第六章 期货定价原理

1、1第六章第六章 期货定价原理期货定价原理2 本章介绍了期货价格与相关现货价格，本章介绍了期货价格与相关现货价格，相关远期价格的关系，以及主要金融期货相关远期价格的关系，以及主要金融期货的定价方法。的定价方法。 了解期货价格与预期现货价格之间关系了解期货价格与预期现货价格之间关系的相关理论，理解期货价格与远期价格的的相关理论，理解期货价格与远期价格的关系，掌握股票指数期货，外汇期货、中、关系，掌握股票指数期货，外汇期货、中、长期国库券期货和短期国库券期货的定价长期国库券期货和短期国库券期货的定价方法，并能够进行相关计算。方法，并能够进行相关计算。 3 期货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期期

2、货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期保值策略依据的两个基本原理：保值策略依据的两个基本原理： （1）同一品种的商品，其期货价格与现货价格）同一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性； （2）随着期货合约到期日的临近，期货价格和）随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两价格大致相等。价格大致相等。 4 1. 期货价格等于预期现货价格期货价格等于预期现货

3、价格 预期假说认为，期货合约当前的交易价预期假说认为，期货合约当前的交易价格等于大家一致预期的在交割时的现货市场格等于大家一致预期的在交割时的现货市场价格，用符号来表示就是：价格，用符号来表示就是： 其中，其中，P Pf f是当前的期货合约的交易价格；是当前的期货合约的交易价格； P PS S是预期期货合约标的资产在交割日的是预期期货合约标的资产在交割日的 现货价格。现货价格。 52. 期货价格低于预期现货价格期货价格低于预期现货价格 著名经济学家凯恩斯认为，预期假说并著名经济学家凯恩斯认为，预期假说并没有正确地解释期货的价格。他认为，总体没有正确地解释期货的价格。他认为，总体而言，套期保值者

4、在期货市场上是以空头出而言，套期保值者在期货市场上是以空头出现的，他们必须诱使投机者以多头的角色出现的，他们必须诱使投机者以多头的角色出现在期货市场上。因为承担多头的角色有风现在期货市场上。因为承担多头的角色有风险，所以保值者需要通过使多头所预期的回险，所以保值者需要通过使多头所预期的回报率来吸引投机者充当多头的角色，所以期报率来吸引投机者充当多头的角色，所以期货价格的估计必然会低于将来的现货价格。货价格的估计必然会低于将来的现货价格。换句话说，当交割期来临时，现货价格实际换句话说，当交割期来临时，现货价格实际上要比期货市场所预测的价格略高一些，其上要比期货市场所预测的价格略高一些，其差额是对

5、投机者承担保值者不愿承担的风险差额是对投机者承担保值者不愿承担的风险的一种回报。用符号表示为：的一种回报。用符号表示为：6 这样，一个以这样，一个以 价格购买期货合约的投机价格购买期货合约的投机者可希望他在交割日能以一个更高的价格者可希望他在交割日能以一个更高的价格 售出合约。期货价格和预期的现货价格之间的售出合约。期货价格和预期的现货价格之间的这种关系就称为正常期货折价，意指期货合约这种关系就称为正常期货折价，意指期货合约的价格在合约有效期内被认为是呈上升趋势的。的价格在合约有效期内被认为是呈上升趋势的。 sP73.3.期货价格高于预期现货价格期货价格高于预期现货价格 一个相反的假说认为，在

6、通常情况下，套一个相反的假说认为，在通常情况下，套期保值者愿意在期货市场上作多头，这样他们期保值者愿意在期货市场上作多头，这样他们必须诱使投机者做空头。因为持空头寸要承担必须诱使投机者做空头。因为持空头寸要承担风险，保值者就需要通过使持空头寸的预期回风险，保值者就需要通过使持空头寸的预期回报率比无风险状态下更高来吸引投机者，即期报率比无风险状态下更高来吸引投机者，即期货价格比预期的现货价格要高：货价格比预期的现货价格要高： 这样，一个持空头寸的投机者以这样，一个持空头寸的投机者以P Pf f 的价格的价格卖出的期货合约，将被预期在交割日以更低的卖出的期货合约，将被预期在交割日以更低的价格价格P

7、 PS S买回来，期货价格和预期的现货价格之买回来，期货价格和预期的现货价格之间的这种关系就称为期货溢价，指期货的价格间的这种关系就称为期货溢价，指期货的价格在合约有效期内将被认为是呈下降趋势的。在合约有效期内将被认为是呈下降趋势的。8 正常期货溢价正常期货折价预期价格假说9 期货合约和远期合约最主要的期货合约和远期合约最主要的差别就是期货合约要求每日清算赢差别就是期货合约要求每日清算赢利和亏损，而远期合约只在到期日利和亏损，而远期合约只在到期日或对冲远期头寸时才能实现赢利和或对冲远期头寸时才能实现赢利和亏损。在到期日，期货价格和远期亏损。在到期日，期货价格和远期价格都等于现货价格，但是，对于

8、价格都等于现货价格，但是，对于具有相同的到期日的期货合约和远具有相同的到期日的期货合约和远期合约来说，在到期日之前的任何期合约来说，在到期日之前的任何时刻，期货价格和远期价格是否相时刻，期货价格和远期价格是否相等就是需要讨论的问题了。等就是需要讨论的问题了。 10（1 1）无风险利率在合约的）无风险利率在合约的期限内保持不变的情况期限内保持不变的情况 （2 2）无风险利率的变化在）无风险利率的变化在合约的期限内无法预测的合约的期限内无法预测的情况情况11 与其他金融期货相比，股票指数期货的一个与其他金融期货相比，股票指数期货的一个明显的特征是其标的资产并非实际存在的金融明显的特征是其标的资产并

9、非实际存在的金融资产，而是一种假定的资产组合。大部分股票资产，而是一种假定的资产组合。大部分股票指数可以看成支付红利的证券。这里的证券就指数可以看成支付红利的证券。这里的证券就是计算指数的股票组合，证券所付红利就是该是计算指数的股票组合，证券所付红利就是该组合的持有人收到的红利。根据合理的近似，组合的持有人收到的红利。根据合理的近似，可以认为红利是连续支付的。设可以认为红利是连续支付的。设q q为红利收益率，为红利收益率，可得股票指数期货价格为：可得股票指数期货价格为：12 其中，其中，T T表示期货合约到期的表示期货合约到期的时间（年）；时间（年）；t t表示现在的时间表示现在的时间（年），

10、则（年），则T-tT-t表示期货合约中，表示期货合约中，以年为单位表示的剩下的时间；以年为单位表示的剩下的时间；S S表示期货合约标的的股票指数表示期货合约标的的股票指数在时间在时间t t时的价格；时的价格；r r为无风险利为无风险利率。率。)(etTqrSF13 确定外汇期货价格的理论依据是国际金融确定外汇期货价格的理论依据是国际金融领域著名的利率平价关系。根据利率平价理论，领域著名的利率平价关系。根据利率平价理论，具有相同期限和风险的两国证券在定价上的差具有相同期限和风险的两国证券在定价上的差异应该等于两国利率的差异。根据第一节的讨异应该等于两国利率的差异。根据第一节的讨论可知，在合理近似

11、的情况下，期货价格可等论可知，在合理近似的情况下，期货价格可等于远期价格，我们用以下两个组合来给外汇期于远期价格，我们用以下两个组合来给外汇期货定价：货定价： 组合组合A A：一个远期多头加上现金金额：一个远期多头加上现金金额 组合组合B B： 金额的外汇金额的外汇)(etTrK)(etTrf14 K K表示远期合约中约定的交割价格；表示远期合约中约定的交割价格；S S表示表示以美元表示的一单位外汇的即期价格；以美元表示的一单位外汇的即期价格；r rf f表示外表示外汇的无风险利率，若外汇的持有人将外汇投资于汇的无风险利率，若外汇的持有人将外汇投资于以该国货币标价的债券，他就能够获得货币发行以

12、该国货币标价的债券，他就能够获得货币发行国的无风险利率的收益；国的无风险利率的收益；f f表示表示t t时刻远期多头的时刻远期多头的价值；采用连续复利方式计息。价值；采用连续复利方式计息。 这两个组合在时刻这两个组合在时刻T T时都将等于一单位的外时都将等于一单位的外汇，因此，在汇，因此，在t t时刻两者也应该相等，有：时刻两者也应该相等，有：即即)()(eetTrtTrfSKf)()(eetTrtTrKSff15远期价格远期价格F F就是使得式中就是使得式中f f=0=0时的时的K K值，因而有值，因而有 当外汇的利率大于本国利率（当外汇的利率大于本国利率（ ）时，）时，F F始终小于始终小

13、于S S，并且合约到期日，并且合约到期日T T越大，越大，F F值越小；值越小；当外汇的利率小于本国利率（当外汇的利率小于本国利率（ ）时，）时，F F始终始终大于大于S S，并且合约到期日，并且合约到期日T T越大，越大，F F值越大。值越大。()()efrrTtFSrrfrrf16 长期国库券期货和中期国库券期货长期国库券期货和中期国库券期货是目前交易最活跃的长期利率期货，我是目前交易最活跃的长期利率期货，我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，定价程序如下：为例来说明其定价问题，定价程序如下：17u 1.1.根据报价计算债券的现金价格根

14、据报价计算债券的现金价格 现金价格，又称为不纯价格现金价格，又称为不纯价格, ,它与报价的关系为：它与报价的关系为：现金价格报价上一个付息日以来的累计利息现金价格报价上一个付息日以来的累计利息 上一个付息日以来的累计利息是以实际过去的天数与上一个付息日以来的累计利息是以实际过去的天数与两次息票支付期间实际天数的比率为基础的，计算两次息票支付期间实际天数的比率为基础的，计算公式为：公式为：日的实际天数上次付息日到下次付息过去的天数上次付息日到现在实际每次应计利息累计利息18u 2. 2. 交割债券与标准债券的转换因子交割债券与标准债券的转换因子 芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于芝加哥交易

15、所规定，空头方可以选择期限长于1515年且在年且在1515年内不可赎回的任何国库券用于交割。年内不可赎回的任何国库券用于交割。由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准债券为期限加哥交易所规定交割的标准债券为期限1515年、息年、息票率为票率为8%8%的国库券，其他券种均得按一定的比例的国库券，其他券种均得按一定的比例折算成标准债券。这个比例称为转换因子折算成标准债券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor Conversion Factor ）。转换因子等于面值为）。转换因子等于面值为100100美元的各债券

16、的现金流按美元的各债券的现金流按8%8%的年利率（每半年的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。掉该债券累计利息后的余额。19 在计算转换因子时，债券的剩余期限在计算转换因子时，债券的剩余期限只取只取3 3个月的整数倍，多余的月份舍掉。个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在倍数，就假定下一次付息是在6 6个月之后，个月之后，否则就假定在否则就假定在3 3个月后付息，并从贴现值个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复

17、计算。转换因中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易所计算并公布。子由交易所计算并公布。 算出转换因子后，我们就可算出空头算出转换因子后，我们就可算出空头方交割方交割100100美元面值的债券应收到的现金：美元面值的债券应收到的现金：20 u 3.3.确定最便宜可交割债券确定最便宜可交割债券 由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别的，而空方可选择用于交割的国债多达别的，而空方可选择用于交割的国债多达3030种左种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。右，因此空方应

18、选择最合算的国债用于交割。 由于空头方收到的价款为：（期货的报价由于空头方收到的价款为：（期货的报价转换因子）累计利息转换因子）累计利息 而购买债券的成本为：债券的报价累计而购买债券的成本为：债券的报价累计利息利息 所以最便宜可交割债券就是购买交割债券所以最便宜可交割债券就是购买交割债券的成本与空头方收到的现金之差最小的那个债券，的成本与空头方收到的现金之差最小的那个债券，即即 交割差距交割差距= =债券报价（期货报价债券报价（期货报价转换因子）转换因子） 21u 4.4.确定长期国库券期货价格确定长期国库券期货价格 假设用于交割的最便宜可交割债券和假设用于交割的最便宜可交割债券和交割日期是已

19、知的，则长期国库券就相当交割日期是已知的，则长期国库券就相当于一提供已知现金收入的证券的期货。下于一提供已知现金收入的证券的期货。下式适用于长期国库券期货的定价：式适用于长期国库券期货的定价： 但是由于其报价和交割制度的特殊性，使但是由于其报价和交割制度的特殊性，使公式的运用较为复杂。其中，公式的运用较为复杂。其中，I I表示期货合表示期货合约有效期内的息票利息的现值；约有效期内的息票利息的现值；T T表示期货表示期货合约的到期时刻（年）；合约的到期时刻（年）；t t表示现在的时刻表示现在的时刻（年）；（年）；r r表示无风险利率；表示无风险利率；S S表示表示t t时刻期时刻期货合约的标的债

20、券的价格。这里，货合约的标的债券的价格。这里，F F和和S S都都为债券的现金价格。为债券的现金价格。 )(e )(tTrISF22 （1 1）根据最便宜可交割债券的报价，）根据最便宜可交割债券的报价，算出该交割债券的现金价格；算出该交割债券的现金价格； （2 2）根据交割债券的现金价格算出交）根据交割债券的现金价格算出交割债券期货理论上的现金价格；割债券期货理论上的现金价格； （3 3）运用公式根据交割债券期货的现）运用公式根据交割债券期货的现金价格算出交割债券期货的理论报价；金价格算出交割债券期货的理论报价； （4 4）考虑到最便宜可交割债券和标准）考虑到最便宜可交割债券和标准的的1515

21、年期年利率为年期年利率为8%8%的债券的区别，将的债券的区别，将以上求出的期货报价除以转换因子，从以上求出的期货报价除以转换因子，从而得出标准债券的理论报价，也是标准而得出标准债券的理论报价，也是标准债券期货理论的现金价格。债券期货理论的现金价格。23u1.即期利率和远期利率即期利率和远期利率 n年期即期利率年期即期利率(spot interest rate)是指从当前是指从当前时间开始计算并持续时间开始计算并持续n年的一项投资的利率（以年的一项投资的利率（以连续复利计息）。比如，连续复利计息）。比如，4年期即期利率就是从年期即期利率就是从现在开始投资并持续现在开始投资并持续4年的利率。在这年

22、的利率。在这n年中，没年中，没有利息支出，只有在到期时一次性将所有的利息有利息支出，只有在到期时一次性将所有的利息和本金支付给投资者，因此，和本金支付给投资者，因此，n年期即期利率也年期即期利率也称为称为n年期零息票收益率年期零息票收益率(n-year zero-coupon yield)。 远期利率远期利率(forward interest rate)是指由当前是指由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率（以即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率（以连续复利计息）。连续复利计息）。24 ： 假设假设r r为为T T年期的即期利率，年期的即期利率，r r* *是是T T* *年期的即年期的

23、即期利率，且期利率，且T T* *TT，是，是T T和和T T* *期间的远期利率，有期间的远期利率，有TTrTTrr*25u2.2.短期国库券期货的定价短期国库券期货的定价 在短期国库券期货合约中，标的资产是在短期国库券期货合约中，标的资产是9090天天期的美国国库券。通常，期限为期的美国国库券。通常，期限为1313周，即周，即9191天的天的短期国库券交易较多，但期货合同也允许短期国库券交易较多，但期货合同也允许9090天或天或9292天的短期国库券进行交易，不过期货合同的价天的短期国库券进行交易，不过期货合同的价格总是用格总是用9090天期短期国库券来计算的。在实际交天期短期国库券来计算

24、的。在实际交割时，所交割的国库券既可以是新发行的短期国割时，所交割的国库券既可以是新发行的短期国库券，也可以是尚有库券，也可以是尚有9090天剩余期限（交割日至国天剩余期限（交割日至国库券到期日的天数）的原来发行的库券到期日的天数）的原来发行的6 6个月或个月或1 1年期年期的国库券。短期国库券也被称为贴现债券，以折的国库券。短期国库券也被称为贴现债券，以折价方式发行，在期限内不付息，在到期日投资者价方式发行，在期限内不付息，在到期日投资者收到债券的面值。收到债券的面值。26 假定假定t t是现在的时间（年），是现在的时间（年），T T是期货合约的到是期货合约的到期时间（年），期时间（年），T

25、 T* *是期货合约标的资产的贴现债券是期货合约标的资产的贴现债券的到期时间，其中的到期时间，其中T T* *-T-T约为约为9090天；天；r r表示从表示从t t到到T T的期的期限内的无风险利率（连续复利），限内的无风险利率（连续复利），r r* *是从是从t t到到T T* *的期的期限内的无风险利率，是在限内的无风险利率，是在t t时刻的时刻的T T和和T T* *期间的远期期间的远期利率；合约标的资产的贴现债券的面值为利率；合约标的资产的贴现债券的面值为$100$100，S S是是其在其在t t时刻的价格，则时刻的价格，则S S为：为：)(*e100tTrS27F F是是t t时刻

26、的期货价格，则时刻的期货价格，则F F为为：可简化上式：可简化上式： 要重申的一点是，由上式得到的期货价要重申的一点是，由上式得到的期货价格是期货合约的现金价格，是合约的多头方格是期货合约的现金价格，是合约的多头方在合约到期时购买在合约到期时购买$100$100面值的国库券所必须面值的国库券所必须支付的价格，它与短期国库券期货合约的报支付的价格，它与短期国库券期货合约的报价是有区别的，二者之间的关系为：价是有区别的，二者之间的关系为：)()()()()(*e100ee100erTrtTrtTrtTrtTrSF)(*e100TTrF360100(100*TTF报价）28 答案：期货价格与现货价格

27、的基本关系，也是答案：期货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期保值策略依据的两个基本原理：期货套期保值策略依据的两个基本原理：同同一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两价格大致相等。价格大致相等。 29 答案：假设答案：假设r r为为T T

28、年期的即期利率，年期的即期利率，r r* *是是T T* *年期的年期的即期利率，且即期利率，且T T* *TT，是，是T T和和T T* *期间的远期利率，期间的远期利率，如果现在是如果现在是0 0时刻，投资者投入时刻，投资者投入1 1元的资金，按元的资金，按照利率照利率r r持续持续T T年后，再按照利率持续年后，再按照利率持续T T* *-T-T年，年，则收益变为：则收益变为： 若直接在若直接在0 0时刻以时刻以r r* *的利率持续投资的利率持续投资T T* *年年后，其收益为：后，其收益为： 而这两种方式得到的收益结果应该是一样而这两种方式得到的收益结果应该是一样的，则有：的，则有：

29、 即，即，)( )( *eeeTTrrTTTrrT*eTr*ee)( TrTTrrT*)( TrTTrrT30 上式说明将上式说明将T T年期的即期利率年期的即期利率r r和自和自T T开始到开始到T T* *为止这一段时间里的远期利率组合起来而得到为止这一段时间里的远期利率组合起来而得到的整个的整个T T* *年时间内的等价利率就是年时间内的等价利率就是T T* *年期的即期年期的即期利率利率r r* *。 整理后，可以得到：整理后，可以得到： 答案：若答案：若S S与与r r高度正相关，当高度正相关，当S S上升时，一个持上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因期货交易中的逐有期货多头头寸

30、的投资者会因期货交易中的逐日结算而立即实现一笔盈利。又由于日结算而立即实现一笔盈利。又由于S S的上涨几的上涨几乎与利率乎与利率r r的上涨同时出现，获得的这笔盈利将的上涨同时出现，获得的这笔盈利将会以较高利率进行再投资。会以较高利率进行再投资。 TTrTTrr*31 同样，当同样，当S S下跌时，投资者立即亏损。亏下跌时，投资者立即亏损。亏损将以较低的利率的再融资。在上述两种情况损将以较低的利率的再融资。在上述两种情况下，持有期货合约多头头寸的投资者都会有所下，持有期货合约多头头寸的投资者都会有所收益，而相应持有远期多头头寸的投资者将不收益，而相应持有远期多头头寸的投资者将不会因利率变动而受

31、到影响。因此，期货多头比会因利率变动而受到影响。因此，期货多头比远期多头更具有吸引力。当远期多头更具有吸引力。当S S与与r r正相关性很强正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。当时，期货价格要比远期价格高。当S S与与r r的负相的负相关性很强时，情况就相反。关性很强时，情况就相反。 32 答案：答案：1 1月月2727日至日至5 5月月5 5日为日为9898天，天，5 5月月5 5日至日至7 7月月2727日日为为8383天天 债券现金价格债券现金价格=110.531+ =110.531+ =113.780 =113.780美元美元 683989833答案：交割各种债券的成本为答案：交割

32、各种债券的成本为 债券债券1： 债券债券2： 债券债券3： 债券债券4： 债券债券4的成本最小，所以债券的成本最小，所以债券4为最便宜可交割为最便宜可交割债券。债券。178.2)2131.13212101(325125652.2)3792.13212101(3215142946.2)1149.13212101(3231115874.1)4026.13212101(32214434 答案：答案：1996.2.41996.2.47.307.30为为177177天，天，7.307.308.48.4为为5 5天，天，8.48.49.309.30为为5757天，天，9.309.301997.2.4199

33、7.2.4为为127127天。天。35 最便宜可交割债券的现金价格为：最便宜可交割债券的现金价格为： 5 5天（天（0.01370.0137年）后，即年）后，即8.48.4日将收到的利日将收到的利息的现值为息的现值为 ： 合约还将持续合约还将持续6262天（天（0.16940.1694年），则交割年），则交割债券的期货现金价格为：债券的期货现金价格为： 交割债券的报价为：交割债券的报价为： 标准债券的期货报价为标准债券的期货报价为 ：)(321.116%)5 .6100(5177177110美元)(489. 6e5 . 612. 00137. 0美元088.112e )489. 6321.11

34、6(12. 01694. 0)(074.1105 . 61275757088.112美元1273)(383.735 .1074.110或美元36 答案：答案：报价为报价为100-4100-4（100-97.775100-97.775）=91.100=91.100或或91-0391-03 答案：答案：09.05.075.05.0075.075.008.0r)(977750e1000000)5 . 075. 0(09. 0美元F)(877.152e1505 . 0)032. 007. 0(美元F37 答案：该交割券的现金价格为：答案：该交割券的现金价格为： （美元）（美元） 120120天（天（0.32880.3288年）后支付的年）后支付的7 7美元的利美元的利息的现值为：息的现值为： （美元）（美元）0385. 5e71 . 03288. 03077.12271826012038 由于该期货合约的有效期为由于该期货合约的有效期为270270天（天（0.73970.7397年）年）则交割券期货理论上的现金价格为：则交割券期货理论上的