抛物线与三角形的面积

1、抛物线与三角形的面积抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线y ax2 bx c上的三角形面积的求法。2 2 41、已知抛物线：y x x 23 3（1）求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标；画出抛物线的草图；设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，顶点为D。求： DAB和厶CAB的面积；四边形ABCD的面积； ACD的面积（4）求直线AC的解析式；（5）抛物线上有一动点 P在直线AC上方，问：

2、是否存在一点 卩，使厶PAC的面积最大，若存在，求出 PAC的最大面积及P点坐标; 若不存在，请说明理由。2、如图，抛物线 y x2 bx C与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点,（1 ）求该抛物线的解析式；一点卩，使厶PBC的面积最大，若存在，求出点 P的坐标及 PBC的面积最大值若没有，请说明理由练习：1、在厶ABC中，/ A= 90° AB= 4, AC= 3, M是AB上的动点(不与 A, B重合)， 过M点作MN / BC交AC于点N.以MN为直径作O 0,并在O O内作内接矩形 AMPN .令AM = x.(1)用含x的代数式表示 AMNP的面积S;(2 )当x为

3、何值时，O 0与直线BC相切y关于x图1图2CP图 32、如图1,抛物线经过点 A(4, 0)、B (1, 0)、C ( 0, 2)三点.(1 )求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点， 过P作PM丄x轴，垂足为M ,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与 OAC相似若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得 DCA的面积最大，求出点 D的坐标.3、(2011漳州中考题)如图1,抛物线y=mx2-1lmx+24m(m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线上另有一点 A在第一象限内，且/ BAC=

4、9(t(1) 填空：OB=,) OC=;连结OA,将厶OAC沿x轴翻折后得到 ODC,当四边形 OACD是菱形时，求此时抛 物线的解析式；如图2,设垂直于x轴的直线l : x=n与(2)中所求的抛物线交于点 M，与CD交于点N, 若直线|沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上 A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形 AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值。仔1I： £=*M00r产/图11参考答案(1)解：当 x=0 时，y=2抛物线与y轴交点坐标为(0，2)当y=0时，解得：为3, X2 1抛物线与x轴交点坐标为3,0或1,02 24 C228yxx 2X 133

5、33抛物线的顶点坐标为1,8311816(3)解： Sdab-ABDE4223y1S cabAB OC14242S DAE18181211 2232328713316S ACDS ADES梯形 OCDES AOC871323322(4)解:设直线AC的解析式为ykx b ,S梯形OCDESBCO2边形ABCD直线AC经过A 3,0和C 0,2 ,2可求得解析式为 y x 23(5)过P作PE/y轴，交直线 AC于点E;设P、E的坐标分别D(x, 2、解：将A(1，x2-x2),E(x,|x33cl/224-2DE ( xx 2)(x2)33322小x 2x32x bx c中得S PAC2(4

6、2x4x343 2-(x)32当面积最大时点2x 2x) 4333 5D坐标为(_ , _)2 20)，B(- 3, 0)代 y1 b c=09 3b c 0(2 分)b 2c 3 分)抛物线解析式为：y x2 2x 3(2)存在理由如下：由题知 A、B两点关于抛物线的对称轴x1对称直线BC与x1的交点即为Q点,此时 AQC周长最小' yx2 2x 3 C的坐标为：(0, 3)直线BC解析式为:1的解3xQ点坐标即为y-Q(- 1, 2)理由如下:设P点(X,x2 2x3) ( 30)T S bpcS四边形bpcoS BOCS四边形bpco若S四边形BPCO有最大值，则S BPC就最大

7、, S四边形BPCO =SRt BPE绻角梯形PEOC-BE PE -OE(PE OC)2 2X/V1 - 22X32XXX3)3X2X/V3 - 227一 003时，S四边形BPCO278冃 9二 S BPC 最大=23当x 时，2一 3点P坐标为(一2272788x22x315415)I4)1最大值=练习：1、解：(1)v MN / BC,AMN = / B, / ANM = Z C.AMAN即xANABAC43AN =3x.2分4 AMN s ABC.S = S MNPS 1S AMN图13 2八x . ( Ov x v 4)3分81连结 AO, OD,贝U AO=OD =MN .图2由

8、(1 )知 AMN s ABC.amMN 即xMNABBC45 MN54x, OD5x .5分8BMBCBMQMAC25x,24ABBMMA24(2) 如图2,设直线BC与O O相切于点D,在 RtAABC中，BC =AB2 AC2 =5.5 过M点作MQ丄BC于Q,则MQ OD x .8在RtABMQ与RtABCA中，Z B是公共角, BMQBCA.x= 9649当x = 96时，O O与直线BC相切.49(3) 随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP,则0点为AP的中点./ MN / BC, / AMN=Z B, / AOM = Z APC. AMO s ABP.AM AO 1 .

9、 AM = MB = 2.AB AP 2图故以下分两种情况讨论:当0< x W 2时，yS*mn当x =2时，y最大3223 2x838 分当2< x V 4时，设PM, PN分另【J交BC于E, F.四边形AMPN是矩形, PN/ AM , PN= AM= x.又 MN / BC,四边形MBFN是平行四边形. FN= BM= 4 x.图 PF x2x又厶PEF s ACBPFABS PEFS ABCS PEF3x 22y S MNPS PEF6x 6 .当 2 < x < 4 时，y6x8当x时，满足2< x < 4, y最大2 .分3综上所述，当x时，y

10、值最大，最大值是2.12分设抛物线的解析式为ya(x1)( x 4)，代入点C的坐标(0，-2 ),解112 5y尹1)(x4)2xx2:2(2)设点P的:坐标为(x,Bx1)(x4).2如图2，当点P在x轴上方时，1V xv 4,PM0)、B ( 1, 0)两点,2、(1)因为抛物线与得x轴交于A(4,所以抛物解析式为：如果理PMAOCO2，那么1-(x 1)(x4)如果理PMAOCO11 -(x 1)(x 4)-，那么一2 4 x1-(x 1)(x22 解得x4)，AM5不合题意.2 点P的坐标为(2, 1).1 如图3，当点P在点A的右侧时，x>4，PM (x 1)(x4)，AM

11、x 4 .211(x 1)( x 4)解方程2 2，得x 5 此时点P的坐标为(5, 2).x 411(x 1)(x 4)1解方程2，得x 2不合题意.x 421 如图4，当点P在点B的左侧时，XV 1，PM - (x 1)(x4)，AM 4 x .21-(x 1)( x 4)解方程2 2，得x3 此时点P的坐标为(3, 14).4 x1(x 1)(x 4)1解方程2，得x 0 此时点p与点o重合，不合题意.4 x2综上所述，符合条件的点P的坐标为(2，1 )或(3, 14)或(5, 2).图2图4(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为设点D的横坐标为m (1m 4),那么点d的坐标为(m.1 2 y x 2 .21 2 m25 m 2)，点e的坐标为2(m丄m2因此S ACLA BAE最大,3、解:AE CEBE AE AE2=BE - CE=1X4 AE=2.分点A的坐标为(4, 2)分71 把点A的坐标(4, 2)代人抛物线 y=mx2-llmx+24m，得m=-2111抛物线的解析式为 y=- x2+x-12分四22/直线x=n与抛物线交于点 M一 1 11 点 M 的坐标为(n，- n2+n-12)2 2由知，点D的坐