示为如下的等价方程0huhvhtxy重写一下浅水模型运动方程：0duhfvgdtxdvhfugdtydhuvhdtxy 0uvwxyz00zz hwdhwdtduvdttxy其中作业：推导浅水模型作业：推导浅水模型444.9 浅水模型中的涡度方程( f +) / h称为位涡度，正压模式中位涡度守恒正压模式中位涡度守恒。对此方程组进行涡度计算，可以方便地得到浅水模型中（正压模式

11、）涡度方程。()()ln()ln()0d ffDdtuvDxydfDdtdhDdtdfdth或者而由连续方程作业：推导浅水模型位涡守恒作业：推导浅水模型位涡守恒45前面介绍了涡度方程，但它主要是涡度引起变化的原因，而不是涡度变化的一个约束条件。描述大气的完整运动需要动力学场和热力学场，位势涡度为同时考虑二者的一个很好的守恒量。4.10 位势涡度及位势涡度方程略去摩擦项，涡度方程可以写成1.位势涡度守恒位势涡度守恒aaadVVNdt 利用连续方程，以代入上式，得1 dVdt 1aadVNdt(1)464.10 位势涡度及位势涡度方程两边作梯度运算0Vt利用失量运算法则00A BABABBABAV

12、VVVVVVVt (2)0dVVdt 整理，得：对于绝热过程，位温具有守恒性，即0dVdtt474.10 位势涡度及位势涡度方程重写一下刚才两式：10aadVNdtdVVdt 12 , 2a1 式点乘式点乘,然后相加aaaaVVVdNdt 1注意到：()()()ABCBACB AC a 484.10 位势涡度及位势涡度方程而由于位温只是压强和温度的函数，或者说位温只是压强和比体积的函数，则pp N 所以0N故得0addt49由涡度场、密度场和位温场组成的表征旋转性质的量 称为位势涡度位势涡度。上式表明：旋转、绝热大气中，位势涡度守恒旋转、绝热大气中，位势涡度守恒。如果位势涡度存在局地变化，则此

13、变化必然是由于位势涡度输送引起的。4.10 位势涡度及位势涡度方程2a 20ddt 2const 若将代入上式0addt得或50由于大尺度运动以水平为主，故下面主要分析垂直方向上位势涡度项。作为全位势涡度守恒方程的一个很好的近似，仅取与垂直方向有关的项:()0dfd tz4.10 位势涡度及位势涡度方程2.垂直位势涡度方程垂直位势涡度方程垂直涡度为2akkf垂直位温梯度为kz51若大气不可压缩，过程绝热，大气限于两个等位温面1和2之间，平均位温称垂直位势涡度守恒垂直位势涡度守恒。回忆上节浅水模型，可直接得到浅水模型中位涡方程：()0dfdtH这等价于垂直位涡守恒方程，这表明在不可压缩大气的绝热

14、过程中，或者在在不可压缩大气的绝热过程中，或者在浅水模型大气运动中，垂直位势涡度守恒浅水模型大气运动中，垂直位势涡度守恒。4.10 位势涡度及位势涡度方程21co n stfco n stzHHH52举例：用位势涡度守恒定律解释气流过山后形成低压槽的现象，这种低压槽又叫作地形槽或动力槽地形槽或动力槽。4.10 位势涡度及位势涡度方程假设平直西风气流爬越南北向山脉，如下图所示。如果气流没有水平切变，大气层结是稳定的，且运动可近似看成垂直位势涡度守恒。气流在爬越山脉时，迎风坡有强迫上升运动，气柱厚度H减小，由刚才的式子可知，相对涡度应随之减小。若原来相对涡度 =0，这是应有 0，因此，气流便产生反气旋曲率，同时空气将向南运动。534.10 位势涡度及位势涡度方程下山时，气柱厚度H增大，相对涡度也增大，即反气旋曲率减小。若山是对称的，则上山过程的作用被下山的相反运动所抵消，但是，因为气流过山的全过程是反气旋性路径，因此到山脚时，气流已经在原来纬度之南了，f比原来小，所以必须比原来大(即呈现出正涡度)，轨迹具有气旋形弯曲。当气块返回到初始纬度时，虽然回复到原状态，即=0，但是由于惯性作用